2019年熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)題庫

熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)習(xí)題解答

第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律一

第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)------

第三章單元系的復(fù)相平衡一

第四章多元系的復(fù)相平衡和化學(xué)平衡

第六章近獨立粒子的最概然分布一

第七章玻爾茲曼統(tǒng)計--------------

第八章玻色統(tǒng)計和費密統(tǒng)計一

第九章系綜理論------------------

第十章漲落理論--

第十一章非平衡態(tài)的統(tǒng)計理論------

第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律

1.1試求理想氣體的體脹系數(shù)a,壓強系數(shù)B和等溫壓縮系數(shù)K。

解：理想氣體的物態(tài)方程為pV=RT,由此可算得：

「」(叫」(2)L-

VSTTPdTTVdP~P

1.2證明任何一種具有兩個獨立參量T,P的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測得的體脹系數(shù)a及等溫壓縮系數(shù)

根據(jù)下述積分求得:

11

InV=jf{adT-kdP),如果。=7，氏=—,試求物態(tài)方程。

證明:

dVa,P)=(—),>dT+(—)Tdp

cldP兩邊除以v,得

dV1加、1仍、J，

-^—(.—)pdT+—(—)Tdp^adT-/(dp

VVoTVdp

積分后得InV=J(a"T-kdP)如果

11

a—K=一,

TP

irpIT)

代入上式，得lnV=J(與一^^ulnT-lnP+lnC

所以物態(tài)方程為；PV=CT

與Imol理想氣體得物態(tài)方程PV=RT相比較，可知所要求的物態(tài)方程即為理想氣體物態(tài)方程。

L3在0℃和latm下，測得一塊銅的體脹系數(shù)和壓縮系數(shù)為a=4.185X吐k=7.8X10'atma和k可

以近似看作常數(shù)。今使銅加熱至10℃,問(1)壓力要增加多少大氣壓才能使銅塊的體積維持不變？)若壓力

增加lOOatm,銅塊的體積改變多少？

dV1皿、1皿、,萬，

—^—(—)pdr+—{-)Tdp^adr-Kdp

解：(a)由上題VvdTvdp

體積不變，即dV=0

所以dP=巴dT即bP=—AT=4-85X10,xl0=622atm

kk7.8xlO-7

574

—=^^=a(7；-7；)-/i：(p2-p1)=4.85xlO-xlO-7.8xlO-xlOO=4.O7xlO-

(b)%%

可見，體積增加萬分之4.07。

1.4描述金屬絲的幾何參量是長度L,力學(xué)參量是張力F,物態(tài)方程是

f(F,L,T)=0?實驗通常在Ip“下進行，其體積變化可以忽略。

線脹系數(shù)定義為。=!(更)下，等溫楊氏模量定義為Y=—(-)T,

LdTAdL

其中A是金屬絲的截面積。一般來說，°和Y是T的函數(shù)，對F僅有微弱的依賴關(guān)系。如果溫度變化范圍不大,

可以看作常量。假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由「降至3時，其張力的增加為

=—YAcx(Tz—7；)

證明：（a）設(shè)尸=尸（7，L）,則

(i)

由于

所以

將（2）式代入（1）式，并利用線脹系數(shù)。和等溫楊氏模量的定義式，得

（b）當(dāng)金屬絲兩端固定時，dl=0,由（3）式得

dF=-aAYdT

當(dāng)溫度由「降至七時，積分上式得

AF=-E4a(7；—7；)

尸="（三一與）

1.5—理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為L其中L是長度，L是張力F為零時的L值,

它只是溫度T的函數(shù)，b是常數(shù)。試證明：

丫―）

(a)等溫楊氏模量為

_3bT

~~A~

(b)在張力為零時,線膨脹系數(shù)

11叫

a=%)a=-------

亍L"+2其中TdL

T=3O(K,Z7=1.33xlO-2N-

(c)上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設(shè)K-'

