數(shù)學(xué)建模 淋雨模型

------------------------------------------------------------------------數(shù)學(xué)建模淋雨模型淋雨量模型 一、問(wèn)題概述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度為v，按以下步驟進(jìn)行討論[17]：（1）、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量;（2）、雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為θ，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，ω，θ之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨里最少。計(jì)算θ=0，θ=30°的總淋雨量.（3）、雨從背面吹來(lái)，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，ω，α之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最小。計(jì)算α=30°的總淋雨量.（說(shuō)明：題目中所涉及的圖形為網(wǎng)上提供）、以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)（3）作圖（考慮α的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義.、若雨線方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，試建立模型問(wèn)題分析淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積?？傻茫毫苡炅浚╒）=降雨量（ω）×人體淋雨面積（S）×淋浴時(shí)間（t）①時(shí)間（t）=跑步距離（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v模型假設(shè)

（1）、將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m.設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，記跑步速度為v；（參考）（2）、假設(shè)降雨量到一定時(shí)間時(shí)，應(yīng)為定值；（3）、此人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步；（4）、問(wèn)題中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因?yàn)樗梢灾庇^的表示降雨量的多少；模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時(shí)間為：t=d/v總降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600(m/s)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446(cm3)=2.44446(L)、模型Ⅱ建立及求解：若雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為θ.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量.（如圖1）設(shè)雨從迎面吹來(lái)時(shí)與人體夾角為.，且0°<<90°，建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為且方向與v相反，故人相對(duì)于雨的水平速度為：則前部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：，時(shí)間為：d/v于是前部淋雨量V2為：即：①（2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與v無(wú)關(guān)，所以頂部單位時(shí)間單位面積淋雨量為，頂部面積為，淋雨時(shí)間為，于是頂部淋雨量為：②由①②可算得總淋雨量:代入數(shù)據(jù)求得：由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。對(duì)函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得：顯然：<0，所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小。因此，速度v=vm=5m/s，總淋雨量最小。（Ⅰ）當(dāng)θ=0，代入數(shù)據(jù)，解得：V＝0.0011527778（m3）≈1.153（L）（Ⅱ）當(dāng)θ=30°，代入數(shù)據(jù)，解得：V＝0.0014025(m3)≈1.403（L）（三）、模型Ⅲ建立及求解：若雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量.（如圖2）設(shè)雨從背部吹來(lái)時(shí)與人體夾角為，且0°＜﹤90°,建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來(lái)，而對(duì)于人頂部的淋雨量V1，它與模型①中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：（2）、后部淋雨量：人相對(duì)于雨的水平速度為：從而可得，人背部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：可得人背部淋雨量為：而總淋雨量：V=V1＋V3從而有：③化簡(jiǎn)③式得： ④代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得：⑤由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。（Ⅰ）、當(dāng)時(shí)，且0°＜﹤90°，可得：ccosα＋asinα>0對(duì)⑤式求導(dǎo)，易知<0；所以，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，因此，總淋雨量最小。（Ⅱ）、當(dāng)v>usinα?xí)r，且0°＜α﹤90°，對(duì)⑤式求導(dǎo)，解得：(ⅰ)、當(dāng)1.5sinα－0.2cosα<0時(shí)，即：tanα<2/15,即V`<0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，所以，速度v=vm，總淋雨量最小。（ⅱ）、當(dāng)1.5sinα－0.2cosα>0時(shí)，即：tanα>2/15,即V`>0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（v）取最小，即v=usinα總淋雨量最小。當(dāng)α＝30°，tanα>2/15，由模型⑶分析的，當(dāng)v=usinα=4×1/2=2（m/s）總淋雨量最小，且V=0.0002405（m3）=0.2405(L)結(jié)果分析：（1）在該模型中考慮到雨的方向問(wèn)題，這個(gè)模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來(lái)跟實(shí)際的生活就差不多很相似了。由這三個(gè)模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。（2）若雨迎面吹來(lái)時(shí)，跑得越快越好（3）若雨從背面吹來(lái)時(shí)，分為兩種情況：當(dāng)tanα>c/a時(shí)，跑步速度v=usinα?xí)rV最?。划?dāng)tanα<c/a時(shí)，跑得越快越好。但是該模型只是考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內(nèi)，若是雨線方向與人的跑步方向不在同一平面