2023屆福建省福州一中百校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月聯(lián)合測(cè)評(píng)（三模）數(shù)學(xué)

2023屆4月高三聯(lián)合測(cè)評(píng)（福建）數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則（）A．6 B．4 C． D．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A．11 B．12 C．13 D．144．已知，恒成立，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．6．在中，，，，為所在平面上的一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B．25 C． D．7．已知雙曲線（，）的漸近線與交于第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率（）A． B． C．2 D．8．已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為（）A．3 B．2 C．1 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．的最小值為610．已知，，則下列說法正確的是（）A．若，兩圓的公切線過點(diǎn)B．若，兩圓的相交弦長為C．若兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為，分別過點(diǎn)的兩圓的切線相互垂直，則D．若時(shí)，兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含11．已知一組個(gè)數(shù)據(jù)：，，…，，滿足：，平均值為，中位數(shù)為，方差為，則（）A． B．C．函數(shù)的最小值為D．若，，…，成等差數(shù)列，則12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．為增函數(shù)B．的最小值為C．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．若，且，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．5個(gè)人站成一排，小王不站兩端的概率為__________．14．已知，角的終邊上有點(diǎn)，則__________．15．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________．16．如圖，正四面體的棱長為3，，，分別是，，上的點(diǎn)，，，，截去三棱錐，同理，分別以，，為頂點(diǎn)，各截去一個(gè)棱長為1的小三棱錐，截后所得的多面體的外接球的表面積為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，滿足，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求滿足的最小的正整數(shù)的值．18．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）證明：；（2）若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積．19．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，，．（1）證明：平面；（2）求與平面所成的角的正弦值．20．（本小題滿分12分）疫情過后，某工廠快速恢復(fù)生產(chǎn)，該工廠生產(chǎn)所需要的材料價(jià)錢較貴，所以工廠一直設(shè)有節(jié)約獎(jiǎng)，鼓勵(lì)節(jié)約材料，在完成生產(chǎn)任務(wù)的情況下，根據(jù)每人節(jié)約材料的多少到月底發(fā)放，如果1個(gè)月節(jié)約獎(jiǎng)不少于1000元，為“高節(jié)約獎(jiǎng)”，否則為“低節(jié)約獎(jiǎng)”，在該廠工作滿15年的為“工齡長工人”，不滿15年的為“工齡短工人”，在該廠的“工齡長工人”中隨機(jī)抽取60人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的有20人，在“工齡短工人”中隨機(jī)抽取80人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的有10人．（1）若以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的頻率估計(jì)概率，在該廠的“工齡長工人”中任選取5人，估計(jì)下個(gè)月得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的人數(shù)不少于3人的概率；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析得“高節(jié)約獎(jiǎng)”是否與工人工作滿15年有關(guān)．參考數(shù)據(jù)：附表及公式：，21．（本小題滿分12分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線的斜率為，，，，是橢圓上4個(gè)點(diǎn)（異于點(diǎn)），，直線與的斜率之積為，直線與的斜之和為1．（1）證明：，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）求直線與之間的距離的取值范圍．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若有零點(diǎn)，求的最小值．2023屆4月高三聯(lián)合測(cè)評(píng)（福建）·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．C2．A3．C4．D5．A6．B7．B8．C9．AC10．AD11．BCD12．BCD13．14．15．或16．17．解：（1）設(shè)公差為，由．當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去，故，，；（2），，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為8．18．（1）證明：，則，而，故，故，故；（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，且，則，，故．19．（1）證明：不妨設(shè)，取的中點(diǎn)為，則，，，同理，則平面四邊形為正方形，，且，，易求得，在中，由勾股定理可得，故與，可得平面；（2）解：取的中點(diǎn)，連接，過作的平行線，由（1）知：，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，、、方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有取，，，有，又，故所求線面角的正弦值為．20．解：（1）以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的頻率估計(jì)概率，每個(gè)“工齡長工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的概率為，5人中，恰有3人得“高節(jié)約獎(jiǎng)”概率為，恰有4人得“高節(jié)約獎(jiǎng)”概率為，5人都得“高節(jié)約獎(jiǎng)”概率為，所求概率為；（2）列出列聯(lián)表如下：“高節(jié)約獎(jiǎng)”“低節(jié)約獎(jiǎng)”合計(jì)“工齡長工人”204060“工齡短工人”107080合計(jì)30110140零假設(shè)：得“高節(jié)約獎(jiǎng)”是否與工人工作滿15年有關(guān)．，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，得“高節(jié)約獎(jiǎng)”與工人工作滿15年有關(guān)．21．（1）證明：由題意得，，故橢圓方程為，取橢圓下頂點(diǎn)為，設(shè)，則，而，故，，由橢圓關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱可知：，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）解：設(shè)直線方程為，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立方程消去后整理為，有，，又由，有．有，可得，有，有，可得，又由，可得，由點(diǎn)不在直線上，可得，故的取值范圍為．，之間的距離，即原點(diǎn)到的距