第平均指標和變異指標演示文稿

第平均指標和變異指標演示文稿1目前一頁\總數(shù)七十頁\編于十二點2（優(yōu)選）第平均指標和變異指標目前二頁\總數(shù)七十頁\編于十二點第一節(jié)平均指標的概念和作用平均指標的概念平均指標又稱平均數(shù)，它是統(tǒng)計分析中最常用的統(tǒng)計指標之一。它反映了社會經(jīng)濟現(xiàn)象中某一總體各單位某一數(shù)量在一定時間、地點條件下所達到的一般水平，或者反映某一總體、某一指標在不同時間上發(fā)展的一般水平。目前三頁\總數(shù)七十頁\編于十二點平均指標具有三個特點：同質(zhì)性，即總體內(nèi)各單位的性質(zhì)是相同的，如果各單位性質(zhì)上存在著差異，就不能計算平均數(shù)。抽象性，即總體內(nèi)各同質(zhì)單位雖然存在數(shù)量差異，但在計算平均數(shù)時并不考慮這種差異，即把這種差異平均掉了。代表性，即盡管各總體單位的標志值大小不一，但我們可以用平均數(shù)這一指標值來代表所有標志值。目前四頁\總數(shù)七十頁\編于十二點平均指標的作用可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢?？梢詫θ舾赏惉F(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間進行比較研究?？梢匝芯磕骋豢傮w某種數(shù)值的平均水平在時間上的變化，說明總體的發(fā)展過程和趨勢?？梢苑治霈F(xiàn)象之間的依存關系。可作為某些科學預測、決策和某些推算的依據(jù)。目前五頁\總數(shù)七十頁\編于十二點平均指標的種類平均指標按其性質(zhì)可分為靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)。靜態(tài)平均數(shù)反映的是同質(zhì)總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標志在一定時間地點條件的一般水平，而動態(tài)平均數(shù)反映的是某一總體某一指標值在不同時間上的一般水平（本章主要介紹靜態(tài)平均數(shù)）。靜態(tài)平均數(shù)，按其表現(xiàn)形式可分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。凡根據(jù)總體各單位標志值計算的平均數(shù)，稱為數(shù)值平均數(shù)，常見的主要包括算術平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)；凡根據(jù)總體標志值在分配數(shù)列總的位置確定的平均數(shù)，稱為位置平均數(shù)。常見的主要有中位數(shù)和眾數(shù)。目前六頁\總數(shù)七十頁\編于十二點第二節(jié)平均指標的計算和確定1、算術平均數(shù)是計算平均指標最常用的方法，其基本公式是：算術平均數(shù)=算術平均數(shù)的計算有簡單算術平均數(shù)和加權平均數(shù)之分。目前七頁\總數(shù)七十頁\編于十二點簡單算術平均數(shù)如果我們在掌握了總體各單位標志值（或標志總量）和總體單位總量的資料的條件下，就可以直接用上式計算平均數(shù)。計算公式：式中：——算術平均數(shù)

——求和符號

——總體各單位標志值

n——總體單位數(shù)注：該公式用于所給資料未分組的情況。目前八頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例1]某企業(yè)某班組有8名工人，某日各人日產(chǎn)量（件）分別為：1212131313161717，則該組工人的平均日產(chǎn)量為：

（件）目前九頁\總數(shù)七十頁\編于十二點加權算術平均數(shù)當變量值已經(jīng)分組，且各個標志值出現(xiàn)的次數(shù)不相同時，就可以采用加權算術平均數(shù)的形式計算平均指標。1、由單項式數(shù)列計算的加權算術平均數(shù)目前十頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例2]就例1的資料，把工人按日產(chǎn)量分組可得表5-1表5—1加權算術平均數(shù)計算表按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)f各組日產(chǎn)量（件）xf12131617231224391634合計8113目前十一頁\總數(shù)七十頁\編于十二點根據(jù)表資料，計算平均日產(chǎn)量的計算應是

=在加權算術平均數(shù)公式中，f稱為權數(shù)。這是因為在各組標志值一定的情況下，f的大小對X的大小起著權衡輕重的作用。目前十二頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例3]將例2資料改為加權算術平均數(shù)計算表5—2表5—2工人按日產(chǎn)量分組情況按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）各組日產(chǎn)量（件）12131617213224134834合計8119目前十三頁\總數(shù)七十頁\編于十二點則有平均日產(chǎn)量