LL

A=lxl°=5x10.試計算當(dāng)％分別為0.5,i.o,1.5和2.0時的a對人的

m,a0KF,Y,

曲線。

證明：（a）由彈性物質(zhì)得物態(tài)方程，可得

8F1

=bT------F2Gl

SL/77

TL（1）

將上式代入等溫楊氏模量的定義式、

幺空、bT(L?2M

y=」bT-L+/

A

AI?LJj-7A1413)(2)

當(dāng)F=0時，L=L?,由（2）式得

《當(dāng)。+2）=3bT

A

4-i

=a(4)

o&2

1.6Imol理想氣體，在27"C的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強由20p“準靜態(tài)地降到14，求氣體所作的功和所

吸收取的熱量。

解：（a）在恒溫準靜態(tài)膨脹過程中，理想氣體所作的功為

wf—pdV=RT匕且上=RTm

VV,

因為=RT，P2V2=RT，故有％p2

W'=RT1Q=8.3lx3001n20=7.46x103J-mor'.

Pi

(b)理想氣體在恒溫膨脹過程中，內(nèi)能不變，根據(jù)熱力學(xué)第一定律，求得

Q=W'=7A6xlQpJ-mor'.

1.7在25"C下，壓強在0至lOOOp”之間，測得水的體積為

-62

V=(18.066-0.715x10-3〃+o.O46x10p)c".mor'

如果保持溫度不變，將Imol的水從Ip“加壓至1000p“，求外界所作的功。

解：寫出+a+^P+cP，

則dV=(b+2cp)dp=(-0.715X10-3+2X0.046x10飛p)dp

所要求的功

W=-pdV=p(b+2cp)dp=-(-^bp2+—cp3)^m

~i2

=-X(-0.715)X10-3X(103)2+-X0.046XX10^X(103)3

=326.83p“-c〃?3/mol=33AJ-mol'

(Ip“?而=o.ioi324，)

生

1.8承前1.5題，使彈性體在準靜態(tài)等溫過程中長度由I”壓縮為2’試計算外界所作的功。

解：外界對彈性體作的元功表達式為

dW=FdL(1)

將物態(tài)方程代入上式，得

dW=bT士—欠dL

14LJ(2)

注意到在等溫過程中L。不變，當(dāng)彈性體在等溫過程中長度由L。壓縮為晨/2時，外界所作的功為

W=hr[=-hTLQ

Lk8。-

1.9在o”c和ip“下，空氣的密度為1.29必,相?.空氣的定壓比熱容％一969Mg,K,-1.41.

今有27n?的空氣，試計算:

(i)若維持體積不變，將空氣由0℃加熱至20°C所需的熱量。

(ii)若維持壓強不變，將空氣由0"C加熱至20”C所需的熱量。

(iii)若容器有裂縫，外界壓強為lp“使空氣由0"C緩慢地加熱至20℃所需的熱量。

所以%=9667?kg-'-K=0.238b"gf?K-l

解：lcal=4.2J

(i)這是定容加熱過程，定容熱容量可以從定壓熱容量算出,

C

Cv=—^=0.238/1.41=0.169cal/g-deg.

Y

27nf的空氣，其質(zhì)量可由它的密度算得：

M=0.0()12%27x106=3.48x1O,g

考慮到熱容量為常數(shù)，使溫度由0-C升至20℃所需得熱量

4

Qv=jMCVdT=MCV(7；-7；)=3.48x100.169x20

即徂Qv=1.176xl05c?Z=4.920xl05J

(ii)在定壓加熱過程中，

X4XX

Qp=MCp(T2-7；)=3.48100.23820=(cal)=6.937(1).

