非慣性系中動(dòng)力學(xué)問題的討論

包頭師范學(xué)院本科畢業(yè)論文論文題目：非慣性系中動(dòng)力學(xué)問題的討論院系：物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院專業(yè)：物理學(xué)姓名：王文隆學(xué)號：0809320007指導(dǎo)教師：魯毅二〇一二年三月摘要綜述了近幾十年來國內(nèi)外學(xué)者對非慣性系動(dòng)力學(xué)方面的研究情況,以及對非慣性系動(dòng)力學(xué)的實(shí)際應(yīng)用情況。介紹了在非慣性系中建立動(dòng)力學(xué)方程的方法,慣性系中拉格朗日方程在非慣性系中的轉(zhuǎn)換形式,以及非慣性系中的能量定理和能量守恒定律的應(yīng)用等研究成果。最后,概述了一些運(yùn)用非慣性系動(dòng)力學(xué)的方法來解決非慣性系中的理論和實(shí)際工程應(yīng)用兩方面的文獻(xiàn),并且對非慣性系的研究和應(yīng)用進(jìn)行了展望。關(guān)鍵詞：非慣性系；慣性力；動(dòng)力學(xué)方程；拉格朗日方程；動(dòng)量定理;動(dòng)能定律;守恒定律AbstractAndunderclassicalmechanicsframe,theconservationlaw,leadsintotheinertialforceconceptaccordingtokineticenergytheorem,momentofmomenumtheorem,mechanicalenergyininertiadepartment,equationhavinginferedoutnowthatthesorthavingtranslation,havingrotatingisnotthatinertiaistobehitbydynamics,priorityexplainsafewrepresentativeMechanicsphenomenoninbeingnotaninertiadepartment.Keywords：Non-inertiaInertialforceKineticenergytheoremMechanicalenergyconservesApply目錄引言 11非慣性系概述 21.1非慣性系 21.2慣性力 22動(dòng)力學(xué)方程 32.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程 32.2拉格朗日方程 43能量問題 54應(yīng)用研究舉例 55研究展望 6參考文獻(xiàn) 7致謝 8非慣性系中動(dòng)力學(xué)問題的討論引言 實(shí)際工程中有許多系統(tǒng)處于非慣性系內(nèi)工作,如航空航天、天文和外星空探索等領(lǐng)域的許多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。許多文獻(xiàn)對非慣性系內(nèi)的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了深入的研究,筆者將對此進(jìn)行綜述,內(nèi)容包括在非慣性系中非慣性力的引入,牛頓運(yùn)動(dòng)定律及拉格朗日方程的應(yīng)用,非慣性系運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立,以及在非慣性系中的能量定理、能量守恒定律等的應(yīng)用問題。1非慣性系概述1.1非慣性系為了研究宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，首先應(yīng)確定該物體在空間的位置。但因物體的位置只能相對的確定，因此有因該首先找出另外一個(gè)物體作為參考，這種作為參考的物體叫做慣性參考系或慣性參照系。在研究地面上物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，為了研究問題的方便,人們通常取地球作為慣性參照系。凡相對慣性系作變速運(yùn)動(dòng)的參照系就是非慣性參照系。兩者惟一的差別就是在非慣性系中存在一個(gè)引力場。 研究在慣性參照系下機(jī)械運(yùn)動(dòng)所遵循的規(guī)律的力學(xué)被稱之為“經(jīng)典力學(xué)”,因此牛頓力學(xué)只有在慣性參照系中才能成立，即 式（1-1）式中是作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力，是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，而則為在慣性參照系中所觀察到的質(zhì)點(diǎn)的加速度即絕對加速度。絕對加速度，牽連加速度和相對加速度的關(guān)系為： 式（1-2） 在不同參照系中觀察同一物體的運(yùn)動(dòng),所得的描述物體運(yùn)動(dòng)的結(jié)論并不相同。