采樣系統(tǒng)的分析

采樣系統(tǒng)的分析第1頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四本章主要內容本章在闡述了離散控制系統(tǒng)相關基本概念后，學習了采樣過程及采樣第一張上一張下一張最后一張結束授課重點練習題定理、保持器的作用和數學模型、z變換的定義和求法、基本性質和z反變換的求法、線性差分方程的建立及其解法、脈沖傳遞函數的概念及求取方法、離散系統(tǒng)時域分析方法，簡要介紹了頻率法、根軌跡法在離散系統(tǒng)中的應用以及離散系統(tǒng)的校正方法。本章重點學習本章，需要掌握離散系統(tǒng)的相關基本概念，特別是采樣過程和采樣定理、z變換和z反變換及其性質、差分方程和脈沖傳遞函數等概念。在此基礎上重點掌握利用脈沖傳遞函數求解離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應，離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)性能計算等內容。深入了解頻率法、根軌跡法在離散系統(tǒng)分析中的應用，理解離散系統(tǒng)的串聯校正和最少拍校正原理。第2頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四7-1離散采樣系統(tǒng)的基本概念控制系統(tǒng)中有一個或若干個部件的輸出信號是一串脈沖形式或是數字（數碼），由于信號在時間上是離散的這類系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。兩類離散系統(tǒng)：（1）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)離散信號是脈沖序列（時間上離散）（2）數字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)離散信號是數字序列（時間上離散、幅值上整量化）第3頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四放大器與執(zhí)行電動機爐燃料供應調節(jié)閥爐溫爐溫設定值D(z)G(s)D/A放大與伺服電動機A/D溫度檢測與變換計算機溫度設定值爐溫爐溫采樣控制系統(tǒng)爐溫計算機（數字）控制系統(tǒng)第4頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四脈沖控制系統(tǒng)的特點：系統(tǒng)結構簡單、投資少，適合于要求不高的場合。數字控制系統(tǒng)的特點：控制器的控制規(guī)律由計算機實現，使得控制規(guī)律比較靈活、控制精度高，而且可以借助計算機實現許多附加功能，例如系統(tǒng)運行狀態(tài)檢測、報警、保護等。性價比超過模擬控制器。在航空航天、軍事、工業(yè)、公用事業(yè)系統(tǒng)中的各類控制系統(tǒng)已經廣泛地運用計算機控制。數字控制系統(tǒng)中的兩個關鍵部件：A/D轉換器：把連續(xù)的模擬信號轉換為時間上離散的、幅值上整量化的數字信號（二進制的整數），實際上具有對信號在時間點上采樣，對信號幅值進行編碼。（采樣編碼器）第5頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四一般要求A/D轉換器具有足夠的字長（8bit、10bit、12bit、14bit），要求量化單位q足夠小。這樣可以近似認為幅值的斷續(xù)性可以忽略不記。同時，若采樣編碼的時間可以忽略，這時數字信號可以看成脈沖信號

A/D轉換器可以認為采樣周期為TS的理想采樣開關。D/A轉換器：把離散的數字信號轉換為連續(xù)模擬信號。D/A轉換器有兩個工作過程：（1）解碼，把離散的二進制數字信號轉換為離散的模擬信號；（解碼過程見p302圖7-8（a））（2）模擬信號復現，通過“保持器”將離散模擬信號復現為連續(xù)的模擬信號，該信號才能真正驅動模擬放大器等。（復現過程見p302圖7-8（b））第6頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四離散采樣系統(tǒng)的研究方法（1）用Z變換法建立離散系統(tǒng)的數學模型后進行分析、綜合。（2）用離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法（一階差分方程組）對系統(tǒng)進行分析、設計。7-2信號的采樣與保持采樣過程：連續(xù)信號采樣器離散信號

