數(shù)學論文 淺談數(shù)學歸納法的應用

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦數(shù)學論文淺談數(shù)學歸納法的應用

淺談數(shù)學歸納法的應用

數(shù)學歸納法是證實與自然數(shù)有關的命題的一種辦法，應用廣泛．在最近幾年的高考試卷中體現(xiàn)的特殊顯然，以下通過幾道高考試題來談一談數(shù)學歸納法的應用。

一、用數(shù)學歸納法證實整除問題

用數(shù)學歸納法證實整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證實剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學歸納法證實問題的一大技巧。

例1、是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9對隨意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證實你的結論;若不存在，請說明理由.

證實：解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜測m=36.

下面用數(shù)學歸納法證實：

（1）當n=1時，明顯成立.

（2）假設n=k時，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;當n=k+1時，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k--1－1），

因為3k-1－1是2的倍數(shù)，故18（3k－

1－1）能被36整除.這就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36整除.

由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值為36.

二、用數(shù)學歸納法證實恒等式問題

對于證實恒等的問題，在由證等式也成立時，應準時把結論和推導過程對照，也就是我們通常所說的兩邊湊的辦法，以減小計算的復雜程度，從而發(fā)覺所要證實的式子，使問題的證實有目的性．

例2、是否存在常數(shù)cba,,，使得等式)(12

)1()1(32212222cbnannnnn+++=+?++?+?對一切自然數(shù)n成立？并證實你的結論．

解：假設存在cba,,，使得題設的等式成立，則當初3,2,1=n也成立，代入得

????

?????++=++=++=cbacbacba3970)24(2122)(614解得10,11

,3===cba，于是對3,2,1=n，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=

+?++?+?nnnnnn令222)1(3221+?++?+?=nnSn

假設kn=時上式成立，即)10113(12

)1(2+++=

kkkkSk那么21)2)(1(+++=+kkSSkk22)2)(1()10113(12

)1(++++++=kkkkkk

2)2)(1()53)(2(12

)1(++++++=

kkkkkk)101253(12

)2)(1(2+++++=kkkkk]10)1(11)1(3[12

)2)(1(2++++++=kkkk這就是說，等式當1+=kn時也成立．

綜上所述，當10,11,3===cba時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立．三、用數(shù)學歸納法證實不等式問題

用數(shù)學歸納法證實一些與n有關的不等式時，推導“n＝k＋1”時成立，有時要舉行一些容易的放縮，有時還要用到一些其他的證實不等式的辦法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．

例3．已知函數(shù)).1(1

3)(-≠++=xxxxf設數(shù)列na{}滿足)(,111nnafaa==+，數(shù)列nb{}滿足).(|,3|*21NnbbbSabnnnn∈+++=-=

（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證實1

2)13(--≤nnnb；（Ⅱ）證實.332<nS證實：解：（Ⅰ）證實：當.11

21)(,0≥++=≥xxfx時由于a1=1，所以*).(1Nnan∈≥下面用數(shù)學歸納法證實不等式.2

)13(1--≤nn

nb（1）當n=1時，b1=13-，不等式成立，

（2）假設當n=k時，不等式成立，即.2)13(1

--≤kk

kb那么k

kkkaaab+--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131kkkb+-≤-≤所以，當n=k+1時，不等也成立。

按照（1）和（2），可知不等式對隨意n∈N*都成立。

（Ⅱ）證實：由（Ⅰ）知，.2)13(1

--≤nn

nb所以12212

)13(2)13()13(--++-+-≤+++=nn

nnbbbS

2131)213(

1)13(?-=n.33221311)13(=--?-<故對隨意.33

2,<∈*nSNn例4．已知數(shù)列｛ｂn｝是等差數(shù)列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．

（1）求數(shù)列｛ｂn｝的通項公式ｂn；

（2）設數(shù)列｛an｝的通項an＝lg（1＋n

b1），記Sn為｛an｝的前n項和，試比較Sn與2

1lgｂn＋1的大小，并證實你的結論．解：（1）簡單得ｂn＝2n－1.

