微積分基本定理與應(yīng)用

§3.4定積分與微積分基本定理一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1．直觀了解微積分基本定理的含義．2．會(huì)求簡(jiǎn)單的定積分．3．會(huì)用定積分的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1xi1xixnb將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1,xi上任取一點(diǎn)i(i1,2,,n)作和式．當(dāng)n時(shí)，上述和式無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做____________________________函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作，在b()中，___和___分別叫做fxdx___________a積分下限和積分上限，_______叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，___________叫做被積式．2．定積分的性質(zhì)b（k為常數(shù)）；（1）kf(x)dx＝a_______________________________b（2）[f1(x)f2(x)]dx；a_______________________________（3）b（其中acb）．f(x)dx＝a_______________________________3．微積分基本定理f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么b一般地，如果f(x)dx＝a__________________，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓——萊布尼茲公式，可bf(x)dx＝___________＝___________．以把F(b)F(a)記作________，即a4．通過(guò)定積分的運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是 0．1/18（1）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等于 ____________________；（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等于 ____________________；（3）當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于當(dāng)位于 x軸下方的曲邊梯形的面積時(shí)， 定積分的值為__；定積分的值等于位于 x軸上方的曲邊梯形的面積 ______位于x軸下方的曲邊梯形的面積．4．定積分求曲邊梯形面積如右圖所示，由三條直線：xa，xbab，x軸及一條曲線yfxfx≥0圍成的曲邊梯形的面積為S：____________⑴若在區(qū)間a,b上，fx≤0，則S____________⑵若在區(qū)間a,c上，fx≥0，在區(qū)間c,b上，fx≤0，則S____________5．勻變速運(yùn)動(dòng)的路程公式：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)v(t)≥0在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即s____________6．變力作功公式：一物體在變力Fx（單位：N）的作用下作直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著Fx與F相同的方向從xa移動(dòng)xbab（單位：m），則力F所做的功為W____________三、雙基題目練練手1.下列值等于１的積分是 ( )A.11x1dx111xdxB.C.1dxD.dx000022.2sinxcosxdx的值（）22/18A.0B.C.2D.443．如圖，直線y1與拋物線yx2相交，則陰影部分面積為（）A.2B.1C.4D.2334．21lnxdx=（）xA．122．ln2C．ln22lnB2D．ln25．若a1)dx3ln2，且a＞1，則a的值為(2x（）xA．6B．4C．3D．26．已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率vgt，則落體運(yùn)動(dòng)從t0到tt0所走的路程為（）A．gt02B．gt02C．gt02D．gt02326x7．F'tdt．0四、經(jīng)典例題做一做22x1)dx（2）(sinxcosx)dx【例1】（1）(x2102210（3）x(xx)dx（）(cosxe)dx1x【例2】求兩曲線y2x和yx2所圍成圖形的面積．