第4講 定積分的概念與微積分基本定理

第4講定積分的概念與微積分基本定理一、選擇題1．v＝9.8t＋6.5(4s內(nèi)經(jīng)過的路程是()A．260mB．258mC．259mD．261.2m解析8(9.8t＋6.5)t＝(4.9t2＋)

＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝ 44313.6＋52－78.4－26＝261.2.答案D2f＝2－x，則－1f)x等于

( )．2A．3 B．4 C.72

9D.2解析f(x)＝2－|x|＝2＋xx<0，

x2

x2 3 7∴2－1f(x)dx＝0－1(2＋x)dx＋2(2－x)dx＝2x＋

01＋2x－

2＝＋2＝. 答案C

2－ 0

20 2 2f(x)f′(x)的圖象如圖所示，x軸所圍成的封閉圖形的面積為( )．

f(x)的圖1A.3C．2

B.4383D.3解析f′(x)f(x)x＝－1，開口方向向f＝ax2＋b＋a>0)f(0)＝0＝0.f′＝2ax＋b－1,0與(0,2)，2a×－1＋b＝0， a＝1，則有 ∴ ∴f＝2＋2則f的圖象與x軸所圍成的封閉圖2a×0＋b＝2，

b＝2.

1 1 4S＝－2－x2－2)＝－33－02＝3×－23＋－22＝3. 答案B4.已知()為偶函數(shù)，且6f(x)x＝8，則6－6f(x)x＝( )0A．0 B．4 C．8 D．166－6f(x)x＝26f(x)x＝2×8＝16.0答案D5．1 4－2①d；②2－2xd；③2

dx； 1 0π④∫2

cos2xcosx－sin

積分值等于1的個數(shù)是( )．A．1 B．2 C．3 D．41 解析①

d＝lne＝1， 111② －2d＝22＝0，2

2－24－2 11③2 0

(π22)＝1，π4π cos

x1 π(cosx＋sin④∫21

cosx－sinx π

d＝∫220＝(sin－cos)| 0＝1.2 2答案C61AOBC＝2＝x圍成一個葉形圖陰影部分)AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是( )．1A.2

B.1

C.1

1D.364解析依題意知，題中的正方形區(qū)域的面積為12＝1，陰影區(qū)域的面積等于1( x－2)x64023 1 1 1＝x－x31＝，因此所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率等于

，選D.32 3D二、填空題

0 3 37．10N106 ．F(x)＝kx，k＝100，F(xiàn)(x)＝100x，W＝∫0.06100xx＝0.18()．0答案0.18J8．若(2－3x2)x＝0，則k等于 ．0k k(2x－3x2)x＝2xx－32x＝x2－x＝k2－k3＝0， 0 00 0 0∴k＝0k＝1.答案019．2|－2|d＝ .1 x x3－2解析∵|3－2x|＝

＋3，≤，22－3，＞，x x32－3，＞，2xx 3 xx 3 x x2∴2|3－2|d＝∫(3－22 21 21＝

3 3 1|1＋(2－3)|2＝.|2 2 21答案2 1f＝n＋axf′＝2＋1且f－)＝m＋612展開式中各項(xiàng)的1系數(shù)和為 ．解析f(x)＝xn＋axf′(x)＝2x＋1.所以2f(－x)dx＝2(x2－ 1 11 1

1

5 1x)dx＝

x22＝

＝m所以mx1212＝1.3答案1三、解答題

2 6

6 6 6如圖在區(qū)域900的豆子數(shù)與這個區(qū)域的面積近似成正比，試估計(jì)落在圖中陰影部分的豆子數(shù)．解 區(qū)域Ω的面積為S＝16.1圖中陰影部分的面積

1 32S＝S－

－22d＝16－32＝ .2 1 2

3－2 3設(shè)落在陰影部分的豆子數(shù)為m，m S由已知條件 ＝2，900 S1900S即S2＝600.1因此落在圖中陰影部分的豆子約為600粒．f(x)是一次函數(shù)，且1f(x)dx＝5，1xf(x)dx＝17，求2fxdx的值． 6 x0 0 1解 ∵f(x)是一次函數(shù)，∴可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)．1 1 1∴1f)＝1a＋b)d＝2a2＋b ＝2a＋b.0 00 01∴2a＋b＝5.①又1xf(x)dx＝1x(ax＋b)dx 0 01 1 1 1 1＝3a32b2 ＝3a＋2b.01 1 17∴3a＋2b＝6.②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，fx

4 3∴2xd＝2 x d＝＋xdx 1 1 12＝(4x＋3lnx) ＝4＋3ln2.1在區(qū)[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)中的陰影部分的面積S1與S2之和最小并求最小值解 面積S1等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線軸、直線x＝t所圍成的面積，2S1＝t·t2－tx2dx＝3t3.

ty＝x2x0S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t，2 1即S2＝1x2dx－t2(1－t)＝3t3－t2＋3.t4 1所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝3t3－t2＋3(0≤t≤1)． 1 1St＝4t2－2t＝4t－＝0t＝0t＝2.1 1 1 2t＝0時，S＝3；t＝2時，S＝4；t＝1時，S＝3.t1 S 1所以當(dāng)＝時，最小，且最小值為.2 4f(x)＝3x2－3x，l：x＝2l：y＝3tx(t0<t<1)，1 2lf(x)ll與函數(shù)f(x2 1 23，(1)S(t)的解析式；(2)h(x)＝S(x)，x∈Rm的取值范圍．y＝3x2－3x，解析 (1)由y＝3tx

得x2－(t＋1)x＝0，x＝0，x＝t＋1.1所以直線l2

2與f(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0，t＋1.因?yàn)?<t<1，所以1<t＋1<2.

＋1[(3x2－3x)－3tx]x03 t＋1

2 3 t＋1 2＝ 2 0

x3－

x22t＋1＝(t＋1)3－6t＋2.(2)依據(jù)定義，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，則h′(x)＝3(x＋1)2－6.因?yàn)閙≠4，則點(diǎn)A(1，m)不在曲線y＝h(x)上．A，y)，0 0x＋1 3－6x＋2－m，則3(x＋1)2－6＝ ，0

0x－1023－6x＋＝0，其有三個不等實(shí)根．0 0x)＝23－6x＋′(x)＝62－6.0 0 0 0 0)>0，x>1x<－1；0