案例分析：現(xiàn)實數(shù)學觀與生活數(shù)學觀1

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課題：平均數(shù)

課時：一課時

材料預備：老師的講臺上有一個“工具箱”，里面預先預備了一些粉筆頭、一些碎紙、一些紗線，一些正方體的小積木，而同學則預備有鉛筆盒、記錄本等。

臨床描述

在本節(jié)課的一開頭，老師就先向同學展現(xiàn)了一段錄像，在錄像中描述了這樣一段情節(jié)（簡述）：

在一個幼兒園的某一個教室里，十幾個幼兒正圍坐在一起，玩著“搭紙”嬉戲。這時，一位女老師手捧一個紙盒走進來，從鏡頭中可以看到，里面有許多有著美麗包裝的糖果。老師將這個紙盒放在同學前面的一個小桌上（類似于老師的講臺），又匆忙出去了。

小伴侶們開頭好似并沒有太多的注重，教師拿了什么進來，又為什么要出去。但是，由于這位教師好久沒有進來，小伴侶們就開頭有些驚奇了。先是竊竊私語，然后是出聲的爭辯。這時可以聽到他們談論最多的是，盒子里面畢竟是什么。再后，有一個小伴侶大著膽子走上前，看到了紙盒里是好多的糖果，大為高興，揮著小手大聲地告知大家。于是，小伴侶紛紛上前探個畢竟。開頭是二、三個，然后就有許多小伴侶上來看。

瞧這些小伴侶，有些高興和騷動。還有幾個小伴侶的小手開頭不停地動著，而且頭不斷地向前張望著。

最終，一個小伴侶忍不住靜靜上來，在紙盒前駐足片刻，拿了一顆糖果。于是，又有幾個小伴侶開頭學樣，上來向紙盒伸手，但并未看清他們都拿了多少糖果。再后，就是全部小伴侶都一擁而上，紛紛伸手去抓糖果。

這下可好，那些小伴侶坐的、站的都有；有的在將糖果往自己的小口袋放，有的在向別人要糖果，有的則在哭,……。

此時，老師進來了，看到小伴侶們亂作一團的場景，再看紙盒，里面早已空了，就知道是怎么回事了。

老師免不了要向幼兒做一番教導。然后問了他們幾個問題：你們想過沒有，為什么有的小伴侶很興奮，有的小伴侶很不興奮？應當怎樣做，才干使大家都興奮？接下來你們應當怎么做？想一想，然后教師可能會怎么做？（錄像結束）

接著，老師邊播放其次遍錄像，邊讓全班同學思量幼兒園教師的問題。提出，可以每四個學生組成一組舉行研究，并利用自己的學習用品來模擬剛才幼兒園小伴侶的行為過程，提出自己想要弄懂的問題。

于是，同學有的用畫線段圖的方式，有的用用擺小物品（如一些長短不一的細繩）的方式，也有的利用老師預先給出的正方體小積木，紛紛按照老師提出的問題，去嘗試解決的辦法。

可以看到，有一個小組先是將一堆小積木分成多少不一的幾堆，然后是試著將多的積木往少的地方放。可能是因為積木的塊數(shù)不巧，加上多少相差太大，所以，四個人邊動手，邊爭辯，終于也沒有獲得勝利。驟然，其中一個同學提出，為什么不將這些積木先所有集中起來，然后來重新分呢？這次，小組獲得了勝利，他們先將不同塊數(shù)的幾積累木堆在了一起，然后像“發(fā)牌”一樣，每次一塊，一次發(fā)給每一堆。

這時，老師正巧在巡察中走了過來，她向小組的學生提了一個問題：想想看，還有什么方法能更快的解決問題呢？于是，小組又綻開了研究。新的辦法浮現(xiàn)了，就是先數(shù)出積木的總數(shù)目，然后數(shù)一數(shù)要放幾堆，用除法一算，就知道每一堆應當有幾塊，這樣，只要直接將積木一次發(fā)給每一堆就可以了。

還可以看到，有一個小組的學生從老師講臺上的工具箱內取了若干（好似是5根）長短不一的細紗線，開頭時，他們曾嘗試這些紗線的一頭對齊并捏緊，然后預備將長的部分都剪下來，但是，很快他們就放棄了這個嘗試，由于他們發(fā)覺，假如不斷地將多的部分剪下來再拼到少的地方去的話，活動是很難完成的。于是，在小組的一個學生的啟發(fā)下，他們又嘗試先量出每一根紗線的長度，可能想通過計算來解決問題。固然，他們終于也放棄了這個方法，由于這些紗線的長度都不是一個整數(shù)值（這可能時由于老師原來在挑選紗線長度時就是任意的，也可能是老師刻意設計的），所以計算十分的不便利。似乎活動陷入了僵局。