【例3】一物體在做變速直線運(yùn)動(dòng)， 其v t曲線如圖所示，求該物體在1s～6s間的運(yùn)動(dòng)路程．2【例4】如圖，陰影部分的面積是 （ ）A．2 3 B．9 233/183235C．D．33【例5】拋物線：yx22axa0，若過(guò)原點(diǎn)的直線l與拋物線所圍成的圖形面積為9a3，2求直線l的方程．五．提煉總結(jié)以為師1．用定積分的定義求定積分的一般步驟：分割、近似代替、求和、取極限．要借助于求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程去體會(huì)定積分的基本思想．2．用微積分基本定理求定積分：關(guān)鍵是找到 F x f x滿足的函數(shù)Fx，即找被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，運(yùn)用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則從反方向上求出 Fx．3．利用微積分基本定理求定積分，有時(shí)需先化簡(jiǎn)，再積分．4．在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)， 一般要先畫出它的草圖， 再借助圖形的直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限．5．要把定積分和用定積分計(jì)算平面圖形的面積這兩個(gè)概念區(qū)分開， 定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負(fù)或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當(dāng) f x≤0時(shí)要通過(guò)絕對(duì)值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個(gè)曲邊梯形的面積，然后相加起來(lái)，例如：當(dāng)函數(shù)fx在區(qū)間a,b上恒為正時(shí)，定積分bfx為曲邊梯f(x)dx的幾何意義是以曲線a形的面積，一般情況下，定積分b()的幾何意義是介于x軸、函fxdxa數(shù)fx的圖象以及之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方和面積取負(fù)號(hào)．6．體會(huì)定積分的化歸和逼近的思想方法．同步練習(xí)1．下列有定義的定積分為 （ ）4/18A．11B．214dxD．21xdx2cosxdxC．(x2)2lnxdx002．（2007年山東濰坊）2sinxdx（）0A．0B．C．2D．43．設(shè)a>0，a≠1，若02axdx2ax02，則a等于（）11A．e2B．e2C．e2D．e2f(x)為偶函數(shù)且68，則64．（2007年廣東潮州）已知f(x)dxf(x)dx（）06A．0B．4C．8D．1645．exdx的值等于（）2A．e4e2B．e4e2C．e4e22D．e4e2222x)(43x2)dx6．（2007年廣東汕頭）(407．使F(x)xn1成立的所有F(x)可以表示為F(x)___________.8．（2006年山東濰坊）汽車從A處起以速度v(t)v0at(m/s)（其中v0,a均為正的常數(shù)）開始減速度行駛，至B點(diǎn)停止，則A、B之間的距離s____________(m).9．由yx3及y2x圍成平面圖形的面積，若選x為積分變量，利用定積分應(yīng)表達(dá)為；若選y為積分變量，利用定積分應(yīng)表達(dá)為.10．求下列定積分的值．2|x21|dx；3（1）（2）9x2dx；0011.已知f(a)1a2x)dx，求f(a)的最大值．(2ax2012.一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t0(s)開始以速度vt24t3(m/s)運(yùn)動(dòng)．求（1）在t4s的位置；（2）在t4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程．5/18§3.3 定積分當(dāng)n無(wú)限趨近于+∞時(shí)，基礎(chǔ)自測(cè)1(sin+sin2+nnn成定積分的形式，可記為.答案1sinxdx02.101dx=.答案13.由曲線y=ex,x=0,y=2所圍成的曲邊梯形的面積為（用定積分表示）.答案12lnydy或0ln2(2-ex)dx4.已知f(x)為偶函數(shù)且06f（x）dx=8，則66f（x）dx=.答案165.已知-1≤a≤1，f（a）=10（2ax2-a2x）dx，求f（a）的值域.解f(a)=10(2ax2-a2x)dx=(2ax3-a2x2)|1032=-a2+2a=-1(a-2)2+2.23239-1≤a≤1，∴-7≤f（a）≤26 972故f(a)的值域?yàn)?,69例1 計(jì)算下列定積分（1） 20x(x+1)dx;12(e2x+1)dx;x0sin2xdx.