但是，可以通過在非慣性參照系中引進(jìn)一個(gè)假設(shè)的力——慣性力，牛頓運(yùn)動(dòng)定律在非慣性參照系中便能成立了。[1]1.2慣性力 在上文中提到了將慣性力引入非慣性系中,慣性力和以前所講的外力有很大的區(qū)別，這一點(diǎn)我們應(yīng)當(dāng)清晰地了解。第一，當(dāng)我們以前提到力時(shí)，都必須明確指明是哪一個(gè)物體作用于哪一個(gè)物體的力，因?yàn)榱κ俏矬w間相互作用所產(chǎn)生的。至于說到質(zhì)點(diǎn)所受到的慣性力，卻無從指出是哪一個(gè)物體作用于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的，他沒有施力者，只不過反映參照系并非慣性參照系而已。質(zhì)點(diǎn)之所以具有牽連加速度也只不過表示質(zhì)點(diǎn)是被參照系“牽帶”著運(yùn)動(dòng)這一事實(shí)。第二，物體作用都是相互的，每一個(gè)力都有他的反作用力，慣性力并不是物體之間的相互作用，它沒有施力者，因而也就不存在慣性力的反作用力。但對于慣性力,在許多研究著作中還存在爭議,即慣性力到底是真實(shí)力還是虛擬的力。從力的效應(yīng)以及大量各種非慣性系中慣性力的效應(yīng)實(shí)例出發(fā),可以論證慣性力是實(shí)力[2]。也有認(rèn)為慣性力是不符合牛頓力的定義的,只有將牛頓力的概念加以推廣后,慣性力才屬于力的范疇[3]。因此,在慣性力的研究中,既不宜將慣性力簡單說成是“假想的力”,也不應(yīng)片面說成是“真實(shí)的力”,需進(jìn)行全面的討論和分析。 當(dāng)在非慣性系中引入慣性力后,還必須考慮在非慣性系中動(dòng)量定律、動(dòng)能定理以及各守恒定律的情況,即慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程與守恒定律是否還可以適用于非慣性系的情形[4]。2動(dòng)力學(xué)方程2.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程 在非慣性系中解決質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題與在慣性系中一樣是根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律,只是用非慣性系中測得的質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)、速度和加速度來表述。從慣性系到非慣性系的坐標(biāo)變換來考慮,建立一般性的非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程,它對特定的非慣性系就能給出該系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程。 用直角坐標(biāo)系代表一個(gè)慣性系。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，它的坐標(biāo)和所受合力的分量用單列矩陣表示為：在慣性系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為： 式（2-1）式中坐標(biāo)對時(shí)間t的微商表示為。為質(zhì)點(diǎn)的加速度分量。質(zhì)點(diǎn)所受的力和合力及它的加速度對所有的慣性系都相同，它們的分量取決于坐標(biāo)系的選取。 用直角坐標(biāo)系代表一個(gè)非慣性系。質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和所受合力的分量表示為：在非慣性系中，質(zhì)點(diǎn)所受的力和合力與慣性系中的相同（分量和一般不相等）。根據(jù)方程（2-2），通過坐標(biāo)變換,可建立非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程（分量形式）。系到系的坐標(biāo)變換取為 式（2-2）式中為矩陣，表示系相對于系的轉(zhuǎn)動(dòng)。的逆矩陣等于的轉(zhuǎn)置矩陣，且行列式。為系的坐標(biāo)原點(diǎn)在系中的坐標(biāo)。力的分量變換為： 式（2-3）求式（2-2）對時(shí)間的微商得： 式（2-4） 式（2-5）將式（2-5）和(2-3)的和F代入方程（2-1）得：以左乘上式兩邊得 式（2-6）方程（2-6）就是非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程。在非慣性系中引用慣性力： 式（2-7）則方程（2-6）可寫為 式（2-8） 利用拉格朗日方程也可推導(dǎo)出非慣性系運(yùn)動(dòng)方程,且拉格朗日方程在解決力學(xué)問題上優(yōu)于牛頓運(yùn)動(dòng)定律。