計算機圖形學(xué) 投影

計算機圖形學(xué)課件投影第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四8.1投影分類：投影透視投影(中心投影)平行投影一點透視斜平行投影正平行投影二點透視斜等測三點透視斜二測正軸測投影多面視圖

正等測三視圖正二測正三測剖視圖第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四8.2平行投影

投影中心到投影平面的距離為無窮大時投影稱為平行投影。平行投影可分為正平行投影（投影方向垂直于投影面）和斜平行投影（投影方向不垂直于投影面）。計算機繪制的三視圖、正軸測圖和斜軸測圖就是通過這兩種平行投影得到的平面圖形。第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

三視圖即主視圖、俯視圖、側(cè)視圖是分別將三維立體對正面、水平面和側(cè)面作正投影得到的三個基本視圖。用計算機繪制立體圖的三視圖的具體步驟：建立三維空間坐標(biāo)系，這里定義一個右手直角坐標(biāo)系，即z軸正向朝上。在這個定義的坐標(biāo)系下，確定三維立體上各點的位置坐標(biāo)，同時引入齊次坐標(biāo)。求出所作變換相應(yīng)的四階變換矩陣，一般根據(jù)變換前后圖形上點的幾何關(guān)系或由已知的變換矩陣求得。將所作變換寫出矩陣表示式，通過運算求得三維立體上各點(x,y,z)竟變換后的相應(yīng)點(x’,y’)或(y’,z’)或(x’,z’)，一般是二維點的齊次坐標(biāo)。有變換后的所有二維點繪出三維立體投影后的平面圖形，即為主視圖、俯視圖或側(cè)視圖。8.2.1三視圖第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

在右手直角坐標(biāo)系中，將三維立體向xOz面（正面V）作正投影，得到主視圖。由投影變換前后三維立體上點到主視圖上點的關(guān)系，可知此投影變換的變換矩陣為：(1)主視圖第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

Tv：主視圖的投影變換矩陣，簡稱投影矩陣。若已知三維立體上n個點(xi,yi,zi)，則各點的齊次坐標(biāo)可寫成n4階矩陣，主視圖的投影變換矩陣表示式為：

在繪圖時，只要取x=xi,y=zi(i=1,2,…,n)，，就可在屏幕上繪出三維立體的主視圖。第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

三維立體向xOy面（水平面H）作正投影得到俯視圖。其投影變換矩陣：

為了使俯視圖與主視圖也畫在一個平面內(nèi)，就要使H面繞x軸負(fù)方向轉(zhuǎn)90o，此旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：(2)俯視圖第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

為了使俯視圖與主視圖間有一定的間距，還要使H面沿負(fù)z方向平移一段距離z0。其變換矩陣為：第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四因此俯視圖的投影變換矩陣為上面三個變換矩陣的連乘積，即：

其中TH矩陣的第二列為零說明H面繞x軸負(fù)方向轉(zhuǎn)90o后，xOy上的投影變成了xOz面上的投影。第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四俯視圖的投影變換矩陣表示為：

由此得到三維立體的俯視圖上n個點(xi,-yi-z0)(i=1,2,…,n)，取x=xi,y=-yi-z0(i=1,2,…,n)，便可繪出三維立體的俯視圖。第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

將三維立體向yOz面(側(cè)面W)作正投影得到俯視圖。其投影變換矩陣：

為了使俯視圖與主視圖都畫在一個平面內(nèi)，就要使W面繞z軸轉(zhuǎn)90o，此旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：(3)側(cè)視圖第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四

為了使側(cè)視圖與主視圖間有一定的間距，還要使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x0。其變換矩陣為：第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四因此側(cè)視圖的投影變換矩陣為上面三個變換矩陣的連乘積，即：

其中TW矩陣的第二列為零說明W面繞z軸轉(zhuǎn)90o后，yOz上的投影變成了xOz面上的投影。第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四側(cè)視圖的投影變換矩陣表示為：

由此得到三維立體的側(cè)視圖上n個點(-yi-x0,zi)(i=1,2,…,n)，取x=-yi-x0，y=-zi(i=1,2,…,n)，便可繪出三維立體的側(cè)視圖。先讓三維立體作投影面，然后旋轉(zhuǎn)投影面得到平攤在同一個平面上的三個視圖。也可以先把三維立體作旋轉(zhuǎn)，然后再向投影面作正投影得到同樣的三視圖。第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四8.2.2正軸測圖正軸測圖是將三維立體向一個單一的投影面作平行投影并且投影方向垂直于投影面時得到的平面圖形。正軸測圖可分為正等測圖、正二測圖、和正三測圖。正軸測圖的形成：將三維立體繞某一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個角度，在繞另一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個角度，最后向包含這兩個坐標(biāo)軸的平面作正投影即得到正軸測圖。第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四正軸測圖的投影變換矩陣