(n 1)+sin )寫6/18解 （1）∵x（x+1）=x2+x且(1x3)′=x2,( 1x2)′=x,3 220x(x+1)dx=20(x2+x)dx=02x2dx+02xdx=1x3|02+1x2|0232=(1×23-0)+(1×22-0)=14.323∵(lnx)′=1,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x,x得e2x=(1e2x)′2所以12（e2x+1)dx=12e2xdx+121dx=1e2x|12+lnx|12xx2=1e4-1e2+ln2-ln1=1e4-1e2+ln2.2222(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得1cos2x=（ sin2x）′,2 1 1所以 0sin xdx=0（ - cos2x）dx=01dx-1 0cos2xdx21x|0-1（1sin2x）|0222=（-0）-1（1sin2-1sin0）=.22222例2計(jì)算下列定積分（1）02|sinx|dx;(2)02|x2-1|dx.解（1）∵（-cosx）′=sinx，∴02|sinx|dx=0|sinx|dx+2|sinx|dx=0sinxdx-2sinxdx=-cosx|0+cosx|2=-（cos-cos0）+（cos2-cos）=4.2x21(1x2)（2）∵0≤x≤2，于是|x-1|=1x2(0x1)7/18∴02|x2-1|dx=10(1-x2)dx+12(x2-1)dx=x1x3|10+（1x3-x）|1233=（1-1）+（1×23-2）-（1-1）=2.333x3x[0,1]例3求函數(shù)f(x)=x2x(1,2]在區(qū)間［0，3］上的積分.2xx(2,3]解由積分性質(zhì)知30f(x)dx=10f(x)dx+12f(x)dx+32f(x)dx=10xdx+12xdx+232dx32x=x4|10+1x3|12+2x|2343ln2=1+8-1+8-4433ln2ln24+31.ln212例4（14分）求定積分32166xx2dx.解設(shè)y=166xx2,即(x-3)2+y2=25(y≥0).5分∵32166xx2dx表示以5為半徑的圓的四分之一面積.10分∴32166xx2dx=25.14分41.求0(cosx+ex)dx.解0x0cosxdx+0x(cosx+e)dx=edx=sinx|0+ex|0=1-1.e8/182.求04（|x-1|+|x-3|）dx.2x4(x1)解設(shè)y=|x-1|+|x-3|=2(1x3)2x4(x3)∴04(|x-1|+|x-3|)dx=10(-2x+4)dx+132dx+34(2x-4)dx=(-x2+4x)|10+2x|13+(x2-4x)|34=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.2(x1)1(0x1)3.已知函數(shù):f(x)=x(1x2)(2)x1(2x3)求30f(x)dx.解03f(x)dx=102(x+1)-1dx+12xdx+23(2)x-1dx=2ln(x+1)|10+2x3|12+1(2)x1|233ln2=2ln2+2(22-1)+1(22).3ln24.10（1(x1)2-x）dx=.答案 24一、填空題1.定積分031cosxdx=.答案622.若y=f(x)與y=g(x)是［a,b］上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線x=a,x=b所圍成的平面區(qū)域的面積為（用定積分表示）.答案ab|f(x)-g(x)|dx9/183.定積分10(32x+3x)dx=.答案42ln34.設(shè)函數(shù)f（x）=x21,0x1,則02f（x）dx=.3x,1x2,答案1765.定積分23522(x+5x)dx=.答案06.根據(jù)02sinxdx=0推斷，直線x=0，x=2，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，曲邊梯形在x軸上方的面積在x軸下方的面積.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）答案等于7.若10f(x)dx=1,02f(x)dx=-1,則12f(x)dx=.答案-28.定積分1xdx的值是.01x2答案1ln22二、解答題求下列定積分的值(1)39x2dx;0(2)已知f(x)=x21x0，求11f(x)dx的值.10x1解（1）039x2dx表示以y=9x2與x=0,x=3所圍成圖形的面積，而y=9x2與x=0,x=3圍成的圖形為圓x2+y2=9在第一象限內(nèi)的部分，因此所求的面積為9.4（2）∵f（x）=x21x00x111f(x)dx=01x2dx+101dx10/18=1x3|0+x|1=1+1=4.31033已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-1）=2，f′（0）=0，解由f（-1）=2，得a-b+c=2，又f′(x)=2ax+b,由f′(0)=0得b=0,10f(x)dx=10(ax2+bx+c)dx

