(強(qiáng)烈推薦!)空間向量與立體幾何教案

PAGE49(強(qiáng)烈推薦!)空間向量與立體幾何教案空間向量與立體幾何一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算共線(xiàn)向量定理共面向量定理空間向量基本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量用空間向量證平行與垂直問(wèn)題求空間角求空間距離二．考綱要求：（1）空間向量及其運(yùn)算①經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程；②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；③掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；④掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直。（2）空間向量的應(yīng)用①理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量；②能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直、平行關(guān)系；③能用向量方法證明有關(guān)線(xiàn)、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線(xiàn)定理）；④能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。三、命題走向本章內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本章是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本章的考查形式為：以客觀題形式考查空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。預(yù)測(cè)10年高考對(duì)本章內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。第一課時(shí)空間向量及其運(yùn)算一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1．理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘；2．了解空間向量的基本定理；3．掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直。二、重難點(diǎn)：理解空間向量的概念；掌握空間向量的運(yùn)算方法三、教學(xué)方法：探析類(lèi)比歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）、談最新考綱要求及新課標(biāo)高考命題考查情況，促使積極參與。學(xué)生閱讀復(fù)資P128頁(yè)，教師點(diǎn)評(píng)，增強(qiáng)目標(biāo)和參與意識(shí)。（二）、知識(shí)梳理，方法定位。（學(xué)生完成復(fù)資P128頁(yè)填空題，教師準(zhǔn)對(duì)問(wèn)題講評(píng)）。1．空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線(xiàn)段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等的向量。BCOA說(shuō)明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示；BCOA2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率加法交換率：加法結(jié)合率：數(shù)乘分配率：說(shuō)明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3．平行向量(共線(xiàn)向量)：如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量。平行于記作∥。注意：當(dāng)我們說(shuō)、共線(xiàn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn)；當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線(xiàn)向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（≠）、，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使＝（1）對(duì)于確定的和，＝表示空間與平行或共線(xiàn)，長(zhǎng)度為||，當(dāng)>0時(shí)與同向，當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量。（3）若直線(xiàn)l∥，，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式。推論：如果

l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿(mǎn)足等式①其中向量叫做直線(xiàn)l的方向向量。在l上取，則①式可化為②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則③①或②叫做空間直線(xiàn)的向量參數(shù)表示式，③是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)公式。注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線(xiàn)參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線(xiàn)a∥的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個(gè)向量、不共線(xiàn)，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使①注：與共線(xiàn)向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使④或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有⑤在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵代入⑤，整理得⑥由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，只要滿(mǎn)足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿(mǎn)足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線(xiàn)的兩個(gè)向量、（或不共線(xiàn)三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。5．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使說(shuō)明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線(xiàn)。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使6．?dāng)?shù)量積（1）夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作ABO（1）說(shuō)明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=；ABO（1）⑵如果=，則稱(chēng)與互相垂直，記作⊥；ABO（2）⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線(xiàn)段的起點(diǎn)重合，注意圖（1ABO（2）圖（1）中∠AOB=，圖（2）中∠AOB=,從而有==.（2）向量的模：表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。（3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。ABl即=，ABl向量:（4）性質(zhì)與運(yùn)算率⑴。⑴⑵⊥=0⑵=⑶⑶（三）．典例解析題型1：空間向量的概念及性質(zhì)例1、有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線(xiàn)；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是（）。①②①③②③①②③解析：對(duì)于①“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線(xiàn)”；所以①錯(cuò)誤。②③正確。題型2：空間向量的基本運(yùn)算例2、如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，，，則下列向量中與相等的向量是（）解析：顯然；答案為A。點(diǎn)評(píng)：類(lèi)比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過(guò)程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題，使復(fù)雜的線(xiàn)面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。