非線性回歸模型的線性化

非線性回歸模型的線性化第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四在這樣一些非線性關系中，有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關系處理，另一些則不能。下面我們通過一些例子來討論這個問題。2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系2第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四3線性模型的含義線性模型的基本形式是:

其特點是可以寫成每一個解釋變量和一個系數(shù)相乘的形式。線性模型的線性包含兩重含義：（1）變量的線性變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以或之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系4（2）參數(shù)的線性因變量Y是各參數(shù)的線性函數(shù)。第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四非線性回歸模型的分類：1雖然被解釋變量Y與解釋變量之間不存在線性關系，但與未知參數(shù)之間存在著線性關系，這種類型的非線性回歸模型被稱為非標準線性回歸模型。其一般形式為：其中是關于的p個已知的非線性函數(shù)，是（p+1）個未知參數(shù)

2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系5第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2雖然被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間不存在線性關系，但是可以通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為可線性化的非線性回歸模型3如果被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間都不存在線性關系，而且也不能通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為不可線性化的非線性回歸模型2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系6第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四4.2線性化方法1非標準線性回歸模型的線性化方法非標準線性回歸模型的線性化方法是變量替換法非標準線性回歸模型的一般形式為：2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系7第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四令則可以把原模型轉化為一個標準的多元線性回歸模型2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系8第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非標準線性回歸模型1多項式函數(shù)模型多項式函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型

2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系9第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系10第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四3對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系11第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四4S-型曲線模型S-性曲線模型的一般形式為：首先對上式做倒數(shù)變換得：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系12第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2可線性化的非線性回歸模型的線性化方法下面幾種在研究經(jīng)濟問題時經(jīng)常遇到的可線性化的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型的一般形式為對上式兩邊取對數(shù)得到令則可將原模型化為標準的線性回歸模型；2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系13第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四（2）冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型的一般形式為：對上式兩邊取對數(shù)得到：令則可將原模型化為標準的線性回歸模型：2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系14第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四例：對于柯布-道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)模型其中，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動投入量，u是隨機誤差項，A、和為未知參數(shù)。試利用天津市1980年~1996年的有關統(tǒng)計資料，估計天津市全社會的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系15第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四首先建立天津市的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型i=1，2……，17兩邊取對數(shù)得到：令則可將C-D生產(chǎn)函數(shù)模型轉換成標準的二元線性回歸模型2023/5/8中山學院經(jīng)濟與管理系16第16頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四得到估計的回歸方程為（括號內(nèi)的數(shù)字為t統(tǒng)計量值）