=可見，某組標志值出現(xiàn)的次數(shù)越多，即權數(shù)f越大，平均數(shù)受該組的影響就越大，反之亦然。如果各組次數(shù)完全相同，即各組f相等，此時它不再對x大小產(chǎn)生影響，此時可得：目前十四頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例4]據(jù)例2資料，以各組次數(shù)占總次數(shù)為權數(shù)，計算平均日產(chǎn)量。表5—3加權算術平均數(shù)計算表按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)占總人數(shù)比重（%）

121316172537.512.52534.87524.25合計10014.125目前十五頁\總數(shù)七十頁\編于十二點（2）由組距數(shù)列計算加權算術平均數(shù)表5—4某商場食品部工人日銷售資料按日銷售額分組（元）職工人數(shù)（人）f組中值x各組銷售額（元）xf2000—25002500—30003000—350027722502750325045001925022750合計16—46500目前十六頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例6]某公司所屬15個商店某月商品銷售額計劃完程度如表5—5。表5—5商品銷售計劃完成程度檢查表按計劃完成程度分組%組中值x商店數(shù)（個）f計劃銷售額（萬元）f實際銷售額（萬元）90以下90---100100—110110---120120以上12543100150200250300合計

-----151000目前十七頁\總數(shù)七十頁\編于十二點計算表按計劃完成程度分組（%）組中值x（%）商店數(shù)（個）f計劃銷售額（萬元）f實際銷售額（萬元）xf90以下90---100100—110110---120120以上85951051151251254310015020025030085142.5210287.5375合計

-----1510001100目前十八頁\總數(shù)七十頁\編于十二點

110%如用商店數(shù)作權數(shù)，則：

如用計劃銷售額作權數(shù)，則：目前十九頁\總數(shù)七十頁\編于十二點算術平均數(shù)

(數(shù)學性質(zhì))平均數(shù)與次（頻）數(shù)和的乘積等于所有變量值的總和簡單算術平均數(shù)加權算術平均數(shù)目前二十頁\總數(shù)七十頁\編于十二點算術平均數(shù)

(數(shù)學性質(zhì))2. 各變量值與均值的離差之和等于零

3.各變量值與均值的離差平方和最小目前二十一頁\總數(shù)七十頁\編于十二點2、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是被研究對象中各單位標志值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)，因而也稱為倒數(shù)平均數(shù)。與算術平均數(shù)一樣，由于掌握的資料不同，分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權調(diào)和平均數(shù)。目前二十二頁\總數(shù)七十頁\編于十二點簡單調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)是標志值倒數(shù)的簡單算術平均數(shù)的倒數(shù)。在各個標志值相應的次數(shù)或頻數(shù)均為一的情況下求平均數(shù)時，用簡單式。其計算公式為：式中——調(diào)和平均數(shù)；

——各標志值；

——項數(shù)。目前二十三頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例7]某集貿(mào)市場西紅柿的價格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元，若早、中、晚各買1元錢，其平均價格為：用算術平均數(shù)計算：①早、中、晚各買1元錢，合計花3元。②早上用1元錢可買1／1＝1千克，中午用1元錢可買2千克,晚上用1元錢可買4千克,合計共買西紅柿7千克。③平均價格數(shù)：用簡單調(diào)和平均數(shù)計算：元/千克目前二十四頁\總數(shù)七十頁\編于十二點加權調(diào)和平均數(shù)

簡單調(diào)和平均數(shù)是在各變量值對平均數(shù)起同等作用的條件下應用的。式中：——調(diào)和平均數(shù)的權數(shù)目前二十五頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例8]如例7資料，早上買西紅柿為3元，中午買2元，晚上買1元，則其平均價格為：價格（元/千克）金額數(shù)量（千克）1.000.500.25321344合計611目前二十六頁\總數(shù)七十頁\編于十二點下面通過實例來說明加權算術平均數(shù)和加權調(diào)和平均數(shù)具體應用中的差異。［例9］某飯店分一部、二部、三部，2000年計劃收入分別為300萬元、260萬元、240萬元，計劃完成程度分別為102％，107％，109％，求平均計劃完成程度。根據(jù)掌握的資料，平均計劃完成程度應采用以計劃收入為權數(shù)的加權算術平均法來計算，見表5—7。目前二十七頁\總數(shù)七十頁\編于十二點表5—7某飯店計劃完成資料及計算表平均計劃完成程度為計劃完成（%）x計劃收入（萬元）f實際收入（萬元）xf一部二部三部102107109300260240306.0278.2261.6合計800845.8目前二十八頁\總數(shù)七十頁\編于十二點如果掌握的資料是實際數(shù)，而不是計劃數(shù)，就不能用加權算術平均數(shù)公式計算，應以實際收入為權數(shù)的加權調(diào)和平均數(shù)公式計算。見表5－8。表5—8某飯店實際完成資料及計算表計劃完成數(shù)（%）x實際完成數(shù)（萬元）m計劃收入（萬元）m/x一部二部三部102107109306.0278.2261.6300260240合計-----845.8800目前二十九頁\總數(shù)七十頁\編于十二點幾何平均數(shù)1.N