10f（x）dx=-2，求a、b、c的值.①②32=(1ax+bx+cx)|1032=1a+1b+c.32即1a+1b+c=-2，③32由①②③得：a=6,b=0,c=-4.11.已知f(a)=10(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解10(2ax2-a2x)dx=(2ax3-1a2x2)|10=2a-1a23232即f(a)=2a-1a2=-1（a2-4a+4）+2322399=-1（a-2）2+2.239所以當(dāng)a=2時(shí)，f(a)有最大值2.3912.(2009·青島模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3處取得極值，且f(x)的圖象上每一點(diǎn)的切線的斜率均不超過(guò)2sintcost-23cos2t+3,試求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若f(x）為實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，且b≥-1,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,b)，試求出點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積S.解 （1）由f(x)=bx3+ax2-3x,則f′(x)=3bx2+2ax-3,∵f（x）在x=1和x=3處取得極值，∴x=1和x=3是f′(x)=0的兩個(gè)根且 b≠0.12aa233b1.31b333b11/18f′(x)=-x2+4x-3.∵f(x)的圖象上每一點(diǎn)的切線的斜率不超過(guò)2sintcost-23cos2t+3,∴f′(x)≤2sintcost-23cos2t+3對(duì)x∈R恒成立，而f′(x)=-(x-2)2+1,其最大值為1.故2sintcost-23cos2t+3≥12sin(2t-)≥12k+≤2t-≤2k+5,k∈Z3636k+≤t≤k+7,k∈Z.4122）當(dāng)b=0時(shí)，由f(x)在R上單調(diào)，知a=0.當(dāng)b≠0時(shí)，由f(x)在R上單調(diào)f′(x)≥0恒成立，或者 f′(x)≤0恒成立.f′(x)=3bx2+2ax-3,∴Δ=4a2+36b≤0可得b≤-1a2.9從而知滿足條件的點(diǎn) P（a,b)在直角坐標(biāo)平面 aOb上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲線 b=-1a2與直線b=-19所圍成的封閉圖形，其面積為S=33(1-1a2)da=4.9§3.4 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用基礎(chǔ)自測(cè)1.將由y=cosx,x=0,x=,y=0所圍圖形的面積寫成定積分形式為.答案02cosxdx+|cosxdx|22.一物體沿直線以v=3t+2(t單位：s,v單位：m/s）的速度運(yùn)動(dòng)，則該物體在3s～6s間的運(yùn)動(dòng)路程為m.答案46.53.用力把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)10cm,此時(shí)用的力是200N，變力F做的功W為J.答案104.曲線y=cosx（0≤x≤3）與坐標(biāo)軸所圍成的面積是.212/18答案35.有一質(zhì)量非均勻分布的細(xì)棒，已知其線密度為（x）=x3（取細(xì)棒的一端為原點(diǎn)，所在直線為x軸），棒長(zhǎng)為1，則棒的質(zhì)量M為.答案14例1求拋物線y2=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積.解由方程組y22x解出拋物線和直線y4x的交點(diǎn)為（2，2）及(8,-4).方法一選x作為積分變量，由圖可看出S=A1+A2在A1部分：由于拋物線的上半支方程為y=2x,下半支方程為y=-2x，所以1SA1=02［2x-(-2x)］dx=2202x2dx=22·2x32|2=16，303SA2=28［4-x-(-2x)］dx3=(4x-1x2+22x2)|8=38,2323于是：S=16+38=18.33方法二選y作積分變量，將曲線方程寫為x=y2及x=4-y.2S=24[（4-y）-y2]dy=(4y-y2-y3)|24226=30-12=18.例2（14分）如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.解拋物線y=x-x2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1=0,x2=1,所以拋物線與x軸所圍圖形的面積S=10（x-x2）dx=(x2x3)|102313/18=1-1=1.6分236拋物線y=x-x2與y=kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1′=0,x2′=1-k,9分所以S=1k220（x-x-kx）dx=1kx2x31k2|03=1(1-k)3，12分6又知S=1，所以(1-k)3=1，62于是k=1-31=1-34.14分22例3一輛汽車的速度—時(shí)間曲線如圖所示，求此汽車在這1min內(nèi)所行駛的路程.