驟然，一個其他小組的同學走了過來（可能這個老師在同學的小組活動時，是允許甚至鼓舞同學走出自己小組范圍的），猛地冒出了一句話：哎呀，把他們接起來嗎！

真是柳暗花明又一村，一句話點醒了夢中人！小組里其中兩個同學的反應最快，他們馬上動手，將這5根紗線打結連了起來，接下來就更明了了，再通過“折”的方式，將這根長的紗線折成5斷，并不斷的修正它們的長度，直到這5根紗線的長度相同為止。

……

觀看中發(fā)覺，在這個階段，各小組的同學基本上就是在動手做各種嘗試性的操作活動，并沒有做任何的記錄活動。

當這個階段的活動基本結束以后，老師向每一個活動小組發(fā)了一張紙（可以看到，上面寫著“工作記錄表”）。她要求同學通過研究往返憶剛才自己的活動過程，思量并填寫這張“工作記錄表”。

這張“工作記錄表”大致是這樣的：

你的工作表格

二、預測

你能不能猜猜這位幼兒園的教師要解決這個問題，她第一步將會怎么做？請說說你的理由。

三、學習方案

你第一步主要想探索的問題

終于你想弄清晰的問題

五、評價

現(xiàn)在你可以自己來推斷一下，本來的猜想對嗎？

假如有錯，主要是什么地方錯了？為什么會錯？

最后，通過各小組的同學陳述自己的發(fā)覺和主意，設法來證實自己的結論，從而得出這一類問題的基本性質以及問題解決的基本特征和基本辦法。

接下來，老師還故意識地設計了一系列的跟進活動，來進展同學的學問以及將學問運用于實際情景的能力：

活動一為迎接“城市運動會”，小學接到一項任務，為大會編織一批彩花。大隊部將這個任務交給了五（1）中隊。中隊第一天派了6位少先隊員，結果共做了92朵彩花，其次天派了8位少先隊員，結果共做了106朵彩花。到了運動會召開的前一天，大會驟然要求小學再補充250朵彩花，并在一天內完成。你認為派多少個少先隊員來完成此任務較為合適？為什么？

活動二下面是兩個小組的英語朗誦成果，你能用多少種辦法來推斷這兩個小組的成

活動三現(xiàn)在你將第一小組的第6號的學生去掉，這時你再用本來的辦法舉行成果好壞的推斷，并舉行一些比較。你的結論和發(fā)覺還是本來的一樣嗎？

活動四下面是一份某公司的月工資報表。假如公司讓你到勞務市場去聘請一名職員，

附：課后的調查

觀看者拿了本案例的“跟進活動”中的第一個問題，進入了采納“常規(guī)辦法”來組織學習“平均數(shù)”學問的不同的五個班級，在每次課后都隨機地選取五個同學舉行測試，時光限制在2分鐘，結果是,在這25個樣本中，問題解決的精確?????率不足30％，而錯誤率則要高達72％，其中問題表征的錯誤人數(shù)達16人，占64％，計算錯誤2人，占8％。

通過訪談進一步發(fā)覺，不能將問題與已經(jīng)習得的學問建立聯(lián)系的人數(shù)有11人，其余的同學是不能理解問題“你認為派多少個少先隊員來完成此任務較為合適？為什么？”的意義。其中曾有這樣一段對話：

觀看者：你想想，剛才在課內學習了什么學問？

同學：平均數(shù)的學問。

觀看者：那你認為能不能用剛才學到的學問來解決這個問題呢？

同學：（遲疑）好象不能？

觀看者：為什么不能？

同學：由于這道題目里面沒有“平均”這個字（即平均這個詞語——觀看者注）【主題】

在學校數(shù)學學習的組織過程中，畢竟應該如何體現(xiàn)浮現(xiàn)實數(shù)學觀與生活數(shù)學觀這樣的學科性質特征？

【提醒】

長久的討論已經(jīng)表明，兒童經(jīng)常是通過探究他們自己的生活世界和精神世界來了解并獲得學習的，經(jīng)常是通過自己的大量的實踐活動來獲得數(shù)學學問的，經(jīng)常是在許許多多的問題解決過程來進展自己的數(shù)學認知能力的。兒童熟悉數(shù)學的起點并不是符號所組成的規(guī)律公

理，而是它們自己的生活實踐所形成的閱歷。

【要求】

·評析應該緊緊扣住學校數(shù)學的學科性質的本質來綻開；

·在評析過程中做到有理有據(jù)；

·在評析過程中要注重結合教材中的第一、第九章的相關內容來舉行；

對于“數(shù)學觀”的解釋是：“作為生活的數(shù)學，往往是一種閱歷符號的數(shù)學，更多運用的是語言和直覺。作為生活的數(shù)學，就是指存在于生活實踐中的那些非形式的數(shù)學，是人們在社會生活的實踐活動中獲得溝通和理解的數(shù)學。”可是，我更多地將它理解為孩子們原本已獵取的與數(shù)學相關的生活閱歷，這正是將兒童日常的生活或閱歷與書本上的數(shù)學結合起來的最好的橋梁，也正是許多數(shù)學特級老師理論中所倡導的“關注同學對相關學問的把握程度，對已有的閱歷舉行遷移?！边@里的“遷移”的“已有的閱歷”，就是將孩子們已經(jīng)獲得的生活數(shù)學?！斑w移”，就是對生活數(shù)學舉行理論化和系統(tǒng)化，使之成為書本上數(shù)學學問。

