2015年考研數(shù)學一真題及答案詳細解析-2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試題及答案

年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設函數(shù)在內連續(xù)，其中二階導數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點的個數(shù)為()(A)(B)(C)(D)(2)設是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則()(A)(B)(C)(D)(3)若級數(shù)條件收斂，則與依次為冪級數(shù)的()(A)收斂點，收斂點(B)收斂點，發(fā)散點(C)發(fā)散點，收斂點(D)發(fā)散點，發(fā)散點(4)設是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則()(A)(B)(C)(D)(5)設矩陣，，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為()(A)(B)(C)(D)(6)設二次型在正交變換為下的標準形為，其中，若，則在正交變換下的標準形為()(A)(B)(C)(D)(7)若A,B為任意兩個隨機事件，則()(A)(B)(C)(D)（II）當k為何值時，存在非0向量在基與基下的坐標相同，并求所有的.(21)(本題滿分11分)設矩陣相似于矩陣.求的值；（II）求可逆矩陣，使為對角矩陣..(22)(本題滿分11分)設隨機變量的概率密度為對進行獨立重復的觀測,直到2個大于3的觀測值出現(xiàn)的停止.記為觀測次數(shù).(I)求的概率分布;(II)求(23)(本題滿分11分)設總體X的概率密度為：其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機樣本.(I)求的矩估計量.(II)求的最大似然估計量.

2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試題及答案一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設函數(shù)在內連續(xù)，其中二階導數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點的個數(shù)為()(A)(B)(C)(D)【答案】（C）【解析】拐點出現(xiàn)在二階導數(shù)等于0，或二階導數(shù)不存在的點，并且在這點的左右兩側二階導函數(shù)異號。因此，由的圖形可得，曲線存在兩個拐點.故選（C）.(2)設是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則()(A)(B)(C)(D)【答案】（A）【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問題——已知解來確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質和結構來求解，也就是下面演示的解法.【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，，從而原方程變?yōu)?，再將特解代入?故選（A）(3)若級數(shù)條件收斂，則與依次為冪級數(shù)的()(A)收斂點，收斂點(B)收斂點，發(fā)散點(C)發(fā)散點，收斂點(D)發(fā)散點，發(fā)散點【答案】（B）【分析】此題考查冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的性質.【解析】因為條件收斂，即為冪級數(shù)的條件收斂點，所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為.而冪級數(shù)逐項求導不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是.因而與依次為冪級數(shù)的收斂點，發(fā)散點.故選（B）.(4)設是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則()(A)(B)(C)(D)【答案】（B）【分析】此題考查將二重積分化成極坐標系下的累次積分【解析】先畫出D的圖形，所以，故選（B）(5)設矩陣，，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】，由，故或，同時或。故選（D）(6)設二次型在正交變換為下的標準形為，其中，若，則在正交變換下的標準形為()(A)(B)(C)(D)【答案】(A)【解析】由，故.且.所以。選（A）(7)若A,B為任意兩個隨機事件，則()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性質，我們有且，從而，選(C).(8)設隨機變量不相關，且，則()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】，選(D).二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)【答案】【分析】此題考查型未定式極限，可直接用洛必達法則，也可以用等價無窮小替換.【解析】方法一：方法二：(10)【答案】【分析】此題考查定積分的計算，需要用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質化簡.【解析】(11)若函數(shù)由方程確定，則【答案】【分析】此題考查隱函數(shù)求導.【解析】令，則又當時，即.所以，因而(12)設是由平面與三個坐標平面平面所圍成的空間區(qū)域，則【答案】【分析】此題考查三重積分的計算，可直接計算，也可以利用輪換對稱性化簡后再計算.【解析】由輪換對稱性，得，其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以(13)階行列式【答案】【解析】按第一行展開得(14)設二維隨機變量服從正態(tài)分布，則【答案】【解析】由題設知，，而且相互獨立，從而.三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)設函數(shù)，，若與在是等價無窮小，求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：因為分子的極限為0，則，分子的極限為0，，(16)(本題滿分10分)設函數(shù)在定義域I上的導數(shù)大于零，若對任意的，由線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達式.【答案】.【解析】設在點處的切線方程為：令，得到，故由題意，，即，可以轉化為一階微分方程，即，可分離變量得到通解為：，已知，得到，因此；即.(17)(本題滿分10分)已知函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向導數(shù).【答案】3【解析】因為沿著梯度的方向的方向導數(shù)最大，且最大值為梯度的模.，故，模為，此題目轉化為對函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問題.為了計算簡單，可以轉化為對在約束條件下的最大值.構造函數(shù)：，得到.所以最大值為.(18)(本題滿分10分)（I）設函數(shù)可導，利用導數(shù)定義證明（II）設函數(shù)可導，，寫出的求導公式.【解析】（I）（II）由題意得(19)(本題滿分10分)已知曲線L的方程為起點為，終點為，計算曲線積分.【答案】【解析】由題意假設參數(shù)方程，(20)(本題滿11分)

設向量組內的一個基，，，.（I）證明向量組為的一個基;（II）當k為何值時，存在非0向量在基與基下的坐標相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)證明：故為的一個基.（II）由題意知，即即即，得k=0(21)(本題滿分11分)設矩陣相似于矩陣.求的值；（II）求可逆矩陣，使為對角矩陣..【解析】(I)(II)的特征值時的基礎解系為時的基礎解系為A的特征值令，(22)(本題滿分11分)設隨機變量的概率密度為對進行獨立重復的觀測,直到2個大于3的觀測值出現(xiàn)的停止.記為觀測次數(shù).(I)求的概率分布;(II)求