例3、已知：且不共面.若∥,求的值.解：∥,,且即又不共面,點(diǎn)評(píng)：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線(xiàn)定理。例4、底面為正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)，求證：AB1∥平面C1BD.證明：記則∴,∴共面.∵B1平面C1BD,AB1//平面C1BD.（四）強(qiáng)化鞏固導(dǎo)練1、已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.解：易求得2、在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 (A)。ABCDA1C1B1A．-a＋b＋c B．a(chǎn)＋b＋cABCDA1C1B1C．a(chǎn)-b＋c D．-a-b＋c3、（2009四川卷理）如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)所成的角的大是。解析：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，選擇基向量，則，故填寫(xiě)。（五）、小結(jié)：1．立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)證明．對(duì)于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0進(jìn)行證明．對(duì)于平行，一般是利用共線(xiàn)向量和共面向量定理進(jìn)行證明．2．運(yùn)用向量求解距離問(wèn)題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線(xiàn)段所對(duì)向量，然后計(jì)算這個(gè)向量對(duì)應(yīng)的模．而計(jì)算過(guò)程中只要運(yùn)用好加法法則，就總能利用一個(gè)一個(gè)的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來(lái)，從而求得結(jié)果．3．利用向量求夾角(線(xiàn)線(xiàn)夾角、線(xiàn)面夾角、面面夾角)有時(shí)也很方便．其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用公式cosθ＝．4．異面直線(xiàn)間的距離的向量求法：已知異面直線(xiàn)l1、l2，AB為其公垂線(xiàn)段，C、D分別為l1、l2上的任意一點(diǎn)，為與共線(xiàn)的向量，則｜｜＝.5．設(shè)平面α的一個(gè)法向量為，點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn)，且Po∈α，則點(diǎn)P到平面α的距離是d＝.（六）、作業(yè)布置：課本P32頁(yè)A組中2、3、4B組中3課外練習(xí)：課本P39頁(yè)A組中8；B組中3；復(fù)資P130頁(yè)變式訓(xùn)練中1、2、3、5、6五、教學(xué)反思：第二課時(shí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解空間向量坐標(biāo)的概念；2、掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3．掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式．二、重難點(diǎn)：掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式．三：教學(xué)方法：探析類(lèi)比歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）、基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)（學(xué)生完成下列填空題）1、空間直角坐標(biāo)系：（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平面；2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．3、設(shè)a＝，b＝(1)a±b＝。(2)a＝．(3)a·b＝．(4)a∥b；ab．（5）模長(zhǎng)公式：若，則．（6）夾角公式：．（7）兩點(diǎn)間的距離公式：若，，則(8)設(shè)則＝，．AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為．4、直線(xiàn)的方向向量的定義為。如何求直線(xiàn)的方向向量？5、平面的法向量的定義為。如何求平面的法向量？（二）典型題型探析題型1：空間向量的坐標(biāo)例1、（1）已知兩個(gè)非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）A.：||=：||B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，則x+y的值是（）A.－3或1B.3或－1C.－3D.1（3）下列各組向量共面的是（）A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D；點(diǎn)撥：由共線(xiàn)向量定線(xiàn)易知；（2）A點(diǎn)撥：由題知或；（3）A點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得。點(diǎn)評(píng)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考查共線(xiàn)、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況。例2、已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值.思維入門(mén)指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.(1)cos==－，∴和的夾角為－。(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。則k=－或k=2。點(diǎn)撥：第（2）問(wèn)在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。題型2：數(shù)量積例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，則（2－）·=_____.（2）設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.又∵與的夾角為，∴·=||||cos==.又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.∴或同理可得或∵≠，∴或∴cos<，>=·+·=+=.∵0≤<，>≤π，∴<，>=。評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。題型3：空間向量的應(yīng)用例4、（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4。（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1（1，-2，1）移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功。解析：（1）設(shè)=(，，)，=(1，1，1)，則||=4，||=.∵·≤||·||，∴·=++≤||·||=4.當(dāng)==時(shí)，即a=b=c=時(shí)，取“=”號(hào)。（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。點(diǎn)評(píng)：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱(chēng)為柯西不等式(n=3)。本題考查||·||≥·的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量，，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算?？臻g向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問(wèn)題。（三）、強(qiáng)化鞏固訓(xùn)練1、(07天津理，4)設(shè)、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線(xiàn),則①（·）－（·）=②||－||<|－|③（·）－（·）不與垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（）A.①② B.②③ C.③④ D.②④解析：①平面向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律.故①假；答案：D②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因?yàn)椋郏āぃāぃ荨?（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。2、已知為原點(diǎn)，向量∥，求．解：設(shè)，∵∥，∴，，∴，即解此方程組，得。