在這個案例中，孩子們雖然沒有學過平均數(shù)，但是依照他們原有的生活閱歷，他們同樣可以將積木用“發(fā)牌”的方式平均分配好（也可以每一次先等量地分發(fā)給每一個人，然后再這樣輪發(fā)）；同樣可以將長短不一的線先接起來然后平均分成一樣長的幾份……這些，都是孩子們生活中堆積起來的閱歷，是生活數(shù)學。兒童更多的是利用生活中直觀材料的操作來解決問題，惟獨當任務較大，要分的物品或者對

象數(shù)額比較大、比較復雜時，才開頭嘗試獲得另一種辦法，終于形成了用“除法”的概念和算法。在學校教學《熟悉平均數(shù)》時，就從現(xiàn)實生活情境中引入概念，交流數(shù)學與生活的聯(lián)系結合實際問題（通過小組口算競賽）競賽是哪一組獲勝，引導同學綻開溝通、思量。讓同學感觸到數(shù)學就在我們身邊，從而深刻熟悉到數(shù)學的價值與魅力。在同學的活動研究中，在認知矛盾下，熟悉在人數(shù)不同的狀況下，比總數(shù)明顯也不公正；而感觸平均數(shù)是實際生活的需要，也產生了學習“平均數(shù)”的需求。教學惟獨組織了這個過程，同學對平均數(shù)的統(tǒng)計意義以及作用才有比較深刻的理解，也才干在面臨相類似問題時，能自主地想到用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，去舉行比較和分析。

對于“現(xiàn)實數(shù)學觀”的解釋是：“現(xiàn)實數(shù)學是依賴‘局部組織’來支撐的，它往往是依靠于人的閱歷的，是存在于我們的現(xiàn)實之中的。對于大多數(shù)的人來說，是他們加強與外部世界舉行交流和交互，從而獲得高質量生存并推動社會長進的一些須要的學問，由于每一個人的經(jīng)受不同，他們對現(xiàn)實數(shù)學的理解也會有差異?！薄捌骄鶖?shù)”作為一個數(shù)學概念，是對一組數(shù)的集中和離散程度的本質熟悉。把握了單個詞匯并不一定就是理解了概念。本例中，在采納“常規(guī)辦法”來組織學習“平均數(shù)”學問的班級中，雖然在概念的形成過程中，設計了生活化情境，可在跟進活動中同學仍然不能將問題與習得學問建立聯(lián)系甚至不能理解真切情境問題本身的意義，就是由于他們沒有真正理解作為數(shù)學概念的“平均數(shù)”的本質意義。而學校數(shù)學學教學中，老師就

會充分制造有效的數(shù)學學習方式，讓同學理解平均數(shù)的意義和學會平均數(shù)的算法，老師應從多方面對同學提供充分從事數(shù)學活動的機會，讓每一位同學主動從事數(shù)學活動，讓同學自己探究出求平均數(shù)的辦法。一種是先合再分，一種是移多補少。因為生活閱歷和學問基礎，同學中有一部分已經(jīng)知道用移多補少的辦法找出平均數(shù)，其實這種辦法也能夠利用教材上的統(tǒng)計圖很好地舉行過程的演示；還有一部分數(shù)感較強的同學，能夠按照提供的一組數(shù)據(jù)感覺出平均數(shù)也許是多少；而用總數(shù)除以份數(shù)得到平均數(shù)的計算，也不難，同學絕對會有這種思維。平均數(shù)”的概念比較抽象，無數(shù)人對平均數(shù)的含義不理解。于是教學中可以設計了兩個包含平均數(shù)的句子，通過分析，讓同學進一步理解平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的總體狀況是一個虛擬的數(shù)，而不是詳細的真切數(shù)。通過同學對句子的解釋可以看出同學對于“平均數(shù)”的表象已經(jīng)逐步清楚起來。

學校生數(shù)學學習的實質是，用自己與世界互相作用的獨特閱歷去建構有關數(shù)學學科學問和技能的過程。從這個意義上說，學校兒童的生活閱歷理所固然地成為他們數(shù)學學習的一個重要基礎，進而成為我們構建學校數(shù)學教學模式和開發(fā)學校數(shù)學活動課程的浩大資源庫。學校兒童的數(shù)學學習與生活閱歷是緊密相連的，他們的學習過程就是一個閱歷的激活、利用、調節(jié)、提升的過程，是“自己對生活現(xiàn)象的解讀”，是“建立在閱歷基礎上的一個主動建構的過程”。學校兒童的數(shù)學學習活動與其說是“學習數(shù)學”，倒還不如說是生活閱歷的“數(shù)學化”。

同學從現(xiàn)實動身，經(jīng)過反思，達到“數(shù)學化”。在這