計量經(jīng)濟第八章

計量經(jīng)濟第八章IntroductoryEconometrics,LijunJia1第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia2LectureOutline本課提要WhatisHSK什么是異方差ConsequencesofHSK異方差的影響HSK-RobustInferenceafterOLSestimationOLS估計后的“對異方差穩(wěn)健”統(tǒng)計推斷第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia3TestingforHSK檢驗異方差TheBreuschnTest B-P檢驗TheWhiteTest White檢驗第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia4WeightedLeastsquares 加權最小二乘法WLSwhenHSKisknownuptoamultiplicativeconstant

當在比例意義上已知異方差時的加權最小二乘法WLSwhenHSKisofunknownform:thefeasibleGLS

當異方差具有未知形式時的加權最小二乘法：可行GLS第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia5WhatisHeteroskedasticity(HSK)

什么是異方差

Recalltheassumptionofhomoskedasticityimpliedthatconditionalontheexplanatoryvariables,thevarianceoftheunobservederror,u,wasconstant

同方差假定意味著條件于解釋變量，不可觀測誤差的方差為常數(shù)

Ifthisisnottrue,thatisifthevarianceofuisdifferentfordifferentvaluesofthex’s,thentheerrorsareheteroskedastic

如果u的方差隨x變化，那么誤差是異方差的。第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia6.Educationlevelprimarysecondaryf(y|x)IllustrationofHeteroskedasticity異方差圖示college..E(y|x)=b0+b1xwage第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia7Whydowecare?

為何關心異方差？Thestandarderrorsoftheestimatesarebiasedifwehaveheteroskedasticity.

如果存在異方差，那么估計值的標準差是有偏的。

Ifthestandarderrorsarebiased,wecannotusetheusualtstatisticsorFstatisticsorLMstatisticsfordrawinginferences. 如果標準差有偏，我們就不能應用通常的t統(tǒng)計量或F統(tǒng)計量來進行統(tǒng)計推斷。第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia8TestingforHSK

檢驗異方差ReasonNo.1:WemayprefertoseetheusualOLSstandarderrorsandteststatisticsreportedunlessthereisevidenceofheteroskedasticity.

理由1：除非有證據(jù)顯示異方差存在，我們?nèi)詴糜诔Ｒ?guī)OLS的標準差及檢驗統(tǒng)計量。ReasonNo.2:Ifheteroskedasticityispresent,theOLSestimatorisnolongertheBLUE,thenitispossibletoobtainabetterestimatorthanOLS.

理由2：如果異方差存在，OLS不再是BLUE，那么就有可能得到比OLS更好的估計量。第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia9TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗異方差

EssentiallywewanttotestH0:Var(u|x1,x2,…,xk)=s2,（8.11）whichisequivalenttoH0:E(u2|x1,x2,…,xk)=E(u2)=s2

本質(zhì)上，我們想檢驗H0:Var(u|x1,x2,…,xk)=s2這等價于檢驗H0:E(u2|x1,x2,…,xk)=E(u2)=s2（因為zeroconditionalexpectation）

第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia10Ifweassumetherelationshipbetweenu2andxjwillbelinear,cantestitasasetoflinearrestrictions

如果我們假設u2

和xj之間具有線性關系，則可以通過一組線性約束來完成檢驗。

So,foru2=d0+d1x1+…+dkxk+v（8.12）

thismeanstestingH0:d1=d2=…=dk=0（8.13） 所以,對于u2=d0+d1x1+…+dkxk+v

這意味著檢驗H0:d1=d2=…=dk=0第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia11TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差Underthenullhypothesis,itisoftenreasonabletoassumethattheerrorvisindependentofx1,…,xk.

在零假設下，通?？梢约俣ㄕ`差v與x1,…,xk獨立

TheneitherForLMstatisticsforoverallsignificanceoftheindependentvariablesinexplainingu2canbeusedtotestHSK.

那么，如果將u2視為被解釋變量，檢驗全部解釋變量顯著性的F統(tǒng)計量就可以用來檢驗異方差。Theyareasymptoticallyvalidtestsinceu2isnotnormallydistributedinthesample.

由于u2在樣本中不是正態(tài)分布，這些統(tǒng)計量只在漸近的意義下適用。第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia12TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗異方差TheerrorcannotbeobservedbycanbeestimatedfromOLSresiduals.

