簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞人教A版高中數(shù)學(xué)選修

1.3

簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞課標闡釋思維脈絡(luò)1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義;2.掌握用邏輯聯(lián)結(jié)詞改寫命題的方法;3.掌握判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的方法;4.掌握根據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍的方法.【思考】(1)觀察三個命題:①5是10的約數(shù);②5是15的約數(shù);③5是10的約數(shù)且是15的約數(shù),它們之間有什么關(guān)系?從集合的角度如何理解“且”的含義.(2)觀察三個命題:①3>2;②3=2;③3≥2,它們之間有什么關(guān)系?從集合的角度談?wù)剬Α盎颉钡暮x的理解.提示:(1)命題③是將命題①,②用“且”聯(lián)結(jié)得到的新命題,“且”與集合運算中交集的定義A∩B={x|x∈A,且x∈B}中“且”的意義相同,表示“并且”“同時”的意思.“且”作為邏輯聯(lián)結(jié)詞,與生活用語中“既……,又……”相同,表示兩者都要滿足的意思,在日常生活中經(jīng)常用“和”“與”代替.(2)命題③是命題①,②用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)得到的新命題.“或”與集合中并集定義A∪B={x|x∈A或x∈B}中“或”意義相同,是邏輯聯(lián)結(jié)詞,與日常用語中的“或”意義有所不同,而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”含有“同時兼有”的意思.“p或q”有三層意思:要么只是p,要么只是q,要么是p和q,即兩者中至少要有一個.1.用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題

使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞命題形式讀法且p∧qp且q或p∨qp或q非

?p

非p名師點撥

1.對于邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”,可以分別結(jié)合集合中的“交集”“并集”“補集”來進行理解.2.簡單命題與復(fù)合命題:不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的命題是簡單命題,由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題是復(fù)合命題,因此就有“p∨q”“

p∧q”“

?p”形式的復(fù)合命題,其中p,q是簡單命題,由簡單命題構(gòu)成復(fù)合命題的關(guān)鍵是對邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”

“非”的理解.特別提醒

一個命題的否定與命題的否命題不同,以下從三個角度分析二者的區(qū)別:(1)概念:命題的否定是直接對命題的結(jié)論進行否定;而否命題是對原命題的條件和結(jié)論同時進行否定.(2)構(gòu)成:原命題“若a,則b”的否定是“若a,則?b”;而其否命題為“若?a,則?b”.(3)真假:命題p與其否定?p的真假性相反;而命題p與其否命題的真假性沒有直接聯(lián)系.【做一做1】

指出下列各個命題分別運用了哪個邏輯聯(lián)結(jié)詞:(1)函數(shù)f(x)=sinx+3不是周期函數(shù);(2)a2+b2≥2ab;(3)有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形.答案:(1)非

(2)或

(3)且2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷名師點撥

注意以上真值表的逆用:當p∧q為真時,p和q都必須是真命題;當p∨q為真時,p和q中至少有一個是真命題;當p∨q為假時,p和q都必須是假命題;當p∧q為假時,p和q中至少有一個是假命題.pqp∨qp∧q?p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真【做一做2】

已知命題p:對任意x∈R,總有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要條件.則下列命題為真命題的是(