選定右手直角坐標(biāo)系，三維立體位于此坐標(biāo)系中，按照正軸測圖形成過程，可先將立體繞z軸旋轉(zhuǎn)-角，再將立體繞x軸角，然后將立體向Ozx面作正投影，得其正軸測圖的投影變換矩陣為：第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四取=20.7o,=19.47o取=45o,=35.27o常用的正軸測圖有正等軸測和正二軸測，正等軸測圖是作正軸測投影時，x,y,z三個方向長度縮放率一樣時的正軸測圖。正二測圖是作正軸測投影當(dāng)x,z兩個方向長度縮放率一樣時的正軸測圖。正等軸測圖與正二測圖的變換矩陣為：第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四8.2.3斜軸測圖斜軸測圖是將三維立體向一個單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直與投影面所得到的平面圖形。常用斜軸測圖可分為斜等測圖和斜二測圖。斜軸測圖也可以看成：先將三維立體圖形沿兩個軸向錯切，然后再向投影面作正投影，則得到立體的斜軸測圖。選定右手直角坐標(biāo)系，三維立體位于此坐標(biāo)系中，按照斜軸測圖形成過程，可先將立體沿x含z方向錯切，再沿y含z方向錯切，最后向xOy面投影，得其軸測圖的投影變換矩陣為：第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四常用的正軸測圖有斜等軸測和斜二軸測，斜等軸測圖是作斜軸測投影時，x,y,z三個方向長度在投影后保持不變的斜軸測圖。斜等軸測的變換矩陣為：第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四斜二測圖是作斜軸測投影時，x,y兩個方向長度不變，z方向的長度改變的斜軸測圖。斜二軸測的變換矩陣為：第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四8.3透視投影圖透視圖和軸測圖都是單面投影圖，所不同的是軸測圖是用平行投影原理形成的，透視圖是用中心投影原理形成的。兩者雖然都是立體圖，但透視圖的效果更接近人們用肉眼觀察的實際效果，因而它的立體感和真實感均優(yōu)于軸測圖。第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四透視圖的形成

滅點：垂直于畫面M的直線在無窮遠(yuǎn)處的透視。假設(shè)在觀察者與物體之間放置一透明的畫面M，透視投影中心稱為視點，視點與物體上各點的連線稱為視線，各視線與畫面的交點a,b,…稱為A,B,…各點的透視，將物體各點的透視連接起來便得到立體的透視投影圖。第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四透視投影圖透視變換矩陣一點透視兩點透視三點透視特點：產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的視覺效果，由它產(chǎn)生的圖形深度感強，看起來更加真實。第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四一點透視先假設(shè)q=0，p=r=0。然后對點（x,y,z）進(jìn)行變換，結(jié)果如下：齊次化得：當(dāng)y=0時：(x*,y*,z*)=(x,0,z)當(dāng)y時：(x*,y*,z*)=(0,1/q,0)(0,1/q,0)就是滅點，象這樣形成一個滅點的透視變換稱為“一點透視”效果圖第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四一點透視效果圖q<0第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四同理，當(dāng)p=0，q=r=0時，將會在x軸上的1/p處產(chǎn)生一個滅點，其坐標(biāo)值為（1/p,0,0），此時所有平行于x軸的直線將延伸交于該點。當(dāng)r=0，p=q=0時，將會在z軸上的1/r處產(chǎn)生一個滅點，其坐標(biāo)值為（0,0,1/r），此時所有平行于z軸的直線將延伸交于該點。第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四兩點透視p,q,r中有兩個為非零數(shù)，將會生成兩個滅點，因此得到兩點透視。當(dāng)p=0，r=0時，結(jié)果為：齊次化得：

x*=x/(px+rz+1)y*=y/(px+rz+1)z*=z/(px+rz+1)當(dāng)x時：一個滅點在x軸的1/p處當(dāng)z時：一個滅點在z軸的1/r處第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四三點透視當(dāng)p,q,r都不為0時，結(jié)果將會產(chǎn)生三個滅點，從而形成三點透視。產(chǎn)生的三個滅點分別在x軸的1/p處、y軸的1/q處、z軸的1/r處。第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四生成透視投影圖的方法：先是對立體進(jìn)行透視變換，然后是將其投影到正面投影面上，形成正投影圖。透視投影矩陣：第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四一點透視投影圖的生成

為了獲得較好的效果，通常將立體平移到一個合適的位置，然后在進(jìn)行透視投影變換。則生成一點透視投影的變換矩陣為：

取-1<q<0，可獲得效果較好的透視圖。第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四二點透視投影圖的生成先將立體繞z軸旋轉(zhuǎn)一個角，以使得立體上的xOz平面和yOz平面與正面投影面產(chǎn)生一定的傾斜交角，然后再對立體進(jìn)行透視變換并向正面投影面進(jìn)行投影。二點透視又叫“成角透視”。生成二點透視投影的變換矩陣為：第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四三點透視投影圖的生成先將立體繞z軸旋轉(zhuǎn)角；再將立體繞x軸順時針旋轉(zhuǎn)角；進(jìn)行透視變換；進(jìn)行正投影。生成三點透視投影的變換矩陣為：第35頁，共37頁，2023年，2月20日，星期四繪圖步驟繪制三視圖、正軸測圖和斜軸測圖