高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)匯整合

中學(xué)新課標(biāo)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)匯整合第一部分集合1．理解集合中元素的意義是解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點(diǎn)？…；2．?dāng)?shù)形結(jié)合是解集合問(wèn)題的常用方法：解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問(wèn)題詳細(xì)化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3．（1）含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n－1；非空真子集的數(shù)為2n-2；（2）留意：探討的時(shí)候不要遺忘了的狀況；（3）其次部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．映射：留意①第一個(gè)集合中的元素必需有象；②一對(duì)一，或多對(duì)一。2．函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；⑤換元法；⑥利用均值不等式；⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、肯定值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（、、等）；⑨導(dǎo)數(shù)法3．復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：①若f(x)的定義域?yàn)椋踑，b］,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域。（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；②分別探討內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；③依據(jù)“同性則增，異性則減”來(lái)推斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。留意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。4．分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題，先分段解決，再下結(jié)論。5．函數(shù)的奇偶性⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；⑵是奇函數(shù)；⑶是偶函數(shù)；⑷奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則；⑸在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；（6）若所給函數(shù)的解析式較為困難，應(yīng)先等價(jià)變形，再推斷其奇偶性；6．函數(shù)的單調(diào)性 ⑴單調(diào)性的定義：在區(qū)間上是增（減）函數(shù)當(dāng)時(shí)；⑵單調(diào)性的判定定義法：留意：一般要將式子化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于推斷符號(hào)；②導(dǎo)數(shù)法（見(jiàn)導(dǎo)數(shù)部分）；③復(fù)合函數(shù)法（見(jiàn)2（2））；④圖像法。注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。7．函數(shù)的周期性(1)周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的隨意，若有（其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。全部正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒(méi)有特殊說(shuō)明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期①；②；③；④；⑤；⑶函數(shù)周期的判定：①定義法（試值）②圖像法③公式法（利用（2）中結(jié)論）⑷與周期有關(guān)的結(jié)論：①或的周期為；②的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱周期2；③的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱周期為2；④的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，直線軸對(duì)稱周期4；8．基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)⑴冪函數(shù)：（；⑵指數(shù)函數(shù)：；⑶對(duì)數(shù)函數(shù):；⑷正弦函數(shù):；⑸余弦函數(shù)：；（6）正切函數(shù)：；⑺一元二次函數(shù)：；⑻其它常用函數(shù)：①正比例函數(shù)：；②反比例函數(shù)：；特殊的，函數(shù)；9．二次函數(shù)：⑴解析式：①一般式：；②頂點(diǎn)式：，為頂點(diǎn)；③零點(diǎn)式：。⑵二次函數(shù)問(wèn)題解決需考慮的因素：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸；③端點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號(hào)。⑶二次函數(shù)問(wèn)題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類探討。10．函數(shù)圖象⑴圖象作法：①描點(diǎn)法（留意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖）②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法⑵圖象變換：平移變換：ⅰ，———左“+”右“-”；ⅱ———上“+”下“-”；伸縮變換：ⅰ，（———縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍；ⅱ，（———橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍；對(duì)稱變換：ⅰ；ⅱ；ⅲ；ⅳ；翻轉(zhuǎn)變換：ⅰ———右不動(dòng)，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；ⅱ———上不動(dòng)，下向上翻（||在下面無(wú)圖象）；11．函數(shù)圖象（曲線）對(duì)稱性的證明(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上隨意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（2）證明函數(shù)與圖象的對(duì)稱性，即證明圖象上隨意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上，反之亦然；注：①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a－x,y)=0;③曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=－x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；特殊地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；⑤函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；12．函數(shù)零點(diǎn)的求法：⑴干脆法（求的根）；⑵圖象法13．導(dǎo)數(shù)⑴導(dǎo)數(shù)定義；⑵常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(4)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：①利用導(dǎo)數(shù)求切線：留意：ⅰ所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？ⅱ所求的是“在”還是“過(guò)”該點(diǎn)的切線？②利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性：ⅰ是增函數(shù)；ⅱ為減函數(shù)；ⅲ為常數(shù)；③利用導(dǎo)數(shù)求極值：ⅰ求導(dǎo)數(shù)；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得極值。利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：ⅰ求的極值；ⅱ求區(qū)間端點(diǎn)值（假如有）；ⅲ得最值第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形1．⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度⑵弧長(zhǎng)公式：；扇形面積公式：。2．三角函數(shù)定義：角中邊上隨意一點(diǎn)為，設(shè)則：3．三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；4．誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不（改）變，符號(hào)看象限”；5．⑴對(duì)稱軸：；對(duì)稱中心：；⑵對(duì)稱軸：；對(duì)稱中心：；6．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；7．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①②③。8．二倍角公式：①；②；③。9．正、余弦定理⑴正弦定理（是外接圓直徑）注：①；②；③。⑵余弦定理：等三個(gè)；注：等三個(gè)。10。幾個(gè)公式:⑴三角形面積公式：；⑵內(nèi)切圓半徑r=；外接圓直徑2R=11．已知時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定：AbAbaCh其中h=bsinA,⑴A為銳角時(shí)：①a<h時(shí)，無(wú)解；②a=h時(shí)，一解（直角）；③h<a<b時(shí)，兩解（一銳角，一鈍角）；④ab時(shí)，一解（一銳角）。⑵A為直角或鈍角時(shí)：①ab時(shí)，無(wú)解；②a>b時(shí)，一解（銳角）。1．三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為。2．表（側(cè)）面積與體積公式：⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：V=S底h⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：V=S底h：⑶臺(tái)體：①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：V=（S+）h；⑷球體：①表面積：S=；②體積：V=。3．位置關(guān)系的證明（主要方法）：⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理。⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行線面平行。⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理與推論；②垂直于同始終線的兩平面平行。⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。4.求角：（步驟-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）⑴異面直線所成角的求法：①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，發(fā)覺(jué)兩條異面直線間的關(guān)系。⑵直線與平面所成的角：①干脆法（利用線面角定義）；②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長(zhǎng)度作比，得sin。⑶二面角的求法：①定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），作出平面角，再求解；②三垂線法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作（或找）到另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；③射影法：利用面積射影公式：,其中為平面角的大?。坏谖宀糠种本€與圓1．直線方程⑴點(diǎn)斜式：；⑵斜截式：；⑶截距式：；⑷兩點(diǎn)式：；⑸一般式：，（A，B不全為0）。（直線的方向向量：（，法向量（2．求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：（1）列約束條件；（2）作可行域，寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。3．兩條直線的位置關(guān)系：直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注有斜率且不行寫(xiě)成（驗(yàn)證）分式4．直線系直線方程直線方程平行直線系垂直直線系相交直線系5．幾個(gè)公式⑴設(shè)A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；⑵點(diǎn)P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：；⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是；6．圓的方程：⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：①；②。⑵一般方程：（注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；7．圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法；⑶圓系法。8．圓系：⑴；注：當(dāng)時(shí)表示兩圓交線。⑵。9．點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要駕馭幾何法）⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（表示點(diǎn)到圓心的距離）①點(diǎn)在圓上；②點(diǎn)在圓內(nèi)；③點(diǎn)在圓外。⑵直線與圓的位置關(guān)系：（表示圓心到直線的距離）①相切；②相交；③相離。⑶圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）①相離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含。10．與圓有關(guān)的結(jié)論：⑴過(guò)圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。第六部分圓錐曲線1．定義：⑴橢圓：；⑵雙曲線：；⑶拋物線：略⑵弦長(zhǎng)公式：；注：（Ⅰ）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：①橢圓：；②拋物線：＝x1+x2+p=；（Ⅱ）通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線：；②拋物線：2p。⑶過(guò)兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：（同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）；⑷橢圓中的結(jié)論：①內(nèi)接矩形最大面積：2ab；②P，Q為橢圓上隨意兩點(diǎn)，且OP0Q，則；③橢圓焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．點(diǎn)是內(nèi)心，交于點(diǎn)，則；④當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大；⑸雙曲線中的結(jié)論：①雙曲線（a>0,b>0）的漸近線：；②共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，≠0）；③雙曲線焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．P是雙曲線－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為；④雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線相互垂直；（6）拋物線中的結(jié)論：①拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：<Ⅰ>．x1x2=；y1y2=－p2；<Ⅱ>．；<Ⅲ>．以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；<Ⅳ>．以AF（或BF）為直徑的圓與軸相切；<Ⅴ>．。②拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)：<Ⅰ>．；<Ⅱ>．恒過(guò)定點(diǎn)；<Ⅲ>．中點(diǎn)軌跡方程：；<Ⅳ>．，則軌跡方程為：；<Ⅴ>．。③拋物線y2=2px(p>0)，對(duì)稱軸上肯定點(diǎn)，則：<Ⅰ>．當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為；<Ⅱ>．當(dāng)時(shí)，拋物線上有關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為。3．直線與圓錐曲線問(wèn)題解法：⑴干脆法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。留意以下問(wèn)題：①聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？②直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎？③判別式驗(yàn)證了嗎？⑵設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法）：--------處理弦中點(diǎn)問(wèn)題步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解決問(wèn)題。4．求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義；（2）干脆法（列等式）；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）；⑷待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法；（6）交軌法。第七部分平面對(duì)量⑴設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則：①a∥b(b≠0)a=b（x1y2－x2y1=0；②a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0.⑵a·b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2；注：①|(zhì)a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；②a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|co第八部分?jǐn)?shù)列1．定義：⑴等差數(shù)列；⑵等比數(shù)列；2．等差、等比數(shù)列性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和性質(zhì)①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;②m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq②m+n=p+q時(shí)aman=apaq③成AP③成GP④成AP,④成GP,等差數(shù)列特有性質(zhì)：①項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；；；②項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)：S2n-1=(2n-1)；；；③若；若；若。S1S1(n=1)Sn－Sn-1(n≥2)an=⑴分析法；⑵定義法（利用AP,GP的定義）；⑶公式法：累加法（；an=⑷疊乘法（型）；⑸構(gòu)造法（型）；（6）迭代法；⑺間接法（例如：）；⑻作商法（型）；⑼待定系數(shù)法；⑽（理科）數(shù)學(xué)歸納法。注：當(dāng)遇到時(shí)，要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)探討，結(jié)果是分段形式。4．前項(xiàng)和的求法：⑴拆、并、裂項(xiàng)法；⑵倒序相加法；⑶錯(cuò)位相減法。5．等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：⑴；⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。第九部分不等式1．均值不等式：留意：①一正二定三相等；②變形，。2．肯定值不等式：3．不等式的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶；；⑷；；；⑸；（6）。4．不等式等證明（主要）方法：⑴比較法：作差或作比；⑵綜合法；⑶分析法。第十部分復(fù)數(shù)1．概念：⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0；⑵z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；⑶z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；2．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與其運(yùn)算：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則：（1）z1±z2=(a+b)±(c+d)i；⑵z1.z2=(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；⑶z1÷z2=(z2≠0);3．幾個(gè)重要的結(jié)論：；⑶；⑷⑸性質(zhì)：T=4；；（6）以3為周期，且；=0；（7）。4．運(yùn)算律：（1）5．共軛的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶；