數(shù)學(xué)論文 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

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淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法是證實(shí)與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種辦法，應(yīng)用廣泛．在最近幾年的高考試卷中體現(xiàn)的特殊顯然，以下通過(guò)幾道高考試題來(lái)談一談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。

一、用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)整除問(wèn)題

用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)整除問(wèn)題時(shí)，由到時(shí)，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證實(shí)剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)問(wèn)題的一大技巧。

例1、是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9對(duì)隨意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證實(shí)你的結(jié)論;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

證實(shí)：解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜測(cè)m=36.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，明顯成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時(shí)，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k--1－1），

因?yàn)?k-1－1是2的倍數(shù)，故18（3k－

1－1）能被36整除.這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）也能被36整除.

由（1）（2）可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值為36.

二、用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)恒等式問(wèn)題

對(duì)于證實(shí)恒等的問(wèn)題，在由證等式也成立時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過(guò)程對(duì)照，也就是我們通常所說(shuō)的兩邊湊的辦法，以減小計(jì)算的復(fù)雜程度，從而發(fā)覺(jué)所要證實(shí)的式子，使問(wèn)題的證實(shí)有目的性．

例2、是否存在常數(shù)cba,,，使得等式)(12

)1()1(32212222cbnannnnn+++=+?++?+?對(duì)一切自然數(shù)n成立？并證實(shí)你的結(jié)論．

解：假設(shè)存在cba,,，使得題設(shè)的等式成立，則當(dāng)初3,2,1=n也成立，代入得

????

?????++=++=++=cbacbacba3970)24(2122)(614解得10,11

,3===cba，于是對(duì)3,2,1=n，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=

+?++?+?nnnnnn令222)1(3221+?++?+?=nnSn

假設(shè)kn=時(shí)上式成立，即)10113(12

)1(2+++=

kkkkSk那么21)2)(1(+++=+kkSSkk22)2)(1()10113(12

)1(++++++=kkkkkk

2)2)(1()53)(2(12

)1(++++++=

kkkkkk)101253(12

)2)(1(2+++++=kkkkk]10)1(11)1(3[12

)2)(1(2++++++=kkkk這就是說(shuō)，等式當(dāng)1+=kn時(shí)也成立．

綜上所述，當(dāng)10,11,3===cba時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立．三、用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式問(wèn)題

用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)一些與n有關(guān)的不等式時(shí)，推導(dǎo)“n＝k＋1”時(shí)成立，有時(shí)要舉行一些容易的放縮，有時(shí)還要用到一些其他的證實(shí)不等式的辦法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．

例3．已知函數(shù)).1(1

3)(-≠++=xxxxf設(shè)數(shù)列na{}滿足)(,111nnafaa==+，數(shù)列nb{}滿足).(|,3|*21NnbbbSabnnnn∈+++=-=

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)1

2)13(--≤nnnb；（Ⅱ）證實(shí).332<nS證實(shí)：解：（Ⅰ）證實(shí)：當(dāng).11

21)(,0≥++=≥xxfx時(shí)由于a1=1，所以*).(1Nnan∈≥下面用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式.2

)13(1--≤nn

nb（1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=13-，不等式成立，

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即.2)13(1

--≤kk

kb那么k

kkkaaab+--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131kkkb+-≤-≤所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。

按照（1）和（2），可知不等式對(duì)隨意n∈N*都成立。

（Ⅱ）證實(shí)：由（Ⅰ）知，.2)13(1

--≤nn

nb所以12212

)13(2)13()13(--++-+-≤+++=nn

nnbbbS

2131)213(

1)13(?-=n.33221311)13(=--?-<故對(duì)隨意.33

2,<∈*nSNn例4．已知數(shù)列｛ｂn｝是等差數(shù)列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．

（1）求數(shù)列｛ｂn｝的通項(xiàng)公式ｂn；

（2）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an＝lg（1＋n

b1），記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與2

1lgｂn＋1的大小，并證實(shí)你的結(jié)論．解：（1）簡(jiǎn)單得ｂn＝2n－1.

（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋

31）＋…＋lg（１＋121-n）＝lg（１＋１）（１＋

31）·…·（１＋121-n）.又2

11gbn＋１＝1g12+n，因此要比較Sn與211gbn＋１的大小，可先比較（1＋１）（１＋31）·…·（１＋1

21-n）與12+n的大小.取n=1，2，3時(shí)可以發(fā)覺(jué)：前者大于后者，由此推想

（1+1）（1+31）·…·（１＋1

21-n）＞12+n.①下面用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)上面猜測(cè)：

當(dāng)n=1時(shí)，不等式①成立.

