靜態(tài)場及其邊值問題的解

靜態(tài)場及其邊值問題的解1第1頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

本章內(nèi)容3.1

靜電場分析3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析3.3恒定磁場分析3.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理3.5鏡像法3.6分離變量法2第2頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.1靜電場分析

學(xué)習(xí)內(nèi)容3.1.1

靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2電位函數(shù)3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容3.1.4靜電場的能量3第3頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四2.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或若分界面上不存在面電荷，即ρS＝0，則或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件4第4頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四介質(zhì)2介質(zhì)1在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為或靜電場的折射關(guān)系:導(dǎo)體表面的邊界條件:5第5頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。1.電位函數(shù)的定義3.1.2電位函數(shù)2.電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由6第6頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四面電荷的電位：故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：7第7頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.電位差兩端點(diǎn)乘，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明:

P、Q兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q點(diǎn)所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；電位差也稱為電壓，可用U表示；電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q兩點(diǎn)間的電位差電場力對(duì)單位正電荷做的功8第8頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值

選擇電位參考點(diǎn)的原則:

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)；同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4.電位參考點(diǎn)

為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即9第9頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四在均勻介質(zhì)中，有5.電位的微分方程在無源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程6.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離⊿l→0時(shí)10第10頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由和媒質(zhì)2媒質(zhì)1常數(shù)，11第11頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.1.1求電偶極子的電位.（自學(xué)）

解在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開，由于，得代入上式，得表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q12第12頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度等位線電場線電偶極子的場圖13第13頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

解選定均勻電場空間中的一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P的位置矢量為r，則若選擇點(diǎn)o為電位參考點(diǎn)，即，則在球坐標(biāo)系中，取z軸與的方向一致，即，則有

例3.1.2求均勻電場的電位分布。14第14頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.1.3兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。

解在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無限大平行板15第15頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四利用邊界條件，有處，最后得處，處，所以由此解得16第16頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲(chǔ)存電荷能力的物理量。孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀、相互位置和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。17第17頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四(1)選取合適的坐標(biāo)系;(2)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和-q；(3)計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；計(jì)算電容的步驟：(5)求比值，即得出所求電容。(4)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；18第18頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體球的電荷為q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)，

例子:同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。(自學(xué))孤立導(dǎo)體球的電容19第19頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.1.4如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長度的電容為20第20頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.1.5同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線21第21頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.1.4靜電場的能量

靜電場對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場具有能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外電源提供的能量。1.靜電場的能量體分布電荷的電場能量為對(duì)于面分布電荷，電場能量為22第22頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有——第i個(gè)導(dǎo)體的電位。式中：——第i個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷；23第23頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四2.電場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。可以證明:電場能量密度：電場的總能量：對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有24第24頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四由于體積V外的電荷密度ρ＝0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有故推證：ρρ＝0S25第25頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.1.6半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計(jì)算。根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度故26第26頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四方法二：利用計(jì)算先求出電位分布故27第27頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四第10次課結(jié)束！28第28頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

由J＝E

可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的恒定電場。恒定電場也是電磁場的一種特殊情況。3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強(qiáng)度29第29頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則2.恒定電場的邊界條件場矢量的邊界條件即即30第30頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四媒質(zhì)2媒質(zhì)1導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系電位的邊界條件31第31頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1如2>>

1、且2≠90°，則1≈0，即電場線近似垂直于良導(dǎo)體表面。此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即1＝0，則J1=0，故J2n=0且E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場在分界面與表面平行。32第32頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對(duì)應(yīng)物理量靜電場恒定電場33第33頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。34第34頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.2.2填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導(dǎo)率為

1和2

。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)135第35頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四（1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,則由

可得電流密度介質(zhì)中的電場：

解：由于于是得到36第36頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為（2）兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為37第37頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.2.3漏電導(dǎo)(1)假定兩電極間的電流為I；計(jì)算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E得到E;由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法一：計(jì)算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；(2)計(jì)算兩電極間的電位分布；(3)由得到E;(4)由J=E得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法。38第38頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.2.3求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。39第39頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四方程通解為

例3.2.4在一塊厚度h的導(dǎo)電板上，由兩個(gè)半徑為r1和r2的圓弧和夾角為0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ。

解：設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿方向流動(dòng)，而且電流密度是隨變化的。但容易判定電位只是變量的函數(shù)，因此電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr20σ40第40頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四電流密度兩電極之間的電流故沿方向的兩電極之間的電阻為所以41第41頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四第11次課結(jié)束！42第42頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3電感3.3.4恒定磁場的能量

3.3恒定磁場分析43第43頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件44第44頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四矢量磁位的定義:磁矢位的任意性:與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即由即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位45第45頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程磁矢位的表達(dá)式46第46頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四磁矢位的邊界條件由此可得出（可以證明滿足）對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為面電流：利用磁矢位計(jì)算磁通量：細(xì)線電流：47第47頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.3.1求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I。