(iii)因為加熱過程使緩慢得，所以假定容器內(nèi)的壓力保持lp“本問題，空氣的質(zhì)量是改變的。在保持

壓力p和容積V不變的條件下加熱時，在溫度T下的質(zhì)量M(T)可由物態(tài)方程

=(其中〃為空氣的平均分子量

〃確定之。

設(shè)T,時，容器內(nèi)的空氣質(zhì)量之為則由

M(T)

pV='RT{M(T)=M^

以算得T,所以

Q=J；M(TyCPdT=陷冬="WG皿?(1)

jjzijri,

3

將TF273K,TZ=293K,M,CP=8.29X10C?//K代入(1)式，即得

293

3

g=8.29xl0x2731n—=1.60X105OZ/=6.678X105J

273

i.io抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入。當(dāng)壓強達到外界壓強〃。時將活門關(guān)上。試證明：小

匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能u與原來在大氣中的內(nèi)能u0之差為U-U。=「。匕，其中V。

是它原來在大氣中的體積。若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。

解：（a）求解這個問題，首先要明確我們所討論的熱力學(xué)系統(tǒng)是什么。為此，可以設(shè)想：使一個裝有不漏

空氣的無摩擦活塞之絕熱小氣缸與絕熱小匣相連。假定氣缸所容空氣的量，恰好為活門打開時進入該小匣內(nèi)的那

一部分空氣的量。這樣，原來在小氣缸中，后來處于小匣內(nèi)的那一部分空氣（為了方便，設(shè)恰為Imol空氣），就

是我們所討論的熱力學(xué)系統(tǒng)。系統(tǒng)的初態(tài)（％'Z＞，"o；U。）和終態(tài)（V，T，P；U）如圖所示：

I1

7

7

初態(tài)(Vo,To,p°;Uo)M71

當(dāng)打開活門，有少量空氣進入原來抽為真空的小匣，小氣缸內(nèi)的氣壓就降為比大氣壓小一點，外界空氣就迫

使活塞向匣內(nèi)推進。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，在此絕熱過程中，有

dU=dW=-pQdV

積分之，

U-4=dV=PoK⑴

（b）由

一"

U-U0^p0V0,得到g（T）==（C0-g）”

CvT-CvT0=CpT0-CvT0

T=^T0=yr0

從上式，得0Vz（2）

（c）由于初態(tài)和終態(tài)的壓力相等，故有

0。匕=尺7；和p'=RT

VT

從以上兩式，得到乂篤

⑶

由（2）式知，（3）式可化為

T

V=匕k=/%

(4)

1.11滿足夕”〃的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過程中的

熱容量C,為

C==C

nv

n-t1

證明：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

CndT—CvdT+pdV

利用理想氣體的物態(tài)方程，可將PV-c化為

=J

將上式微分，得

,,VdTRdT

tav=-----------=------------

(n-l)T(n-l)p

將⑵代入⑴式，得

1.12試證明：在某一過程中理想氣體的熱容量C如果是常數(shù)，該過程一定是多方過程，多方指數(shù)

C-C

n=-----------?

C-C

〃p假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常數(shù)。

證明：根據(jù)熱力學(xué)第一定律

CndT=CvdT+pdV

由有pdV+V4/p=Rd7；將d玳入上式，得

(Q-Q_1)dv+c,^c^vdp=o

RPR

兩邊除以Pv,再經(jīng)整理，得到

〃等+窄=0,經(jīng)積分即得〃V"=C.

a=

1.13聲波在氣體中的傳播速度為s假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量。試

〃=h=-----

證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能u和焰h可由聲速及7給出：/（/-1）+常量，Y-1+常量

證明：理想氣體在準靜態(tài)的絕熱過程中，

pU=c,經(jīng)積分，彳曲+嚴=0

PV

從而得到（3V）s/v（1）

M

u=G+常數(shù)，a=+常數(shù)

把⑵中的T代入⑶式，并注意到］-G=R和cP/cv=y

得單位質(zhì)量的內(nèi)能U和焰h為

2〃2

——+常數(shù)，&=常數(shù)。

/(7-1)r-i

1.14大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對流層中的低處與高處之間不斷發(fā)生對流。由于氣壓隨高度而降