個變量值乘積的N

次方根2.適用于特殊的數(shù)據(jù)3.主要用于計算平均發(fā)展速度4.計算公式為5.可看作是均值的一種變形（簡單幾何平均數(shù)）目前三十頁\總數(shù)七十頁\編于十二點

【例10】一位投資者持有一種股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分別為4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%幾何平均數(shù)目前三十一頁\總數(shù)七十頁\編于十二點幾何平均數(shù)加權幾何平均數(shù)當計算幾何平均數(shù)的每個變量值的次數(shù)不相同時，則應用加權幾何平均法，公式如下：上式兩邊取對數(shù)得：目前三十二頁\總數(shù)七十頁\編于十二點4、中位數(shù)中位數(shù)的概念將被研究總體的各單位的標志值按大小順序排列，處于中間位置的那個標志值就是中位數(shù)，用符號Me表示。中位數(shù)代表了總體各單位標志值的平均水平目前三十三頁\總數(shù)七十頁\編于十二點中位數(shù)的確定（1）所給資料未分組①當n為奇數(shù)時，中位數(shù)就是居于中間位置的那個標志值。［例12］設有9個工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其日產(chǎn)量件數(shù)按大小順序排列為67778991014。則其中位數(shù)位次為，即處于第5位的那個標志值為中位數(shù)。即Me=8件。目前三十四頁\總數(shù)七十頁\編于十二點②當n為偶數(shù)時，中位數(shù)是處于中間位置的那兩個標志值的算術平均數(shù)。［例］設有10個工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其日產(chǎn)量件數(shù)按大小順序排列為6777899101418。則其中位數(shù)位次P=，就是說中位數(shù)處在第5個標志值與第6個標志值之間中點的位置。目前三十五頁\總數(shù)七十頁\編于十二點（2）所給的資料已分組根據(jù)單項數(shù)列確定中位數(shù)[例13]某學院1999到2000學年共有30名同學獲得獎學金，其分布情況見表5—11表5—11學生獲獎學金分布情況及計算表獎學金金額（元/人）人數(shù)（人）人數(shù)累計向上累計（人）向下累計（人）300500800100015003687639172430302721136合計30——目前三十六頁\總數(shù)七十頁\編于十二點從表中資料計算，中位數(shù)位置為：（人）中位數(shù)在第15人的位置上。無論是向上累計法還是向下累計法，所選擇的累計人數(shù)數(shù)值都應是含15人的最小數(shù)值。表中的17和21符合這一要求，它們對應的都是第三組，即800元就中位數(shù)。目前三十七頁\總數(shù)七十頁\編于十二點②根據(jù)組距數(shù)列確定中位數(shù)[例14]某企業(yè)職工按月收入總額分組情況如表5—12目前三十八頁\總數(shù)七十頁\編于十二點對于這類問題的計算，可以用以下兩式估算中位數(shù)的值：式中：——中位數(shù)

L——中位數(shù)所在組下限

——總體單位總數(shù)

——中位數(shù)所在組的次數(shù)

——中位數(shù)所在組之前的向上累計次數(shù)

d——中位數(shù)所在組的組距目前三十九頁\總數(shù)七十頁\編于十二點用此公式，可將前述的推算結果計算出：

(元)如果就表所給的資料，計算出向下累計戶數(shù)，則可用公式式中：U——中位數(shù)所在組的上限

——中位數(shù)所在組之后的向下累計次數(shù)目前四十頁\總數(shù)七十頁\編于十二點5、眾數(shù)