第7頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四理想采樣過程的數學描述：采樣信號的Laplace變換：第8頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例1設，求的L變換例2設為常數，求的L變換第9頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四香農采樣定理：如果采樣器的輸入信號具有有限帶寬，具有最高頻率為的分量，只要采樣周期滿足以下條件：信號可以從采樣信號中恢復過來。信號保持：D/A轉換器的輸出信號是臺階型的，在其內部是“保持器”在起作用。每個采樣值能保持到下一個采樣值到來之前，信號幅值沒有變化。第10頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四零階保持器：當給零階保持器輸入一個理想單位脈沖，則脈沖響應（輸出）脈沖過渡函數：幅值為1，持續(xù)時間為T對應的L變換零階保持器的頻率特性第11頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四零階保持器的特性：（1）低通特性（2）相角遲后特性（3）時間遲后特性（平均遲后時間T/2）一階保持器第12頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四7-3Z變換（略）7-4離散系統(tǒng)的數學模型數學模型：差分方程、脈沖傳遞函數、離散狀態(tài)空間表達式脈沖傳遞函數：在零初始條件下G(s)第13頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四實際開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數：G(s)在輸出端增設虛擬采樣開關脈沖傳遞函數G(z)的求法連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數G(s)脈沖響應函數g(t)

按采樣周期離散化g*(t)Z變換G(z)對于虛擬采樣開關的輸出，相應的脈沖響應第14頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四對上式取L變換后：令記為：例3求以下差分方程所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。由實數位移定理：第15頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例4開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數采樣L變換的兩個重要性質：（1）采樣函數的L變換具有周期性第16頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四（2）具有串聯環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數串聯形式（1）G2(s)G1(s)第18頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四連續(xù)對象的輸出：其中：對輸出的離散化：注意：一般第19頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四G2(s)G1(s)串聯形式（2）第20頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數Gp(s)Gp(s)離散化后：第21頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例1：設對象傳遞函數求帶零階保持器后系統(tǒng)的脈沖傳遞函數：第22頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四當為有理分式函數時，上式的Z變換也必然是的有理分式函數。第23頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數連續(xù)輸出信號的L變換G(s)H(s)第24頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四對應的Z變換為閉環(huán)系統(tǒng)的輸出對于輸入的脈沖傳遞函數：系統(tǒng)誤差對于輸入的脈沖傳遞函數：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：開環(huán)脈沖傳遞函數：應當注意：離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數不能從對應的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數的Z變換直接得到。第25頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四閉環(huán)系統(tǒng)中，具有兩個不同以上采樣開關時的閉環(huán)脈沖傳遞函數：G2(s)G1(s)H(s)第26頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四對應的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數閉環(huán)系統(tǒng)中采樣開關的位置，有可能不能獲得閉環(huán)脈沖傳遞函數：G(s)H(s)第27頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)輸出G(s)H(s)表7-3給出典型閉環(huán)離散系統(tǒng)及輸出的Z變換函數第28頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四Z變換的局限性：（1）Z變換的推導是建立在理想采樣序列的基礎上。而實際采樣脈沖序列具有一定的寬度，只有當脈沖寬度與系統(tǒng)最大實踐常數相比很小時，Z變換才能成立。（2）C(z)只能反映c(t)在采樣時刻的數值，不能反映c(t)在采樣間隔中的信息。（3）用Z變換方法分析離散系統(tǒng)，要求連續(xù)部分的傳遞函數的分母階次比分子的階次至少高2次，這時用Z變換方法得到的結果是正確的。例如：設R-C電路如圖，輸入相當于是脈沖序列第29頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四設輸入信號為單位階躍函數但實際上，電路的實際輸出是作用下的輸出，c(t)表現為充放電過程，如p.345圖7-37所示。采樣周期T=1秒，對應的Z變換第30頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析方法：將線性連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)定性的結果離散線性系統(tǒng)在z平面上的穩(wěn)定性。1.s域到z域的映射關系第31頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四相當于取s平面上的虛軸映射到z平面上的軌跡：以原點為圓心的單位圓，相位：相應的點沿單位圓變化無窮多圈第32頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四結論：在等線的左半平面映射為z平面上同心圓的內部，右半平面映射為同心圓的外部。s平面的虛軸的左半平面映射為z平面上單位圓的內部，右半平面映射為單位圓的外部。離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：從離散系統(tǒng)的差分方程的齊次解的收斂性，或者從z域中離散系統(tǒng)的特征方程的根的研究得到結論。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：若離散系統(tǒng)在有界輸入序列的作用下，其輸出序列也是有界，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)齊次方程的解是收斂的，或者系統(tǒng)特征方程根均具有負實部，或者系統(tǒng)傳遞函數的極點嚴格均在左半s平面。第33頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四（1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（時域）設：系統(tǒng)差分方程系統(tǒng)齊次方程設通解：系統(tǒng)特征方程：第34頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四設特征方程具有各不相同的特征根：通解：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：相應的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（z域）G(s)H(s)對于典型的離散系統(tǒng)結構的閉環(huán)脈沖傳遞函數為第35頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)特征方程設特征方程的根（閉環(huán)極點）各不相同由s平面到z平面的映射關系s平面的左半平面對應的穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的內部；s平面的右半平面對應的不穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的外部；s平面的虛軸對應的臨界穩(wěn)定：z平面上單位圓周。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：離散特征方程的全部特征根都在單位圓內，即第36頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例：設典型離散系統(tǒng)采樣周期T=1(s)，試分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：開環(huán)脈沖傳遞函數特征方程結論：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第37頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據連續(xù)系統(tǒng)的代數穩(wěn)定判據—勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據判定：特征方程的根是否都在左半s平面？離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：特征方程的根是否都在z平面的單位圓內？將勞斯-胡爾維茨判據用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要將z平面上的穩(wěn)定域單位圓內新平面上的左半平面Z域w域第38頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四1.W變換（雙線性變換）與勞斯穩(wěn)定判據令注意到z和w都是復變量，則有顯然：考察上式：在z平面的單位圓上，滿足對應在w平面上：表明：w平面上的虛軸對應于z平面上的單位圓周。第39頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四Z平面單位圓內Z平面單位圓外w平面左半平面w平面右半平面勞斯穩(wěn)定判據在離散系統(tǒng)中的應用：將離散系統(tǒng)在z域的特征方程變換為w域的特征方程，然后應用勞斯判據。第40頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例1：設閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的極限值。第41頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四進一步整理后，w域的特征方程：勞斯表由勞斯穩(wěn)定判據使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的取值范圍極限增益第42頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四（2）Jury（朱利）穩(wěn)定判據Jury穩(wěn)定判據是根據離散系統(tǒng)的z域特征方程的系數，直接判別特征根是否嚴格位于z平面上的單位圓內。設離散系統(tǒng)的階閉環(huán)特征方程