不可觀測的誤差可以通過OLS殘差進行估計。

Afterregressingtheresidualssquaredonallofthex’s,canusetheR2toformanForLMtest. 將殘差平方對所有的x回歸之后，可以通過R2構造F檢驗。(8.15)

第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia13TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗異方差第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia14TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia15TheBreuschnTestforHSK

用B-P檢驗檢驗異方差第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia165.然后看F和LM值的大小，或者對應的p值。如果F和LM值很大或者p值很小，則可以拒絕零假設！

第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia17TheWhiteTestforHSK

用White檢驗檢驗異方差

TheBreusch-Pagantestwilldetectanylinearformsofheteroskedasticity B-P檢驗可以識別任意線性形式的異方差

TheWhitetestallowsfornonlinearitiesbyusingsquaresandcrossproductsofallthex’s White檢驗通過加入x平方項和交叉項引入了一定的非線性。

StilljustusinganForLMtotestwhetherallthexj,xj2,andxjxharejointlysignificant

仍然是用F和LM檢驗來檢驗xj,xj2,xjxh是否聯(lián)合顯著第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia18TheWhiteTestforHSK

用White檢驗檢驗異方差Thiscangettobeunwieldyprettyquickly.

這個辦法很快就會顯出其笨重之處。Forexample,ifwehavethreeexplanatoryvariables,x1,x2,and

x3thentheWhitetestwillhave9restrictions:3onlevels,3onsquares,and3oncross-products.

例如，如果我們有三個解釋變量x1,x2,x3那么White檢驗有9個約束，三個對線性項，三個對平方項，三個對交叉項。（如8.19）

Withsmallsamples,degreesoffreedomwillsoonberunoutwithmoreregressors.

在小樣本情形，自由度將會隨著解釋變量數(shù)目增加而迅速減少。第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia19AlternateformoftheWhitetest

White檢驗的變形

ConsiderthatthefittedvaluesfromOLS,?,areafunctionofallthex’s

考慮到OLS的預測值?是所有x的函數(shù)。

Thus,?2willbeafunctionofthesquaresandcrossproducts.Therefore,?and?2canproxyforallofthexj,xj2,andxjxh.

因此，?2是平方項和交叉項的函數(shù)。?

和?2可以用來替代所有的xj,xj2,xjxh第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia20AlternateformoftheWhitetest

White檢驗的變形Regresstheresidualssquaredon?and?2andusetheR2toformanForLMstatistic,將殘差平方對?

和?2回歸(8.20)， 用R2來構建F或LM統(tǒng)計量Nowweonlyneedtotest2restrictionsnow.現(xiàn)在只需要檢驗兩個約束Page283檢驗過程！

第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia21WhitetestKeeptheR-squaredfromthisregression，第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia22WeightedLeastSquares

加權最小二乘法

Whileit’salwayspossibletoestimaterobuststandarderrorsforOLSestimates,ifweknowsomethingaboutthespecificformoftheheteroskedasticity,wecantransformthemodelintoonethathashomoskedasticerrors–calledweightedleastsquares.

對OLS估計穩(wěn)健標準差總是可能辦到的，但是，如果我們知道一些關于異方差結構的信息，我們可以將原模型轉化為具有同方差的新模型，這稱為加權最小二乘法。第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia23WeightedLeastSquares

加權最小二乘法InsuchcasesweightedLeastsquaresismoreefficientestimatesthanOLS,anditproducestandFstatisticsthathavetandFdistributions. 在這些情況中，加權最小二乘法比OLS更為有效。對應的t和F統(tǒng)計量具有t和F分布。第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia24GeneralizedLeastSquares

廣義最小二乘法

EstimatingthetransformedequationbyOLSisanexampleofgeneralizedleastsquares(GLS)

通過OLS估計變換后的方程可以作為廣義最小二乘法（GLS）的一個例子

GLSwillbeBLUEinthiscase GLS在這種情形下為BLUEGLSisaweightedleastsquares(WLS)procedurewhereeachsquaredresidualisweightedbytheinverseofVar(ui|xi) GLS是加權最小二乘法（WLS）在權重為Var(ui|xi)倒數(shù)時的特例。第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia25WeightedLeastSquares

加權最小二乘法

WhileitisintuitivetoseewhyperformingOLSonatransformedequationisappropriate,itcanbetedioustodothetransformation

盡管對變換后的模型做OLS是直觀的，但是變換本身可能很繁瑣。

Weightedleastsquaresisawayofgettingthesamething,withoutthetransformation

加權最小二乘法可以完成相同的目的，但是不需要進行變換。

Ideaistominimizetheweightedsumofsquares(weightedby1/hi)

想法是最小化加權平方和（權重為1/hi）第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia26WeightedLeastSquares

加權最小二乘法第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia27FeasibleGLS

可行GLS

Moretypicalisthecasewhereyoudon’tknowtheformoftheheteroskedasticity

更典型的情形是你并不知道異方差的形式

Inthiscase,youneedtoestimateh(xi)

此時，你需要估計h(xi)Typically,westartwiththeassumptionofafairlyflexiblemodel,suchas

我們可以從一個非常靈活的方程形式入手

Var(u|x)=s2exp(d0+d1x1+…+dkxk)Sincewedon’tknowthed,mustbeestimated 由于d未知，我們必須對它進行估計。第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期四IntroductoryEconometrics,LijunJia28FeasibleGLS(continued)

可行GLS

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