解 由速度—時(shí)間曲線易知，3tt[0,10)v（t）=30t[10,40)1.5t90t[40,60]由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式可得s=1003tdt+104030dt+4060(-1.5t+90)dt=3t2|100+30t|1040+（-3t2+90t）|406024=1350(m).答此汽車在這1min內(nèi)所行駛的路程是1350m.1.求拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍成的平面圖形的面積 S.解 方法一 由 y2 x 得拋物線與直線的交點(diǎn)為 P（1，-1），Q（9，3）（如圖）.x 2y 3 014/18∴S=10［x-(-x)］dx+19(x-x3)dx2=210xdx+19(x-x+3)dx223=4x3|10+（2x2-x2+3x|19=4+28=32.3342333方法二若選取積分變量為y，則兩個(gè)函數(shù)分別為x=y2,x=2y+3.由方法一知上限為3，下限為-1.∴S=31(2y+3-y2）dy=（y2+3y-1y3)|313=(9+9-9)-(1-3+1)=32.332.如圖所示,陰影部分的面積是.答案 323一物體按規(guī)律x=bt3做直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，試求物體由x=0運(yùn)動(dòng)到x=a時(shí)，阻力做的功.解物體的速度v=x′(t)=(bt3)′=3bt2,媒質(zhì)阻力f阻=kv2=k·（3bt2）2=9kb2t4.(其中k為比例常數(shù)，k＞0)1當(dāng)x=0時(shí)，t=0，當(dāng)x=a時(shí)，t=t1=a3,b∴阻力做的功是：at12W阻=0f阻dx=0kv·vdt=k0t1v3dt=k0t1（3bt2）3dt=27kb3t7=27k3a7b2=27ka23ab2.7177一、填空題1.如圖所示，陰影部分面積為 .15/18答案ac［g(x)-f(x)］dx+cb［f(x)-g(x)］dx2.設(shè)f（x）=x2,x[0,1],則02f（x）dx=.2x,x(1,2],答案563.設(shè)f(x)=0xsintdt,則f（f（））=.2答案1-cos14.一物體在力F（x）=104(0x2)(單位：N）的作用下沿與力F相同的方向，從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=43x(x2)（單位：m)處，則力F（x）做的功為J.答案465.一物體在變力F(x)=5-x2(力單位:N,位移單位:m)作用下,沿與F(x)成30°方向作直線運(yùn)動(dòng),則由x=1運(yùn)動(dòng)到x=2時(shí)F(x)做的功為J.答案4336.函數(shù)F(x)=0xt(t-4)dt在［-1,5］上的最大值為，最小值為.答案0-3237.汽車以v=3t+2(單位：m/s）作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1s至第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是m.答案6.58.若f(x)是一次函數(shù)，且110f(x)dx=5,0答案 f(x)=4x+3二、解答題

xf(x)dx=17,那么函數(shù)f(x)的解析式是.69.證明：把質(zhì)量為 m（單位：kg）的物體從地球的表面升高 h(單位：m)處所做的功 W=G· Mmh ，其中G是k(k h)地球引力常數(shù)， M是地球的質(zhì)量， k是地球的半徑.證明 根據(jù)萬(wàn)有引力定律：知道對(duì)于兩個(gè)距離為 r,質(zhì)量分別為 m1、m2的質(zhì)點(diǎn)，它們之間的引力為 f（r）=G·m1m2，其中G為引力常數(shù).216/18則當(dāng)質(zhì)量為m的物體距地面高度為x(0≤x≤h)時(shí)，地心對(duì)它的引力f（x）=G·Mm.x)2(k故該物體從地面升到h高處所做的功為W=0hf（x）dx=0hG·Mm·dx(kx)2=GMm0h1d（k+x）(kx)2=GMm1|hkx0=GMm11khk=G·Mmh.k(kh)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx在點(diǎn)x=1處有極值-2.1）求常數(shù)a,b的值；2）求曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積.解（1）由題意知f′(x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2且f′(1)=0,即1ab2，解得a=0,b=-3,32ab0即f(x)=x3-3x.(2