眾數(shù)是總體中各單位出現(xiàn)次數(shù)最多的那個標志值，也就是該總體各單位中最普通、最常出現(xiàn)的標志值。用眾數(shù)也可以表明社會經(jīng)濟現(xiàn)象的一般水平。眾數(shù)的特點和作用眾數(shù)作為總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，能直觀的說明總體各單位該標志值的集中趨勢，故能說明該現(xiàn)象數(shù)量方面的一般水平。只有當總體單位數(shù)比較多，且標志值的分布具有明顯的集中趨勢時，眾數(shù)的確定才有意義。如果標志值的分布呈均勻分布，該數(shù)列無眾數(shù)。當某種社會經(jīng)濟現(xiàn)象不可能或無必要全面登記出各單位標志值及各標志值出現(xiàn)的次數(shù)來計算算術平均數(shù)時，可用最普遍出現(xiàn)的標志值，即眾數(shù)來代替其一般水平。目前四十一頁\總數(shù)七十頁\編于十二點眾數(shù)的確定

首先要將數(shù)據(jù)資料進行分組，編制次數(shù)分布數(shù)列；然后，根據(jù)變量數(shù)列的不同種類采用不同的方法。1、由單項數(shù)列來確定眾數(shù)在單項式數(shù)列情況下，確定眾數(shù)比較簡單，只需通過觀察找出次數(shù)出現(xiàn)最多的那個標志值即可。這里重點介紹根據(jù)組距數(shù)列如何確定眾數(shù)目前四十二頁\總數(shù)七十頁\編于十二點2、由組距數(shù)列來計算眾數(shù)仍以表5—12為例，通過觀察，第四組的次數(shù)最多，故可確定眾數(shù)在第四組內(nèi)?？梢酝茢啵绻姅?shù)所在組的前一組的次數(shù)比后一組的次數(shù)多，則眾數(shù)就出現(xiàn)在組中值偏向上限這一邊的位置上。利用差數(shù)法，可以推斷出眾數(shù)的近似值的公式為：目前四十三頁\總數(shù)七十頁\編于十二點下限公式

式中：——眾數(shù)

L——眾數(shù)所在組的下限

i——眾數(shù)所在組的組距

——眾數(shù)組與前一組次數(shù)之差

——眾數(shù)組與后一組次數(shù)之差目前四十四頁\總數(shù)七十頁\編于十二點上限公式

式中：U——眾數(shù)所在組的上限目前四十五頁\總數(shù)七十頁\編于十二點算術平均數(shù)應用最廣泛的一種平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)算術平均數(shù)的轉化形式,這種平均數(shù)使用較少。而且，它要求每個原數(shù)據(jù)值都不能為零。幾何平均數(shù)用于計算相對數(shù)（如比率、速度等）的平均數(shù)中位數(shù)平均數(shù)的補充形式，兩者都是為避免原數(shù)據(jù)中極端值的影響而采用的方法，都不受每個原數(shù)據(jù)大小的影響，而只受位置和次數(shù)的影響。眾數(shù)根據(jù)同一資料分別計算和確定五種平均數(shù)，得到的結果一般是不同的。就算術平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)來說，算術平均數(shù)最大，幾何平均數(shù)其次，調(diào)和平均數(shù)最小。小結目前四十六頁\總數(shù)七十頁\編于十二點計算和應用統(tǒng)計平均指標應注意的問題（一）注意社會經(jīng)濟現(xiàn)象的同質(zhì)性所謂同質(zhì)性，就是社會經(jīng)濟現(xiàn)象的各個單位在被平均的標志上具有同類性，不同質(zhì)的現(xiàn)象，不能用來計算平均指標，這是計算平均指標的基本前提。否則，平均數(shù)不僅不能反映總體的本質(zhì)特征，而且還會抹煞現(xiàn)象之間的本質(zhì)區(qū)別，歪曲現(xiàn)象真相。目前四十七頁\總數(shù)七十頁\編于十二點（二）注意用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)[例15]某行業(yè)甲乙兩企業(yè)職工工資資料如表5—13。目前四十八頁\總數(shù)七十頁\編于十二點（三）注意用分布數(shù)列來補充說明平均數(shù)由于平均指標將各單位標志值的差異抽象化了，反映的是總體各單位該標志值的一般水平，因而掩蓋了總體各單位的差異及其分配情況，有時這種差異是不能被忽視的。[例16]有如下兩個班組工人的日產(chǎn)量資料，見表5—14。目前四十九頁\總數(shù)七十頁\編于十二點（四）把平均指標和具體情況結合起來分析平均數(shù)代表的是現(xiàn)象在具體的時間、地點、條件下的一般水平，所以在用平均指標進行統(tǒng)計分析時，一定要把對具體的時間、地點、條件的分析結合起來，才能全面地認識問題，正確地評價事物。目前五十頁\總數(shù)七十頁\編于十二點第三節(jié)標志變異指標標志變異指標的意義、作用和種類1.意義社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體各單位某一標志值之間，客觀上存在著各種各樣的差異，平均指標把這種差異抽象化，反映的是該標志值達到的一般水平，說明的是總體標志值的集中趨勢，卻掩蓋了其差異，有時這種差異可能很大，是不能被忽視的。標志變異指標又稱標志變動度指標，它反映了總體各單位某數(shù)量標志值之間的差異程度，是度量統(tǒng)計分布離中趨勢的綜合指標。它是說明總體標志值的變異、離散程度，評價平均指標的代表性的指標。目前五十一頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例17]有甲、乙兩個培訓班，各有10名學員，其年齡（歲）形成的數(shù)列如下：甲班19232935363744484960