解如圖所示，由于具有軸對(duì)稱性，矢量磁位和磁場均與無關(guān)，計(jì)算xz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIP48第48頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r>>a，所以由于在=0面上，所以上式可寫成于是得到49第49頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四式中S=πa2是小圓環(huán)的面積。載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則或50第50頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

解：先長度為2L的直線電流的磁矢位。電流元到點(diǎn)的距離。則

例3.3.2求無限長線電流I的磁矢位，設(shè)電流沿+z方向流動(dòng)?？梢宰C明，無限長線電流的磁矢位(看教材P.115)xyzL-L51第51頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四2.恒定磁場的標(biāo)量磁位一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。

標(biāo)量磁位的引入:標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位

磁標(biāo)位的微分方程:在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)中，有52第52頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四標(biāo)量磁位的邊界條件:在沒有自由電流的兩種不同媒質(zhì)的分界面上，因?yàn)榭蓪?dǎo)出標(biāo)量磁位的邊界條件為53第53頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四1.磁通與磁鏈

3.3.3電感

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量

多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和CI細(xì)回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o

；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路54第54頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。自感的特點(diǎn)：55第55頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.3求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為56第56頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為57第57頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.3.4計(jì)算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為

解設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I。由于D>>a，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII58第58頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感兩根導(dǎo)線單位的長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為59第59頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2，當(dāng)回路C1中通過電流I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈21也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對(duì)回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。3.互感同理，回路C2對(duì)回路C1的互感為C1C2I1I2Ro60第60頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。滿足互易關(guān)系，即M12=M21當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號(hào)時(shí)，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值?；ジ械奶攸c(diǎn)：4.紐曼公式如圖所示的兩個(gè)回路C1和回路C2，回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位C1C2I1I2Ro61第61頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro故得同理紐曼公式平行放置,互感最大;垂直放置,互感最小。62第62頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四由圖中可知長直導(dǎo)線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為

解設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律，得到

例3.3.5如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。63第63頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為長直導(dǎo)線與三角形回路64第64頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.3.6如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來計(jì)算，則有兩個(gè)平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且65第65頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四若d>>a1，則于是一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d>>a1或d>>a2時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。66第66頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.3.4恒定磁場的能量1.磁場能量電流回路在恒定磁場中要受到磁場力的作用而發(fā)生運(yùn)動(dòng)，表明恒定磁場儲(chǔ)存著能量。磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的——當(dāng)電流從零開始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。可以證明，電流為I的回路具有的磁場能量為對(duì)于多個(gè)載流回路，則有67第67頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)于體分布電流，則有例如，兩個(gè)電流回路C1和回路C2回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能68第68頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四2.磁場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個(gè)空間。積分區(qū)域?yàn)榇艌鏊诘恼麄€(gè)空間對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有磁場能量密度：磁場的總能量：69第69頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有故推證：S70第70頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例3.3.7同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I，試求同軸電纜中單位長度儲(chǔ)存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定律，得71第71頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四三個(gè)區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為72第72頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感73第73頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四第12次課結(jié)束！74第74頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理3.4.1邊值問題的類型 已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）:已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）:

第二類邊值問題（或紐曼問題）:75第75頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四自然邊界條件（無界空間）周期邊界條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如76第76頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：77第77頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理惟一性定理的重要意義:給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件；為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)；為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)。惟一性定理的表述:78第78頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四惟一性定理的證明:反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個(gè)位函數(shù)和在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面S上有令，則在場域V內(nèi)且在邊界面S上滿足同樣的邊界條件?；蚧?9第79頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四由格林第一恒等式可得到對(duì)于第一類邊界條件：對(duì)于第二類邊界條件：若和取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn)，則對(duì)于第三類邊界條件：80第80頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.問題的提出幾個(gè)實(shí)例接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷

3.5鏡像法81第81頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？82第82頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四2.鏡像法的原理用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。

在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3.鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理83第83頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”；4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；

像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。84第84頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四1.點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.1接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時(shí)，q有效區(qū)域q85第85頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為86第86頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四2.線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問題有效區(qū)域當(dāng)z=0時(shí)，87第87頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對(duì)平面2以及q2對(duì)平面1均不能滿足邊界條件。對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d188第88頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四

例子一個(gè)點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。q'qx=∞0d-d

解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無窮遠(yuǎn)時(shí)電場力所做的功。由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以用像電荷q'＝－q替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷q'應(yīng)位于－x，則有89第89頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四3.5.2導(dǎo)體球面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q′來等效。q′應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d'。則有如圖所示，點(diǎn)電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定

和q′。問題：

PqarRdqPaq'rR'Rdd'90第90頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四令r＝a，由球面上電位為零，即＝0，得此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。像電荷的位置像電荷的電量qPoq'aR'Rdd'條件：若91第91頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為92第92頁，共106頁，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像:如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，點(diǎn)電荷q位于球殼內(nèi)，與球心相距為d(d<a)。也可以采用鏡像法求解，其鏡像電荷q’應(yīng)位于導(dǎo)體球殼外，且在點(diǎn)電荷q與球心的連線的延長線上。與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到|q′

|>|q|，可見鏡像電