低，空氣上升時膨脹，下降時收縮。空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過程可以認為是絕熱過程。試計算大氣溫

dT

度隨高度的變化率dz,并給出數(shù)值結(jié)果。

dp（z）

—r-=-Q（z）g

［提示：根據(jù)流體靜力學(xué)可導(dǎo)出氣壓隨高度的變化率dz再利用理想氣體的絕熱方程求出

包、=.T/⑶dT_（夕-l）Mg

、前）sy，⑶，從而可以求出.答：dzyR數(shù)值結(jié)果：TOK?歷〃I］

解：（i）首先討論在熱平衡下，大氣壓如何隨高度而改變。要注意到熱平衡條件中包括力平衡條件，考慮在

高度z和z+dz之間，其截面積為A的空氣圓柱體(圖1.14),作用在它的上截面和下截面的力分別為

一，(z+dz)A和p(z)A

作用在圓柱內(nèi)空氣的重力為一夕(z)Adz,

由上述三個力的平衡條件：

—p(z+dz)A〃(z)A—p(z)Adzo

dp(z)

「一=一夕(z)g

得到dz

(ii)把(1)式的P(z)變換到p(z):如果空氣的平均分子量為m,則Iniol空氣的P(z)A

P(z),則可把理想氣體的物態(tài)方程，V表為

RT(z)/、rn,、

〃(z)=—夕(z)Q(z)=———p(z)

m,和RI(z)

于是(D式變?yōu)?/p>

圖1

dp^_=_mg

dzRT(z)⑵

(iii)現(xiàn)考慮理想氣體的準靜態(tài)絕熱過程：

dT(N)_(GT)dp^z)

從dz〔即人/N(3)

包、

知，下面的任務(wù)是要求關(guān)于1劭Is的表達式。

由熱力學(xué)第一定律及物態(tài)方程，在絕熱過程中

dQ=CvdT+pdV=CvdT+/?T—=0

V(4)

由pV=RT,有pdV+陟=RdT；兩邊除班V=RT,得

dVdTdp

⑸

c

RnCp-g和尸」

將(5)式代入(4)式，注意到則得

dTx—1dp

Typ

(6)

⑺

式中y=1.41,m=29g/moLg=980tvn/sec2所以

(7-\)mglyR=0.41X29X980/(1.41X8.3X107)=1.00x1(T4(deg/cni)=10.Odeg/hn

即每增加1千米，溫度約降低101C.

1.15熱泵的作用是通過一個循環(huán)過程將熱量從溫度較低的環(huán)境傳送到溫度較高的物體上去。如果以理想氣

體的逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所作的功的比值。試

求熱泵的效率。如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何？

[答：熱泵效率后者為lo]

見教材第?章1.9理想氣體的卡諾循環(huán)

1.16假設(shè)理想氣體的&和C,之比7是溫度的函數(shù)，試求在準靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。該關(guān)系式中要

用到一個函數(shù)F(T),其表達式為

rdT

InF(T)=J(7—1)7

解：在準靜態(tài)絕熱過程中，CvdT+pdV=Q,

因為PV=RT,故得

CdT+RT^~=O,或CdT!dV

vv=O

RTV

R1

或⑴

上式積分后，得

rdT

+lnV=\nC

-1)T⑵

討論：當(dāng)Y為常數(shù)時，則(1)式經(jīng)積分后，得

lnr+lnVH=lnC

即有7Vl=C'

〃=1一%

利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)丫為溫度的函數(shù)，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為z

1.17

證明：如圖1.18所示，I-II：吸熱匕

V

Q2=Rqin寸

W-IV:放熱”4

在整個循環(huán)過程中，對外所作的功為

,=RT.ln^--7?7；InH

W'=O1V,匕(1)

對于狀態(tài)1和N有下面關(guān)系

F(T^=F(T2)匕

對于狀態(tài)m和IV,有下面關(guān)系

戶(儲)匕=F(T2)V4

⑶式除以(2)式，即得匕匕(4)