（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋

31）＋…＋lg（１＋121-n）＝lg（１＋１）（１＋

31）·…·（１＋121-n）.又2

11gbn＋１＝1g12+n，因此要比較Sn與211gbn＋１的大小，可先比較（1＋１）（１＋31）·…·（１＋1

21-n）與12+n的大小.取n=1，2，3時可以發(fā)覺：前者大于后者，由此推想

（1+1）（1+31）·…·（１＋1

21-n）＞12+n.①下面用數(shù)學歸納法證實上面猜測：

當n=1時，不等式①成立.

假設n=k時，不等式①成立，即

（1＋1）（1＋

31）·…·（１＋1

21-k）＞12+k.那么n=k+1時，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k）（１＋121+k）＞12+k（１＋

1

21+k）＝1212)1(2+++kkk.又［1212)1(2+++kkk］2－（32+k）2＝121+k＞０，∴

1

212)1(2+++kkk＞32+k=.1)1(2++k∴當n=k+1時①成立.綜上所述，n∈N*時①成立．

由函數(shù)單調性可判定Sn＞2

11gbn＋１.四、用數(shù)學歸納法解決某些與正整數(shù)有關的探究性問題

由有限個特別事例舉行歸納、猜測、，從而得出普通性的結論，然后加以證實是科學討論的重要思想辦法．在討論與正整數(shù)有關的數(shù)學命題中，此思想辦法尤其重要．

例5、已知y=f（x）滿足f（n－1）=f（n）－lgan－

1（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在實數(shù)α、β使f（n）=（αn2+βn－1）lga對任何n∈N*都成立，證實你的結論

解：∵f（n）=f（n－1）+lgan－

1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0又f（1）=－lga，

∴???=+=+.1420αββα∴???

????-==.21,21βα∴f（n）=（21n2－21n－1）lga證實：（1）當n=1時，明顯成立

（2）假設n=k時成立，即f（k）=（

21k2－21k－1）lga，則n=k+1時，

f（k+1）=f（k）+l

gak=f（k）+klga

=（21k2－21k－1+k）lga=［21（k+1）2－2

1（k+1）－1］lga∴當n=k+1時，等式成立

綜合（1）（2）可知，存在實數(shù)α、β且α=

21，β=－2

1，使f（n）=（αn2+βn－1）lga對隨意n∈N*都成立點評：本題是探究性問題．它通過觀看――歸納――猜測――證實這一完整的過程去探究和發(fā)覺問題，并證實所得出的結論的正確性，這是十分重要的一種思維能力．

六、數(shù)學歸納法與其它學問點的交匯

數(shù)學歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等學問相結合來考查，對于此類問題解決的關鍵往往在于抓住對問題的所劃分標準，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線間的關系等．

例6、平面上有n個圓，每兩個圓交于兩點，每三個圓不過同一點，求證這n個圓分平面為n2－n＋2個部分．

證實：（1）當n＝1時，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一個圓把平面分成兩部分，所以n＝1時命題成立．

（2）設當n＝k時，命題成立，即k個圓分平面為k2－k＋2個部分，則n＝k＋1時，第k＋1個圓與前k個圓有2k個交點，這2k個交點把第k＋1個圓分成2k段，每一段把本來的所在平面一分為二，故共增強了2k個平面塊，共有k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個部分．

∴當n＝k＋1時，命題也成立．

由（1）（2）可知，這個圓把平面分成n2－n＋2個部分．

點評：關于這類幾何問題，關鍵在于分析k與k＋1的差異，k到k＋1的變化狀況，然后借助于圖形的直觀性，建立k與k＋1的遞推關系．

例7．如下圖，設P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=x上的點列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x軸正半軸上的點列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn－1QnPn，…都是正三角形，設它們的邊長為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=3

1n（n+1）.

證實：（1）當n=1時，點P1是直線y=3x與曲線y=x的交點，

∴可求出P1（3

1，33）.∴a1=|OP1|=32.而31×1×2=32，命題成立.（2）假設n=k（k∈N*）時命題成立，即a1+a2+…+ak=31k（k+1），則點Qk的坐標為（3

1k（k+1），0），∴直線QkPk+1的方程為y=3[x－3

1k（k+1）].代入y=x，解得Pk+1點的坐標為)).1(33,3)1((2++kk∴a