)A.p∧q B.?p∧?qC.?p∧q D.p∧?q解析:因為指數(shù)函數(shù)的值域為(0,+∞),所以對任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p為真命題;因為當x>1時,x>2不一定成立,反之當x>2時,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分條件,故q為假命題,則p∧q、?p為假命題,?q為真命題,?p∧?q、?p∧q為假命題,p∧?q為真命題,故選D.答案:D探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)造新命題例1分別寫出由下列命題構(gòu)成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的復(fù)合命題:(1)p:π是無理數(shù),q:e不是無理數(shù);(2)p:周長相等的兩個三角形全等,q:面積相等的兩個三角形全等;(3)p:方程x2+4x+3=0有兩個相等的實數(shù)根,q:方程x2+4x+3=0有兩個負實數(shù)根.分析先確定兩個簡單命題p,q,再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義寫出新命題.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測解:(1)p∨q:π是無理數(shù)或e不是無理數(shù);p∧q:π是無理數(shù)且e不是無理數(shù);?p:π不是無理數(shù).(2)p∨q:要么周長相等的兩個三角形全等,要么面積相等的兩個三角形全等;p∧q:周長相等的兩個三角形全等,面積相等的兩個三角形也全等;?p:周長相等的兩個三角形不全等.(3)p∨q:方程x2+4x+3=0有兩個相等的實數(shù)根或有兩個負實數(shù)根;p∧q:方程x2+4x+3=0有兩個相等的負實數(shù)根;?p:方程x2+4x+3=0沒有兩個相等的實數(shù)根.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測反思感悟1.用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)造新命題的兩個步驟:(1)確定兩個簡單命題p,q;(2)分別用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”將p和q聯(lián)結(jié)起來,即得新命題.2.用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)兩個命題,關(guān)鍵是正確理解這些詞語的意義及在日常生活中的同義詞,選擇合適的聯(lián)結(jié)詞,有時為了語法的要求及語句的通順也可進行適當?shù)氖÷院妥冃?3.辨別復(fù)合命題的構(gòu)成形式時,應(yīng)根據(jù)組成復(fù)合命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞,或語句的意義確定復(fù)合命題的形式,準確理解語義應(yīng)注意抓住一些關(guān)鍵詞.如“是…也是…”,“兼”,“不但…而且…”,“既…又…”,“要么…,要么…”等.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測變式訓(xùn)練1指出下列命題的構(gòu)成形式,以及構(gòu)成它的簡單命題:(1)1是質(zhì)數(shù)或合數(shù);(2)他是運動員兼教練;(3)不等式|x-2|≤0沒有實數(shù)解;(4)這部作品不僅藝術(shù)上有缺點,政治上也有錯誤.解:(1)這個命題是“p∨q”形式,其中p:1是質(zhì)數(shù),q:1是合數(shù);(2)這個命題是“p∧q”形式,其中p:他是運動員,q:他是教練員;(3)這個命題是“?p”形式,其中p:不等式|x-2|≤0有實數(shù)解;(4)這個命題是“p∧q”形式,其中p:這部作品藝術(shù)上有缺點,q:這部作品政治上有錯誤.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷例2分別指出由下列簡單命題所構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命題的真假:(1)p:2是奇數(shù),q:2是合數(shù);(2)p:函數(shù)f(x)=3x-3-x是偶函數(shù),q:函數(shù)f(x)=3x-3-x是單調(diào)遞增函數(shù);(3)p:點(1,2)在直線2x+y-4=0上,q:點(1,2)不在圓x2+(y-3)2=2上;(4)p:不等式x2-x+2<0沒有實數(shù)解,q:函數(shù)y=x2-x+2的圖象與x軸沒有交點.分析分析判斷出每個簡單命題的真假,然后結(jié)合真值表得到每個復(fù)合命題的真假.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測解:(1)由于p是假命題,q是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是假命題,?p是真命題;(2)由于p是假命題,q是真命題,所以p∧q是假命題,p∨q是真命題,?p是真命題;(3)由于p是真命題,q是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是真命題,?p是假命題;(4)由于p是真命題,q是真命題,所以p∧q是真命題,p∨q是真命題,?p是假命題.反思感悟判斷“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命題真假的步驟:第一步,確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;第二步,判斷簡單命題p,q的真假;第三步,根據(jù)真值表作出判斷.其中特別要注意:一真“或”為真,一假“且”即假.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測變式訓(xùn)練2分別指出下列各組命題構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命題的真假:(1)p:梯形有一組對邊平行;q:梯形有一組對邊相等;(2)p:1是方程x2-4x+3=0的根;q:3是方程x2-4x+3=0的根;(3)p:不等式x2-2x+1>0的解集為R;q:不等式x2-2x+2≤1的解集為?.解:(1)由于p是真命題,q是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是真命題,?p是假命題;(2)由于p和q均是真命題,所以p∧q是真命題,p∨q是真命題,?p是假命題;(3)由于p和q均是假命題,所以p∧q是假命題,p∨q是假命題,?p是真命題.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測已知復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍例3已知p:關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負根,q:關(guān)于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求m的取值范圍.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測反思感悟根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍的步驟(1)求出p,q均為真時參數(shù)的取值范圍;(2)根據(jù)命題p∧q,p∨q的真假判斷命題p,q的真假;(3)根據(jù)p,q的真假求出參數(shù)的取值范圍.延伸探究

本例題條件不變,試求p∨q與p∧q分別為真命題時m的取值范圍.解:由例題知,當p為真時,m>2,當q為真時,1<m<3,則當p∨q為真命題時,m>1,當p∧q為真命題時,2<m<3.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測命題的否定的真假應(yīng)用典例已知命題p:方程x2+2ax+1=0有兩個大于-1的實數(shù)根,命題q:關(guān)于x的不等式ax2-ax+1>0的解集為R,若“p∨q”與“?q”同時為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測方法點睛

由真值表可判斷p∨q,p∧q,?p命題的真假,反之,由p∨q,p∧q,?p命題的真假也可判斷p,q的真假情況.一般求滿足p假成立的參數(shù)范圍,應(yīng)先求p真成立的參數(shù)的范圍,再求其補集.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測變式訓(xùn)練已知命題p:|x2-x|≤2,q:x∈Z,若“p∧q”與“?p”同時為假命題,則x的取值范圍為

.

解析:由p得-1≤x≤2,又q:x∈Z,得p∧q:x∈{-1,0,1,2}.?p:x<-1,或x>2,因為“p∧q”與“?p”同時為假,所以p真且q假,故-1<x<2,且x≠0,1.答案:{x|-1<x<2,且x≠0,1}探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測1.有下列命題:①2012年10月1日是國慶節(jié),又是國際音樂日;②6的倍數(shù)一定是3的倍數(shù);③3不是質(zhì)數(shù);④方程x2=1的解是x=±1.其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:①中使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”;②中沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞;③中使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”;④中使用但省略了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”.答案:C探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測A.p∧q B.(?p)∧(?q)C.(?p)∧q D.p∧(?q)解析:對于命題p,f(x)=的減區(qū)間是(0,+∞)和(-∞,0),不能寫成并集,故命題p為假命題.對于命題q,g(x)=-sin

x為奇函數(shù),故命題q為真命題.所以(?p)∧q為真