（四）、小結(jié)：(1)共線(xiàn)與共面問(wèn)題；(2)平行與垂直問(wèn)題；(3)夾角問(wèn)題；(4)距離問(wèn)題；運(yùn)用向量來(lái)解決它們有時(shí)會(huì)體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢(shì)．用空間向量解題的關(guān)鍵步驟是把所求向量用某個(gè)合適的基底表示，本節(jié)主要是用單位正交基底表示，就是適當(dāng)?shù)亟⑵鹂臻g直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，然后進(jìn)行向量與向量的坐標(biāo)運(yùn)算，最后通過(guò)向量在數(shù)量上的關(guān)系反映出向量的空間位置關(guān)系，從而使問(wèn)題得到解決．在尋求向量間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，一個(gè)基本的思路是列方程，解方程．（五）、作業(yè)布置：課本P56頁(yè)A組中6、11、12、19課外練習(xí)：限時(shí)訓(xùn)練53中2、4、7、9、10、12、14五、教學(xué)反思：第三課時(shí)空間向量及其運(yùn)算強(qiáng)化訓(xùn)練一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2、掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3、掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直；4、通過(guò)本課強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步熟練理解和掌握上述概念和運(yùn)算方法，提高學(xué)生的靈活和綜合運(yùn)用能力。二、重難點(diǎn)：空間向量及其運(yùn)算的綜合運(yùn)用。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納。四、教學(xué)過(guò)程（一）、基礎(chǔ)自測(cè)（分組訓(xùn)練、共同交流）1.有4個(gè)命題：①若p=xa+yb，則p與a、b共面；②若p與a、b共面，則p=xa+yb；③若=x+y，則P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，則=x+y.其中真命題的個(gè)數(shù)是（B）。A.1 B.2 C.3 D.42.下列命題中是真命題的是(D)。A.分別表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則這兩個(gè)向量不是共面向量B.若|a|=|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C.若向量，滿(mǎn)足||＞||，且與同向，則＞D.若兩個(gè)非零向量與滿(mǎn)足+=0，則∥3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，則 （C ）。A.x=1,y=1 B.x=，y=- C.x=，y=- D.x=-，y=4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是.答案5.在四面體O-ABC中，=a,=b,=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)，則=(用a,b,c表示).答案a+b+c（二）、典例探析例1、如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a，=b，=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）+.解（1）∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴=++=a++=a+c+=a+c+b.（2）∵N是BC的中點(diǎn)，∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.（3）∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c，又=+=+=+=c+a，∴+=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.例2、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).（1）求證：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的長(zhǎng)；（3）求異面直線(xiàn)AN與CM夾角的余弦值.（1）證明設(shè)=p,=q，=r.由題意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.=-=（+）-=（q+r-p）， ∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD. （2）解由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2 =［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]=×2a2=.∴||=a,∴MN的長(zhǎng)為a.(3)解設(shè)向量與的夾角為.∵=(+)=(q+r),=-=q-p,∴·=（q+r）·（q-p）=（q2-q·p+r·q-r·p）=(a2-a2·cos60°+a2·cos60°-a2·cos60°)=（a2-+-）=.又∵||=||=，∴·=||·||·cos=··cos=.∴cos=， ∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線(xiàn)AN與CM夾角的余弦值為. 例3、（1）求與向量a=(2,-1,2)共線(xiàn)且滿(mǎn)足方程a·x=-18的向量x的坐標(biāo)；（2）已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求點(diǎn)P的坐標(biāo)使得=（-）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a與b夾角的余弦值；③確定，的值使得a+b與z軸垂直，且（a+b）·（a+b）=53.解（1）∵x與a共線(xiàn)，故可設(shè)x=ka，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（）2=9k，∴9k=-18，故k=-2.∴x=-2a=（-4，2，-4）.（2）設(shè)P（x，y，z），則=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1），∵=（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)∴，解得∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(5，，0).（3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21.②∵|a|==5,|b|==,∴cos〈a,b〉===-.∴a與b夾角的余弦值為-.③取z軸上的單位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.依題意即故解得.（三）、強(qiáng)化訓(xùn)練：如圖所示，正四面體V—ABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M.（1）求證：AO、BO、CO兩兩垂直；（2）求〈,〉.(1)證明設(shè)=a,=b,=c,正四面體的棱長(zhǎng)為1,則=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c)∴·=（b+c-5a）·（a+c-5b）=（18a·b-9|a|2）=（18×1×1·cos60°-9）=0.∴⊥，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO，∴AO、BO、CO兩兩垂直.（2）解=+=-（a+b+c）+c=(-2a-2b+c).∴||==，||==，·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，∴cos〈,〉==，∵〈,〉∈(0,),∴〈,〉=45°.（四）、小結(jié)：本節(jié)主要有空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式，要充分利用空間圖形中已有的直線(xiàn)的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類(lèi)似，具有類(lèi)似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒(méi)有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒(méi)變。不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為，對(duì)于中點(diǎn)公式要熟記。（五）、作業(yè)布置：復(fù)資P129頁(yè)中4、5、8、9補(bǔ)充：1、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則·的值為（C）A.a2 B. C. D.2、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且=，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(C)A. B. C. D.3、如圖所示，平行六面體ABCD—A1B1C1D1兩夾角為60°.