(典型題)初中數(shù)學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一單元《三角形的證明》檢測(cè)題(包含答案解析)

一、選擇題1．如圖，點(diǎn)為的角平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一條直線分別與的邊交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，若，則（）A． B． C． D．2．下列各組線段a、b、c中不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25 B．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6C．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5 D．a(chǎn)＝9，b＝12，c＝153．已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，一腰上的高線長(zhǎng)為4，則底邊長(zhǎng)是（）A．3 B． C．3或 D．或4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，若∠A＝30°，BD＝1，則AD的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．3 D．25．等腰三角形的一個(gè)角為，則其底角的度數(shù)為()．A． B． C．或 D．或6．如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為3的等邊的邊上一點(diǎn)，作于，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．27．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線交于點(diǎn)D，若，，則的面積是（）A．2 B．4 C．6 D．88．如圖，中，，，若，，則的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．20° D．10°9．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為25°，則頂角的度數(shù)為（）A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°10．如圖，中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，若，則的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°11．若以的一邊為邊畫一個(gè)等腰三角形，使它的第三個(gè)頂點(diǎn)也在的其他邊上，則這樣的等腰三角形最多能畫出（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)12．如圖，在中，于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，，，，則的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．二、填空題13．如圖，在中，，是的角平分線，交于點(diǎn)N，，若，，則__________．14．如圖所示，有n+1個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)A、C1、C2、C3、…、Cn都在同一條直線上，若記△B1C1D1的面積為S1，△B2C2D2的面積為S2，△B3C3D3的面積為S3，…，△BnCnDn的面積為Sn，則（1）S1＝_____；（2）Sn＝_____．15．等腰三角形周長(zhǎng)為20，一邊長(zhǎng)為4，則另兩邊長(zhǎng)為______．16．如圖，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，且AD＝2CD，AC＝6，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE，則DE的最小值為____．17．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO，交BC于點(diǎn)E．已知CB＝8，BE＝5，則點(diǎn)E到AB的距離為_____．18．如圖，DE∥BC，AE＝DE＝1，BC＝3，則線段CE的長(zhǎng)為_____．19．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，AC上一點(diǎn)，將△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，點(diǎn)A，B恰好重合于點(diǎn)P處，若△PCD中有一個(gè)角等于48°，則∠A＝_____．20．如圖，平分，，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分．則下列結(jié)論中：①是的高；②是等邊三角形；③；④．其中正確的是______________（填寫序號(hào)）三、解答題21．如圖，已知E、F分別是的邊AB和AC上的兩個(gè)定點(diǎn)，在BC上找一點(diǎn)M，使的周長(zhǎng)最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）22．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__度；（2）如圖，如果，求的度數(shù)是多少？（3）設(shè)，．①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，請(qǐng)直接寫出，之樣的數(shù)量關(guān)系，不用證明．23．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC上，且滿足AD＝BD，AE平分∠BAD，若∠CAE＝42°．求∠AEC和∠B的度數(shù)．24．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在AC上，且DF＝BD．（1）求證：CF＝BE（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面積等于24，求DE的長(zhǎng)25．如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，BD＝CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE＝CF．（1）求證：∠DBE＝∠DCF；（2）求證：△ABC為等腰三角形．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），連接BC．（1）在圖中畫出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，試判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】過(guò)D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=DF，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD=CD，證Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．【詳解】解：如圖：過(guò)D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，則∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P為BC中點(diǎn)，DP⊥BC，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2．B解析：B【分析】根據(jù)判斷三條線段是否能構(gòu)成直角三角形的三邊，需驗(yàn)證兩小邊的和的平方是否等于最長(zhǎng)邊的平方，分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案；【詳解】A、，能構(gòu)成直角三角形；B、，不能構(gòu)成直角三角形；C、，能構(gòu)成直角三角形；D、，能構(gòu)成直角三角形；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是已知△ABC的三邊滿足，則△ABC是直角三角形；3．D解析：D【分析】需分等腰三角形的頂角是鈍角和等腰三角形的頂角是銳角兩種情況解答即可．【詳解】解：如圖：（1）當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，在Rt△ACO中，由勾股定理可得AO2=AC2-OC2=52-42=9∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8在Rt△BCO中，由勾股定理可得BC2=OB2+OC2=82+42=80,則BC=；（2）頂角是銳角時(shí)在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2-DC2=52-42=9，∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=22+42=20,則BC=；綜上，該等腰三角形的底的長(zhǎng)度為或．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理和分情況討論思想是解答本題的關(guān)鍵．4．C解析：C【分析】求出∠BCD=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．