利用特征方程的系數，構造、列Jury矩陣。Jury矩陣的第一行系數：Jury矩陣的第一行系數：第43頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第三行系數第四行系數第五行系數第六行系數第七行系數第八行系數最后行系數第44頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四

Jury穩(wěn)定判據：特征方程的根，全部嚴格位于z平面上單位圓內的充要條件是：以及下列（n-1）個約束成立：若上述條件滿足，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第45頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四推論1：特征方程的根全部在單位圓內的一個充分條件是推論2：具有系數的特征方程，其多項式為首一多項式的根全部都在單位圓內的充分條件是第46頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例2設一離散時間單位反饋系統(tǒng)，采樣周期T=1（s），其開環(huán)脈沖傳遞函數試用Jury穩(wěn)定判據確定系統(tǒng)的K值范圍。解：閉環(huán)特征方程對于二階系統(tǒng)應用Jury穩(wěn)定判據，只要用到下面3個約束條件：第47頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四綜合（1）、（2）、（3）例3：第48頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于：開環(huán)增益、閉環(huán)極點、傳輸延遲等。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：以上因素，再加上采樣周期T。舉例說明：設帶有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖所示第49頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四由Jury穩(wěn)定判據或w域的勞斯穩(wěn)定判據

w域的特征方程第50頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四P357圖7-49給出K=1,不同采樣時的單位階躍響應。結論：（1）在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，采樣周期越小，允許的開環(huán)增益范圍就擴大，否則就縮小。（2）當采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；（3）當開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息就越多，