(1)求AC1的長(zhǎng)；（2）求BD1與AC夾角的余弦值.解記=a，=b，=c，則|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,∴a·b=b·c=c·a=.（1）||2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（a·b+b·c+c·a）=1+1+1+2×(++)=6,∴||=,即AC1的長(zhǎng)為.(2)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,·=（b+c-a）·（a+b）=b2-a2+a·c+b·c=1.∴cos〈,〉==.∴AC與BD1夾角的余弦值為.五、教學(xué)反思：立體幾何中的向量方法空間夾角和距離一．考綱要求：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2．能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。二．命題走向：空間的夾角和距離問(wèn)題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本節(jié)的考查主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查。第一課時(shí)空間夾角和距離一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2．能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。二、重難點(diǎn)：向量法在立體幾何中求空間的夾角和距離應(yīng)用。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學(xué)過(guò)程（一）、談最新考綱要求及新課程高考命題考查情況，促使積極參與。學(xué)生閱讀復(fù)資132頁(yè)，教師講解，增強(qiáng)目標(biāo)與參與意識(shí)。（二）、知識(shí)梳理，方法定位（學(xué)生完成復(fù)資P132頁(yè)填空題，教師準(zhǔn)對(duì)問(wèn)題講評(píng)）1．空間中各種角包括：異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角以及二面角。（1）異面直線(xiàn)所成的角的范圍是。求兩條異面直線(xiàn)所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線(xiàn)，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來(lái)求角。（2）直線(xiàn)與平面所成的角的范圍是。求直線(xiàn)和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。DBDBAC①找過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)；②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線(xiàn)在平面的射影，確定出所求的角；③把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線(xiàn)和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線(xiàn)所成的一切角中的最小角，即若θ為線(xiàn)面角，α為斜線(xiàn)與平面內(nèi)任何一條直線(xiàn)所成的角，則有；（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：①斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線(xiàn)在平面的射影上；②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；如果一條直線(xiàn)與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線(xiàn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；③兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上；④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b.如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c.如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒(méi)有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法①棱上一點(diǎn)雙垂線(xiàn)法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角，就是二面角的平面角；②面上一點(diǎn)三垂線(xiàn)法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線(xiàn)，再由垂足向棱作垂線(xiàn)得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線(xiàn)和斜足與垂足連線(xiàn)所夾的角，即為二面角的平面角；③空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2．空間的距離（1）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：點(diǎn)Ｐ到直線(xiàn)的距離為點(diǎn)Ｐ到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，常先找或作直線(xiàn)所在平面的垂線(xiàn)，得垂足為Ａ，過(guò)Ａ作的垂線(xiàn)，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線(xiàn)定理可得線(xiàn)段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線(xiàn)的距離。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長(zhǎng)即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Ｐ到平面的距離為點(diǎn)Ｐ到平面的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)．常用求法①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線(xiàn)后求出垂線(xiàn)段的長(zhǎng)；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線(xiàn)上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法（2）異面直線(xiàn)間的距離：異面直線(xiàn)間的距離為間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)．常有求法①先證線(xiàn)段ＡＢ為異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段，然后求出ＡＢ的長(zhǎng)即可．②找或作出過(guò)且與平行的平面，則直線(xiàn)到平面的距離就是異面直線(xiàn)間的距離．③找或作出分別過(guò)且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線(xiàn)間的距離．④根據(jù)異面直線(xiàn)間的距離公式求距離。（3）直線(xiàn)到平面的距離：只存在于直線(xiàn)和平面平行之間．為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間．為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。以上所說(shuō)的所有距離：點(diǎn)線(xiàn)距，點(diǎn)面距，線(xiàn)線(xiàn)距，線(xiàn)面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。3．空間向量的應(yīng)用abEabEF如右圖所示，a、b是兩異面直線(xiàn)，是a和b的法向量，點(diǎn)E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線(xiàn)a與b之間的距離是；ABCABCα如右圖所示，已知AB是平面α的一條斜線(xiàn)，為平面α的法向量，則A到平面α的距離為；（3）用法向量求直線(xiàn)到平面間的距離首先必須確定直線(xiàn)與平面平行，然后將直線(xiàn)到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。（5）用法向量求二面角αβ如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。αβ（6）法向量求直線(xiàn)與平面所成的角要求直線(xiàn)a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量與直線(xiàn)a的夾角的余弦，易知θ=或者。