W'=R（4_.）ln匕

代入到⑴式，則得V'

⑸

砥］_4）如

W'VT

77=一1L=I上

e,1

5匕

所以

1.18試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。

證明：我們用反證法來證明。如圖1.18-1所示。假設(shè)兩條絕熱線S,和&相交與C點。今考察一條等溫線T,

它與兩條絕熱線分別相交于A點和B點（這樣一條等溫線總能找到，因為等溫線得斜率總比絕熱線的斜率為?。?。

我們可以把過程A-B-C-A認為是可逆循環(huán)，在這個循環(huán)中，僅在等溫過程A-B,系統(tǒng)從外界吸熱Q；系統(tǒng)對外

界作的功，其量值等于面積ABC.這就意味著，在此循環(huán)過程中，從單一熱源吸收的熱量完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣Χ灰蚱鹌?/p>

它變化。這是違反熱力學(xué)第二定律的卡爾文說法的。結(jié)論是，兩條絕熱線不能相交。又，若兩條絕熱線S,和S”

如圖1.18-2所示那樣相交于C,我們作等溫線T構(gòu)成一個循環(huán)，則會得出更為荒謬的結(jié)果：它不斷對外作功（正

循環(huán)），又不斷對熱源放熱。這不僅不符合熱力學(xué)第二定律，而且也違背熱力學(xué)第一定律，所以兩條絕熱線是不能

相交的。

1.19熱機在循環(huán)中與多個熱源交換熱量。在熱機從其吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為T,.在熱機向其

T

放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為七.試根據(jù)克氏不等式證明，熱機的效率不超過T'

證明：根據(jù)克勞修斯不等式，我們有

[dQTwo

J⑷T（外）J⑹T（外）—'

fdQ、<rdQ]

所以」⑷元苑一」⑹元苑⑴

其中，熱機在過程(a)的元過程中吸收熱量(。2而在過程⑹的元過程放出熱量

田。2>。是放出熱量的量值)。

如果「是過程(a)中，T(外)的最大值：口是過程(b)中，T(外)的最小值，那么從(1)是，我們有

OkK或0>"

空一，-2,-T,

(上式等號適用于僅有兩個熱源并且過程是可逆的情況)對外界所作的功w'=Qi-d

"二匕=1一色

所以01°|T'

1.20理想氣體分別經(jīng)等壓過程和等容過程，溫度由「升至口.假設(shè)丫是常數(shù)，試證明前者的燧增為后者的丫

倍。

證明：理想氣體在準靜態(tài)過程中，有

dQ=CvdT+pdV=CpdT-Vdp

(1)

P

“在等壓過程中，埔增為

\\6c/T

l=cp—=CIn^-

\|\T=pp

PJT\1T1PT(2)

在等容過程中，端增為

-T2?1>…冷u*吟⑶

町T

EV

圖1.20

證明上式的另一方法是：(AS)。=C,,

■=r

對于理想氣體，我們已知故

(AS%Cv(若Cn和Cv是常數(shù))

S(T,V)=CvlnT+hRinV+So

S(T,p)=Cp\xxT—ftRlnp+So

將上兩式分別用于等容和等壓過程，可得

(AS),,_0”斤G，_

村”――

1.21溫度為0C的1kg水與溫度為100C的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達到100e試分別求水和熱源的焙變以及

整個系統(tǒng)的總嫡變。欲使整個系統(tǒng)的嫡保持不變，應(yīng)如何使水溫從0℃升至100C?已知水的比熱容為

4.18J-gTKT

解：題中的熱傳導(dǎo)過程是不可逆過程，要計算水和熱源的燃變，則必須設(shè)想一個初態(tài)和終態(tài)分別與題中所設(shè)

過程相同的可逆過程來進行計算。要計算水從0"C吸熱升溫至100"C時的端變，我們設(shè)想一個可逆的等壓過程：

mmC,ydT373.