【詳解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD是高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=30°，∵BD=1，∴BC=2BD=2，∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB-BD=4-1=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出BC=2BD和AB=2BC，難度適中．5．C解析：C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】當(dāng)角為等腰三角形頂角時(shí)，其底角的度數(shù)為；當(dāng)角為等腰三角形底角時(shí)，其底角的度數(shù)為；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．6．C解析：C【分析】過(guò)作交于，得出等邊三角形，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，證，推出，推出即可．【詳解】解：過(guò)作交于，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，題型較好，難度適中．7．A解析：A【分析】由作圖可知AD平分∠CAB，點(diǎn)D到AB的距離就等于DC=1，根據(jù)公式可求面積．【詳解】解：由作圖可知AD平分∠CAB，點(diǎn)D到AB的距離就等于DC，，，所以，的面積為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的畫法和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是知道AD是角平分線，并根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出高．8．C解析：C【分析】根據(jù)已知可求得∠DAC及∠ADE的度數(shù)，根據(jù)∠CDE=90°-∠ADE即可得到答案．【詳解】解：∵AB＝AC，BD=DC∴AD⊥BC（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合）∴∠ADC=90°，∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC＝80°÷2=40°（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合），∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°?40°）÷2=70°，∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.9．D解析：D【分析】分兩種情況：等腰三角形的頂角是鈍角或者等腰三角形的頂角是銳角，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°＋25°＝115°；②如圖2，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是90°?25°＝65°．綜上所述，頂角的度數(shù)為：65°或115°．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意此類題的兩種情況．同時(shí)考查了：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．10．B解析：B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C＋∠B，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180°?100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠GAC＝∠C，∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，∴∠EAG＝100°?80°＝20°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．11．D解析：D【分析】先以Rt△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為圓心，再以每個(gè)頂點(diǎn)所在的較短邊為半徑畫弧，即可確定等腰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，也可以作三邊的垂直平分線確定等腰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)．【詳解】解：如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則△ACD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交AB于點(diǎn)F，連接，CF則△BCD、△BCF是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，△ACD是等腰三角形，∴符合題意的等腰三角形最多能畫個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定的應(yīng)用，通過(guò)作垂直平分線或者畫弧的方法確定相等的邊是解題關(guān)鍵．12．D解析：D【分析】作于點(diǎn)，分別通過(guò)勾股定理計(jì)算出，，，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)，分別表示，，最終在中運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，作于點(diǎn)，∵于點(diǎn)D，∴在中，，∵，∴，∴在中，，∵平分交于點(diǎn)E，，∴，∵CE=CE∴，∴，設(shè)，則，，∴在中，，即：，解得：，即：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)以及勾股定理，靈活根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線并且熟練運(yùn)用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．二、填空題13．8【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=6DE=2進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形△EFD為等邊三角形從而得出BN的長(zhǎng)進(jìn)而求出答案【詳解】如圖所示：延長(zhǎng)ED交BC于M延長(zhǎng)AD交BC于N∵AB解析：8【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=6，DE=2，進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案【詳解】如圖所示：延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)AD交BC于N，∵AB=AC，AF平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN；∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM為等邊三角形，∴△EFD為等邊三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM為等邊三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；14．【分析】首先求出S1S2S3…探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC1于點(diǎn)E∵△ABC1是等邊三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由題意可知=…所以∵∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題解析：【分析】首先求出S1，S2，S3，…，探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC1于點(diǎn)E，∵△ABC1是等邊三角形，AB=AC1=BC1=1∴AE=，∴∴由題意可知，=，，，…，所以，∵，∴．故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究方法，學(xué)會(huì)利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．15．88【分析】從等腰三角形的腰為長(zhǎng)為4與等腰三角形的底邊為4兩種情況去分析求解即可求得答案【詳解】解：若等腰三角形的腰為長(zhǎng)為4設(shè)底邊長(zhǎng)為x則有x+4×2=20解得：x=12此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)為4412解析：8，8【分析】從等腰三角形的腰為長(zhǎng)為4與等腰三角形的底邊為4兩種情況去分析求解即可求得答案．【詳解】解：若等腰三角形的腰為長(zhǎng)為4，設(shè)底邊長(zhǎng)為x，則有x+4×2=20，解得：x=12，此時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以組成三角形；若等腰三角形的底邊為4，設(shè)腰長(zhǎng)為x，則有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以組成三角形；∴三角形的另兩邊的長(zhǎng)分別為8，8．