假設(shè)n=k時(shí)，不等式①成立，即

（1＋1）（1＋

31）·…·（１＋1

21-k）＞12+k.那么n=k+1時(shí)，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k）（１＋121+k）＞12+k（１＋

1

21+k）＝1212)1(2+++kkk.又［1212)1(2+++kkk］2－（32+k）2＝121+k＞０，∴

1

212)1(2+++kkk＞32+k=.1)1(2++k∴當(dāng)n=k+1時(shí)①成立.綜上所述，n∈N*時(shí)①成立．

由函數(shù)單調(diào)性可判定Sn＞2

11gbn＋１.四、用數(shù)學(xué)歸納法解決某些與正整數(shù)有關(guān)的探究性問(wèn)題

由有限個(gè)特別事例舉行歸納、猜測(cè)、，從而得出普通性的結(jié)論，然后加以證實(shí)是科學(xué)討論的重要思想辦法．在討論與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題中，此思想辦法尤其重要．

例5、已知y=f（x）滿足f（n－1）=f（n）－lgan－

1（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在實(shí)數(shù)α、β使f（n）=（αn2+βn－1）lga對(duì)任何n∈N*都成立，證實(shí)你的結(jié)論

解：∵f（n）=f（n－1）+lgan－

1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0又f（1）=－lga，

∴???=+=+.1420αββα∴???

????-==.21,21βα∴f（n）=（21n2－21n－1）lga證實(shí)：（1）當(dāng)n=1時(shí)，明顯成立

（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即f（k）=（

21k2－21k－1）lga，則n=k+1時(shí)，

f（k+1）=f（k）+l

gak=f（k）+klga

=（21k2－21k－1+k）lga=［21（k+1）2－2

1（k+1）－1］lga∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立

綜合（1）（2）可知，存在實(shí)數(shù)α、β且α=

21，β=－2

1，使f（n）=（αn2+βn－1）lga對(duì)隨意n∈N*都成立點(diǎn)評(píng)：本題是探究性問(wèn)題．它通過(guò)觀看――歸納――猜測(cè)――證實(shí)這一完整的過(guò)程去探究和發(fā)覺(jué)問(wèn)題，并證實(shí)所得出的結(jié)論的正確性，這是十分重要的一種思維能力．

六、數(shù)學(xué)歸納法與其它學(xué)問(wèn)點(diǎn)的交匯

數(shù)學(xué)歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等學(xué)問(wèn)相結(jié)合來(lái)考查，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對(duì)問(wèn)題的所劃分標(biāo)準(zhǔn)，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)、交線間的關(guān)系等．

例6、平面上有n個(gè)圓，每?jī)蓚€(gè)圓交于兩點(diǎn)，每三個(gè)圓不過(guò)同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面為n2－n＋2個(gè)部分．

證實(shí)：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一個(gè)圓把平面分成兩部分，所以n＝1時(shí)命題成立．

（2）設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓分平面為k2－k＋2個(gè)部分，則n＝k＋1時(shí)，第k＋1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)把第k＋1個(gè)圓分成2k段，每一段把本來(lái)的所在平面一分為二，故共增強(qiáng)了2k個(gè)平面塊，共有k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個(gè)部分．

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．

由（1）（2）可知，這個(gè)圓把平面分成n2－n＋2個(gè)部分．

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于這類(lèi)幾何問(wèn)題，關(guān)鍵在于分析k與k＋1的差異，k到k＋1的變化狀況，然后借助于圖形的直觀性，建立k與k＋1的遞推關(guān)系．

例7．如下圖，設(shè)P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=x上的點(diǎn)列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn－1QnPn，…都是正三角形，設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=3

1n（n+1）.

證實(shí)：（1）當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)P1是直線y=3x與曲線y=x的交點(diǎn)，

∴可求出P1（3

1，33）.∴a1=|OP1|=32.而31×1×2=32，命題成立.（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即a1+a2+…+ak=31k（k+1），則點(diǎn)Qk的坐標(biāo)為（3

1k（k+1），0），∴直線QkPk+1的方程為y=3[x－3

1k（k+1）].代入y=x，解得Pk+1點(diǎn)的坐標(biāo)為)).1(33,3)1((2++kk∴a