t—=mQIn——=1000x4.18x0.312=13046J-K'

小J273丁小273

對于熱源的放熱過程，可以設(shè)想一個可逆的等溫過程：

人0以|1000x4.18x(373-273)

州總=Sk+A^=1847?k

在0C和100”C之間取彼此溫度差為無窮小的無限多個熱源，令水依次與這些溫度遞增的無限多個熱源接觸，

由0t吸熱升溫至100C,這是一個可逆過程，可以證明

郃熱源=-0水，故州總=/水+2X5熱源F

1.2210A的電流通過一個25Q的電阻器，歷時Is.(i)若電阻器保持為室溫27℃,試求電阻器的隔增。(ii)

若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為27℃,電阻器的質(zhì)量為iog,比熱容c0為0?841,g'KT，問電阻器的

爆增為何？

解：(1)若電阻器保持一定溫度，則它的狀態(tài)不變，而端是狀態(tài)的函數(shù)，故知電阻器爆增為零，即AS=0.

我們也可以這樣考慮，電功轉(zhuǎn)變?yōu)闊?，傳人電阻器，同時此熱量又由電阻器流入恒溫器(比如是實驗室)。因

此，傳入電阻器的凈熱量為零，故有AS=°.

(2)在這過程中，有電功轉(zhuǎn)變?yōu)闊?，是不可逆過程。因為端是態(tài)函數(shù)，我們設(shè)想一個是電阻器等壓加熱

的過程來計算?焙增。

電阻器終態(tài)的溫度為T,,有Q=mC.(T「T.),及

Q=0.2412Rt=0.24x102x25xl=60。。助

=600+3()()=6(X)(K)

f

得10x0.2

rmCdTT600

cflLf

AS=\-—=mCn\xi-=1Ox0.2xIn一=138《cal/K)

"T「T:300

；（（+乙）

1.23均勻桿的溫度一端為T,,另一端為加試計算達到均勻溫度2后的嫡增。

解：當(dāng)熱力學(xué)系統(tǒng)從一平衡態(tài)經(jīng)歷了一個不可逆過程到達另一平衡態(tài)時，其燧的改變可引入一個適當(dāng)?shù)目赡?/p>

過程而進行計算，這是因為燧是態(tài)函數(shù)。而本問題中，桿是從一非平衡態(tài)經(jīng)歷了熱傳導(dǎo)的不可逆過程，而到達一

個平衡態(tài)。因此，設(shè)想下述可逆過程：把桿當(dāng)作是無數(shù)無限薄的小段組成，每一個小段的初溫各不相同，但都將

具有相同的終溫。我們再設(shè)想所有的小段互相絕熱，并保持同樣的壓力，然后使每小段連續(xù)地跟一系列熱源接觸,

這些熱源地溫度由各段的初溫度至共同的終溫度。這樣就定出無數(shù)個可逆的等壓過程，用來使該桿由初始的非平

衡態(tài)變化到平衡態(tài)的終態(tài)。

我們考慮長為L的均勻桿，位于x處的體積元的質(zhì)量為

dm-pAdx

其中及分別為桿的密度及截面積，該段的熱容量為

PACpdm=CppAdx

最初的溫度分布是線性分布的，而使X處的初溫為

T—T

7；U)=7]一一L]—2

Lt

若無熱量損失，并且為了方便起見，假設(shè)各小段的熱傳導(dǎo)率、密度和熱容量都保持不變，則終溫

2

該體積元的燧增為

dTT,

=-Vl,pAdx\n(^--^-^x)

Cp=CppAdx\nCppAdx\n-

%TTIfLIf

1

L沿整個桿積分,

得嫡的總變化等于

L玉~T,

△S=xydx

LT,

利用積分公式

jln(a+bx)dx=：(a+bx)\ln(a+bx)-1]

經(jīng)積分并化簡后，得到

AS=mC/l+ln7；.+In7；--1叫）=inQ（ln^^-不叫一阜巴十口

"卜42T|-g

1.24根據(jù)端增加原理證明第二定律的開氏表述，從單一熱源吸收熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變

