積分的應(yīng)用第六章總習題

第六章總習題設(shè)在[a,b]上f(x) f'(x) f''(x)0,且

afbsf(b)(ba),s1[f(a)f(b)](bb

ss

的大小順序為s2s1s3

12曲線yx3x22x與x軸所圍成的圖形的面積A 37ycosx(πxπxx 的體積V 1π22y24xxx0x00)x0體的體積V 2πx20y

yACBaO cosyACBaO ππ2解 由條件:在[a,b]上f(x)0fx0,f''(x0yf(x遞減且為凹的,從而曲線yf(x),連接點A(a,f(aB(b,f(b))的弦線,B(b,f(b)),s2s1s3

y ycosπOπ2xyx3x22xy ycosπOπ2x

y0;x[0,2]時,y0,

A0(x3x22x)dx2(x3x22x)dx37 取x為積分變量,所求體積為

O

xππ2π2V2πcos2xdx cos2x)dx1π2ππ2π2 .x為積分變量,

xVx0π(4x)dx4π1x22πx2 2 x[π

,]2

且y' 0故曲線遞增,因此 s2

1(cosx)2dx2

1cosxdx dx

22cos22

4雙紐線(x2y2)2x2y2所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為 A

24cos2d 0

44cos2d0 1 24cos2d 3

4(cos2)d0ysin2x(0xπ)xx 44π 2π2 23333曲線yx(x1)(2x)與x軸所圍平面圖形的面積可表示為 2x(x1)(2x)dx020x(x1)(2x)dx2 1x(x1)(2x)dx2x(x1)(2x)dx 0x(x1)(2x)dx1x(x1)(2x)d f(x),g(x)在區(qū)間[ab上連續(xù),g(xf(xm(m為常數(shù)),yg(x),yf(x),xa,xb所圍平面圖形繞直線ym旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的 baπ[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dxbaπ[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dxbbaπ[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dxbbaπ[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dxb解 選A.因為雙紐線的參數(shù)方程為2cos2,[3,5],]

π

4 A442cos2d24cos2d V πsin3xdx (1cos2x)dcosx=π[cosxcos3x]π C.yx(x1)(2x0x0,1,2,x[0,1]時,y0;yyyfOayyyfOa y Ax(x1)(2x)dxx(x1)(2x)dx D.yf(x),yg(x),y, Vbπ[mg(x)]2dxbπ[mf(x)]2 bπ[f(x)g(x)][2mf(x)g(x)]dxa

積

a(cossin)(a0解6.32,yasinyaya(cossinaOxA,A, a πA12π(2)8aa(cossin0得4

a(cossin)(a0)或3π,4

3π1

3π1

2A2

d a(cossin)π π a2 π 4(1sin2)d [

cos2]4 a22

AA1A2π1a24yax2bxc通過點(0,0),x[0,1]y0,ab4的值,使得拋物線yax2bxc與直線x1,y0所圍平面圖形的面積 ,9yO1x解yax2bxyO1x過點(0,0),所以c0,yax2bxx[0,1]y0所以該拋物線x1,y0所圍平面圖形為圖 A (ax2bx)dx 3 x2]1 [x V1π(ax2bx)2dx1π(a2x42abx3b2x2 125

abb)π[a5

3bx]0π(5 A9,ab4,得a43b,代入V中, Vπ(b24b)16ππ(b2)22π 由上式可知,當b2時,V最小,這時,a53求圓盤(x2)2y21y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解參考圖6.34. 圓盤(x2)2y21繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積等于平面圖形ABCDE和ABFDE分別繞y軸旋轉(zhuǎn)Vπ1[(21y2)2(21y2)2π181y2dy 1y2dy 而 1y2dy表示圓x2y21的面積的一半 圖1π,故所求體積為V4π22設(shè)星形線xacos3 yasin3t上每一點處的線密度的大小等于該點到點距離的立方,在原點O處有一單位質(zhì)點,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的解設(shè)星形線上的點到原點的距離為 線密度為 顯然r3r 下面考慮星形線上對應(yīng)于小區(qū)間[ttdt]的一小段對質(zhì)點的引力,其中tπ.2ds[x'(t)]2[y'(t)]2dt (3a2cos2tsint)2(3asin2tcost)23asin2tcos2t(sin2tcos2t)dt3asintcostdt這一小段的質(zhì)量近似為dmds,dFGdm1Grds(其中G為引力常數(shù)).dFxy于是,

dFxGxds3a2Gsintcos4tdtrdFyGyds3a2Gsin4tcostdtr Fx02dF023a2Gsintcos4tdt3a2G2cos4td(cos 3a2G[cos5t]2 a2G Fy02dF023a2Gsin4tcostdt3a2G2sin4td(sin 3a2G[sin5t]2 a2G ylnx的切線,ylnxx軸圍成平面圖D.D的面積解設(shè)題中切線的切點為(x,lnx),故切線方程為ylnx1 x).又 y切線過坐標原點,故有l(wèi)nx01,從而x0e y11(xe),yx

e (1)1e

e{[xlnx]eedxeln ln V

y 2

y 2π(eye)dy

π(ee)dy (y1)dyπ

e 3 y 3 yπe[(y1)]0π[ey e]0 (5e12e y3x21xy3旋轉(zhuǎn)一周所得的旋yA yyA y OC yx22(0x1y4x2(1x2)在區(qū)間[1,2]上的體積為V2,則由對稱 圖V2(VV)

2[3(x22)]2}dx2π2{32[3(4x2 .2π2(82x2x4)dx. ysinx在[0,πL,Lx22y21位解Lπ1cos2xdx

πdx

3cos2xdx

π π令txπ,

π3cos

dx

,令t

π ,π ππ3cos2

d

π3cos2

dt,

23cos2xdx

L 在第一卦限中的橢圓參數(shù)方程為

xcos 0π, y 1 π 1s0

sin2

cosd

d12

L4為清除井底的污泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(見右圖).已知30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,2000N,提升速度為3ms,在提升過程中,污泥以20Ns的速率從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口,問克服重力需作多少焦耳的功?(說明(1)1N1m1J;

O解總重力由三部分組成:抓斗自重力f1,纜繩重力f2,污泥的重力f3,設(shè)W1,W2,W3f1,f2,f3所作的功,則將抓起污泥的抓斗提升至井口需作的功WW1W2W3.顯然W14003012000J,xxdx處克服纜繩重力所做的功為dW25030x)dx,故W205030x)dx22500J在時間間隔[ttdt內(nèi)提升污泥需作功為dW33200020t)dt,DyCA1BOx30DyCA1BOx3W303(200020t)dt57000JW12000225005700091500(J) 的上部為矩形ABCD,下部由二次拋線與線段所圍成.當水面與的上端相時,欲使矩形部分承受的水壓力與下部承受的水壓力之比為5:4,矩形部分的高h應(yīng)為多少米?解建立如圖所示的坐標系,yx2y為積分變量,則它的變化區(qū)間為[1,h1],任一小區(qū)間yydy對應(yīng)薄片的壓強近似于(h1y),面積近似于2dy,承受水壓力的近似值為dP12(h1y)dyP

2(h1y)dy