（三）、基礎(chǔ)鞏固導(dǎo)練1、在平行六面體ABCD—中，設(shè)，則x+y+z=（A）A. B. C. D.2、在正方體ABCD—中，M是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則異面直線(xiàn)OP與AM所成角的大小為（C）A. B. C. D.與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)3、如圖，正方體ABCD—中，E、F分別是AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A1C與EF所成角的余弦值為（B）A. B. C. D.4、如圖所示，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE。（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大??；（3）求點(diǎn)D到平面ACE的距離。10、（1）略（2） （3）（四）、小結(jié)：本課要求大家理解和掌握運(yùn)用向量法解決立體幾何中：1、線(xiàn)面角的求法：2、二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線(xiàn)，則二面角的大小為。3、設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。4、異面直線(xiàn)間距離的求法：5、點(diǎn)面距離的求法：6、線(xiàn)面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。（五）、作業(yè)布置：課本P57頁(yè)A組中16、17、18B組中3課外練習(xí)：復(fù)資P133頁(yè)變式訓(xùn)練題1、2、4、5、6、7、8五、教學(xué)反思：第二課時(shí)用向量法求空間夾角——熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角；2．能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。3、探究題型，掌握解法。二、重難點(diǎn)：向量法在立體幾何中求空間的夾角應(yīng)用。探究題型，掌握解法。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學(xué)過(guò)程（一）熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析題型1：異面直線(xiàn)所成的角A1B1C1D1ABCDExyz例1、A1B1C1D1ABCDExyz求：D1E與平面BC1D所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆┙馕觯航⒆鴺?biāo)系如圖，則、，，，，，，，，，。不難證明為平面BC1D的法向量，∵?！郉1E與平面BC1D所成的角的余弦值為。反思?xì)w納：將異面直線(xiàn)間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2：直線(xiàn)與平面所成的角例2、（09年高考試題）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B與平面ABDGDDA1C1B1CBKxyzAE解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)CA＝2a，則A(2a，0，0)，B(0，2aGDDA1C1B1CBKxyzAE∵，，，∴a＝1，，∵為平面ABD的法向量，且?！郃1B與平面ABD所成角的余弦值是。反思?xì)w納：先處理平面的法向量，再求直線(xiàn)的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面角。題型3：二面角EFO例3、（08年高考）在四棱錐PEFO（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大?。ㄓ谜兄当硎荆?；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解析：（1）延長(zhǎng)AB、DE交于點(diǎn)F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB,PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，過(guò)A作AO⊥PF于O，連結(jié)OD，則∠AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖∵AD⊥PA、AB,PA∩AB=A，∴DA⊥平面BPA于A,同時(shí)，BC⊥平面BPA于B，∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ,cosθ=S△PAB/S△PCD=/2θ=450。即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°。解法2（補(bǔ)形化為定義法）如圖：將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCD－PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。在Rt△PAD中，PA=AD，則∠APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°。（二）、強(qiáng)化鞏固訓(xùn)練1、（2007年，北京卷高考題）如圖6，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱，D是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且。求二面角的大小。（略去了該題的①，③問(wèn)）2、（06四川卷）已知球的半徑是1，、、三點(diǎn)都在球面上，、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)的球面距離都是，、兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是（）（A）（B）（C）（D）1、解析：（1）取BC的中點(diǎn)O，連AO。由題意：平面平面，，∴平面，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，由題意平面ABD，∴為平面ABD的法向量。設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，即。∴不妨設(shè)，由，得。故所求二面角的大小為。評(píng)析：（1）用法向量的方法處理二面角的問(wèn)題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問(wèn)題時(shí)的三步曲：“找——證——求”直接簡(jiǎn)化成了一步曲：“計(jì)算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神；（2）此法在處理二面角問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問(wèn)題，如本題中若取時(shí)，會(huì)算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。2、解析：球的半徑是R=，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，則∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，兩點(diǎn)的球面距離是，∠BOC=，BC=1，過(guò)B做BD⊥AO，垂足為D，連接CD，則CD⊥AD，則∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，選C。（三）、小結(jié)：本課要求大家理解和掌握運(yùn)用向量法解決立體幾何中：1、線(xiàn)面角的求法：2、二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線(xiàn)，則二面角的大小為。3、設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。教師引導(dǎo)學(xué)生反思?xì)w納回顧，進(jìn)一步深化理解。（四）、作業(yè)布置：復(fù)資P133頁(yè)中2、3、4課外練習(xí)：限時(shí)訓(xùn)練54中3、5、7、8、10、11五、教學(xué)反思：第三課時(shí)用向量法求空間的距離——熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的距離；2．能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的距離的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。3、探究題型，掌握解法。二、重難點(diǎn)：向量法在立體幾何中求空間的距離應(yīng)用。探究題型，掌握解法。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納四、教學(xué)過(guò)程ABABCDOS圖2題型1：異面直線(xiàn)間的距離例1、如圖2，正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)。求異面直線(xiàn)和之間的距離？分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，。，。令向量，且，則，，，，。異面直線(xiàn)和之間