故答案為：8，8．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義和性質(zhì)，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．16．2【分析】根據(jù)題意當(dāng)時(shí)DE的值最小根據(jù)已知條件求解即可；【詳解】如圖所示當(dāng)時(shí)DE的值最小如圖所示∵BD平分∠ABC∠C＝90°∴∵∴∴∴∵∴即整理得：∴又∵∴即整理得：解得：∴故答案是2【點(diǎn)睛】本題解析：2【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，DE的值最小，根據(jù)已知條件求解即可；【詳解】如圖所示，當(dāng)時(shí)，DE的值最小，如圖所示，∵BD平分∠ABC，，∠C＝90°，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，即，整理得：，∴，又∵，∴，即，整理得：，解得：，∴．故答案是2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可知AE平分∠CAB根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論【詳解】解：根據(jù)作圖過(guò)程可知：AE平分∠CAB∵CB＝8BE＝5∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3∵∠C＝90°∴EC⊥AC∴點(diǎn)E到解析：【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可知AE平分∠CAB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)作圖過(guò)程可知：AE平分∠CAB，∵CB＝8，BE＝5，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，∵∠C＝90°，∴EC⊥AC，∴點(diǎn)E到AB的距離為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本做圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法和理解角平分線的性質(zhì)．18．【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠ADE=∠B由AE=DE=1可得∠ADE=∠DAE易得∠DAE=∠B可得AC=BC易得結(jié)果【詳解】解：∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B∵AE＝DE＝1∴∠ADE＝∠DAE∴∠解析：【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠ADE=∠B，由AE=DE=1，可得∠ADE=∠DAE，易得∠DAE=∠B，可得AC=BC，易得結(jié)果．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵AE＝DE＝1，∴∠ADE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠B，BC＝3，∴AC＝BC＝3，∴CE＝AC﹣AE＝3﹣1＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等，關(guān)鍵是運(yùn)用性質(zhì)定理得出AC=BC=3．19．42°或24°【分析】由折疊的性質(zhì)得出AD＝PD＝BD∠CPD＝∠B∠PDC＝∠BDC∠PCD＝∠DCB由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB＝AD＝BD由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACD＝∠A∠D解析：42°或24°．【分析】由折疊的性質(zhì)得出AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB＝AD＝BD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，然后分三種情況求解即可．【詳解】解：由折疊可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，∴D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，當(dāng)∠CPD＝48°時(shí)，∠B＝48°，∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；當(dāng)∠PCD＝48°時(shí)，∠DCB＝∠B＝48°，∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；當(dāng)∠PDC＝∠BDC＝48°時(shí)，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠A＝∠BDC＝24°；故答案為：42°或24°．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．①③④【分析】利用平行線的性質(zhì)∠C=∠FBD則可證明∠C=∠ABC于是可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)①②進(jìn)行判斷；過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB如圖利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DHDH=DF則可對(duì)③進(jìn)行判斷；證明△A解析：①③④【分析】利用平行線的性質(zhì)∠C=∠FBD，則可證明∠C=∠ABC，于是可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)①②進(jìn)行判斷；過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DH，DH=DF，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；證明△ADE≌△ADH得到AH=AE，同理可得BH=BF，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠FBD，∵AC∥BF，∴∠C=∠FBD，∴∠C=∠ABC，∴△ABC為等腰三角形，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD=BD，∴是的高；是等腰三角形；所以①正確；②錯(cuò)誤；過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE=DH，∵AC∥BF，DE⊥AC，∴DF⊥BF，∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，∴DH=DF，∴DE=DF，所以③正確；在△ADE和△ADH中，，∴△ADE≌△ADH（HL），∴AH=AE，同理可得BH=BF，∴AB=AH+BH=AE+BF，所以④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．三、解答題21．畫圖見解析【分析】先作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)則再連接交于從而可得到的周長(zhǎng)最短．【詳解】解：如圖，是所求作的周長(zhǎng)最小的三角形，【點(diǎn)睛】本題考查的軸對(duì)稱的性質(zhì)，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解兩條線段的和的最小值是解題的關(guān)鍵．22．（1）90；（2）120°；（3）①；見解析；②或【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；（2）由條件可得△ABC為等邊三角形，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝60°，則可得出結(jié)論；（3）①由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②分兩種情況畫出圖形，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案為：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如圖1：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，α+β＝180°，連接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如圖2：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α＝β．連接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；綜上所述：點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，α+β＝180°或α＝β．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，證明△ABD≌△ACE是解本題的關(guān)鍵．23．∠AEC＝48°，∠B＝32°．【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求出∠AEC的度數(shù)，設(shè)∠DAE=x，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB=∠B=2x，則可求出x=16°，