乙班30373838383939404041從此例可看出，平均水平掩蓋了總體內(nèi)部各單位標志值的差異程度，所以，在分析實際問題時，除了要反映總體的一般水平外，還需要把總體內(nèi)部各單位標志值之間的差異程度反映出來，即需用標志變異指標來反映這些問題。目前五十二頁\總數(shù)七十頁\編于十二點標志變異指標的作用可以衡量平均指標的代表性。標志變異指標可以說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象變動過程的均衡性、節(jié)奏性和穩(wěn)定性。標志變異指標的大小有助于確定必要的抽樣數(shù)目標志變異指標的種類反映總體各單位標志值變動范圍的指標：全距。反映總體各單位標志值對平均數(shù)離差程度的指標：平均差、標準差及標準差系數(shù)。目前五十三頁\總數(shù)七十頁\編于十二點（一）全距全距又稱極差，它是總體各單位標志值中最大值與最小值之差，用R表示，其公式表示為R=最大標志值—最小標志值如前面甲乙兩培訓班學員年齡之例中：甲班學員年齡全距R=60一19＝41（歲）乙班學員年齡全距R＝41－30＝11（歲）全距這個指標直觀、易于理解且計算方便。

標志變異指標的計算目前五十四頁\總數(shù)七十頁\編于十二點平均差是數(shù)列中各單位標志值與其平均數(shù)值之間絕對離差的算術平均數(shù)，這是反映各變量值平均離散程度的一個綜合指標。用符號“A.D”表示,平均差可以分為簡單平均差和加權平均差。1、簡單平均差如掌握的資料未分組時可用簡單平均差來計算。其計算公式：（二）平均差目前五十五頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例18]根據(jù)例17中甲、乙培訓班學員年齡的資料，計算簡單平均差。目前五十六頁\總數(shù)七十頁\編于十二點甲班學員年齡平均差（歲）乙班學員年齡平均差：（歲）可見，甲班學員年齡平均差明顯的大于乙班學員年齡，說明乙班學員平均年齡的代表性要大于甲班學員平均年齡的代表性。目前五十七頁\總數(shù)七十頁\編于十二點2、加權平均差如果掌握的資料分組時，應采用加權平均法計算平均差，其計算公式為目前五十八頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例19]以某企業(yè)某車間工人日產(chǎn)量資料為例，見表5—16

目前五十九頁\總數(shù)七十頁\編于十二點由表求得：（件）（件）一般而言，平均差越大，標志變動度越大，平均數(shù)代表性越小，反之，平均數(shù)代表性越大。

目前六十頁\總數(shù)七十頁\編于十二點（三）標準差標準差是總體各單位標志值對其算術平均數(shù)離差的平方的算術平均數(shù)的平方根。又稱均方差，用表示1、簡單標準差如掌握的資料未分組時可用簡單標準差來計算，其計算公式為：目前六十一頁\總數(shù)七十頁\編于十二點[例20]對于為分組資料，仍以甲、乙兩班學員的年齡為例，計算其標準差，見表5—17目前六十二頁\總數(shù)七十頁\編于十二點由表中資料計算：甲班標準差（歲）乙班標準差