化是不可能的。

證明：假設(shè)有一個溫度為T的熱源，一熱機在循環(huán)過程中從這個熱源吸收熱量Q,并把此熱量Q全部轉(zhuǎn)化為

機械功輸出。顯然，熱源和熱機合起來成為一個絕熱系統(tǒng)，在上述循環(huán)過程中，熱源的燧減少了Q/T,而熱機的

工作物質(zhì)的端不變。這樣?來，整個絕熱系統(tǒng)的燧減少了，這違反了煩增加原理。因此，熱機從單一熱源吸熱并

全部轉(zhuǎn)化為功的過程是不可能的。這個例子表明，熱力學(xué)第二定律的開氏說法也包括在皤增加原理這一更普遍的

表述中。

1.25物體的初溫「高于熱源的溫度J有一熱機在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到上為

止。若熱機從物體吸取的熱量為Q,試根據(jù)增增加原理證明，此熱機所能輸出的最大功為

w^x=Q-((S|—‘2)其中是物體的燃減少量。

證明：熱機工作若干循環(huán)后從物體吸熱

Q,對外界做功W,放出熱量Q-W

到T2,此時復(fù)合系統(tǒng)(物體、熱機和熱

源)的端變：

(1)(1)物體燧的變化$2-S];

(2)(2)熱機工作物質(zhì)端的變化為0,

因為作若干循環(huán)后，物質(zhì)恢復(fù)原

來狀態(tài)；

S-5,~—>0

2T（邑一&）+QNW

對于可逆過程，上式取等號，即得

^=2-^(5,-52).

%,、即為此熱機所能輸出的最大功。

1.26有兩個相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為T“今令一致冷機在此兩物體間工作，使其中一個物

體的溫度降低到T?為止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)燧增加原理證明，此過程所需的最小

+心—27；）

功為

證明：把兩個物體和制冷機看成為一個絕熱系統(tǒng)，則按端增加原理有

2

A5=Cp（ln7；7；-ln7；）＞0

.口>7；2/7；

⑵

又，根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有Q\=Qi^w

^CpdT=^CPdT+W

即

積分上式，并經(jīng)整理后，得

W=G，（Z+q_27；）

把（2）式代入⑶,得

W>C/7；2/7；+7；-27；）

當(dāng)制冷機作可逆循環(huán)時，式中取等號，制冷機作的功最小:

1.27簡單系統(tǒng)有兩個獨立參量。如果以T,S為獨立參量，可以縱坐標表示溫度T,橫坐標表示炳S,構(gòu)成T-S

圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡態(tài)、一條曲線與一個可逆過程相應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，

并利用T-S圖求卡諾循環(huán)的效率。

解：由兩條等溫線和兩條絕熱線構(gòu)成的卡諾循環(huán)1-2-3f4-1,

在T-S圖上，就由圖1.27所示。其中1—2是等溫過程，由于在此

過程中，物質(zhì)吸熱，所以端是增加的。3f4也是等溫過程，由于在

此過程中，物質(zhì)放熱，所以蠟減小。過程2f3,4-1是絕熱的等端

過程。

在過程If2中，物質(zhì)吸收的熱量孰為

=（邑一號）

|<22|=「：G〃S=7；（S3-S4）-T;（S2—SQ

所以卡諾循環(huán)的熱機效率為

feL7；（5-S）_T

a-feL—.J.12I12

］（）T

e,Q7S2-51、

在計算熱機循環(huán)的效率時，應(yīng)用T-S圖比用P-V圖更為方便，這就是在熱工計算中廣泛采用T-S圖的原因。

ai/CD^\rT'

1.28.由物態(tài)方程f（P,V,T）=O證明：（F；）r（F；）v（二7）p=-l

dPoTdv

apAP

ID。-P=P(V,TiP=W+(而)

,AIDnQ