另外，對在平動(dòng)/轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系及兩者合成下的任意慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)，以及非慣性系中兩體問題的動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)也有不少研究。[1][5]2.2拉格朗日方程 利用基本形式的拉氏方程,既可以解決慣性系動(dòng)力學(xué)問題,也可以解決非慣性系動(dòng)力學(xué)問題,但在采用基本形式的拉氏方程解決非慣性系動(dòng)力學(xué)問題時(shí),動(dòng)能必須是相對于慣性系的。而非慣性系的動(dòng)能表達(dá)式比較復(fù)雜、計(jì)算困難,為此可通過建立非慣性系中的拉氏方程以尋找解決非慣性系動(dòng)力學(xué)問題的另一種方法[6]。 從第二類拉格朗日方程出發(fā),通過引入慣性力、廣義勢的概念,可以推導(dǎo)出受理想完整約束的有勢力學(xué)系統(tǒng)相對于非慣性系的Lagrange函數(shù)和Lagrange方程,并且還可發(fā)現(xiàn),非慣性系受理想完整約束有勢(包括有勢慣性力)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程與慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程是等價(jià)的[7]。而對于非完整力學(xué)的研究,文獻(xiàn)[8]直接從非慣性系運(yùn)動(dòng)微分方程出發(fā),利用廣義勢的概念導(dǎo)出相對于非慣性系的拉格朗日函數(shù)和第二類拉格朗日方程,從而推導(dǎo)出在非慣性系中指定系統(tǒng)受一階非線性非完整約束時(shí)的拉格朗日方程式,并指出其與受理想完整約束時(shí)的拉格朗日方程式相似。文獻(xiàn)[9]則從非慣性系動(dòng)力學(xué)方程出發(fā),不僅導(dǎo)出非慣性系中的Lagrange方程,還導(dǎo)出Nielsen方程和Appell方程,而且還可以由非慣性系拉格朗日方程導(dǎo)出完整、保守和穩(wěn)定的力學(xué)體系中能量積分的條件和表達(dá)式。這種方法物理意義明確,且處理某些非慣性系動(dòng)力學(xué)也較簡便。3能量問題 在經(jīng)典力學(xué)中運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)的基本守恒定律。在非慣性系中,牛頓第二定律寫成如下形式: 該作者認(rèn)為,在原則上可利用此式解決非慣性系中的問題,但在解決一些復(fù)雜問題時(shí),此種方法顯得較為繁瑣,故此文中探討了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量矩守恒定律和機(jī)械能守恒定律在非慣性系中的推廣表達(dá)式。對此進(jìn)行了推論,導(dǎo)出非慣性系中動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理,以及動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律。另外,也可從各自的角度——質(zhì)點(diǎn)組、定軸勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)體和兩體問題論述了機(jī)械能的守恒。 許多文獻(xiàn)中都論述了非慣性系中機(jī)械能的守恒,但對于是不是在任何情況下,非慣性系中機(jī)械能都是守恒的問題,文獻(xiàn)[10]在引入慣性力等效勢能概念后,討論了在慣性系中機(jī)械能守恒的條件。而文獻(xiàn)[11]則認(rèn)為:非慣性系的坐標(biāo)原點(diǎn)在不變加速度平動(dòng)或作有心加速度平動(dòng),同時(shí)又以不變加速度矢量轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下,如果只有牛頓有勢力和慣性有勢力對力學(xué)系做功,而無牛頓耗散力和慣性耗散力做功,則非慣性系的機(jī)械能是守恒的。文獻(xiàn)[12]從非慣性質(zhì)心系出發(fā),推導(dǎo)了非慣性質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律,從而為上述機(jī)械能守恒條件提供了例證。 對于非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的研究,近些年來,許多文獻(xiàn)給出了各自的論述。而對于單面完整、非完整系統(tǒng),也給出了相對于非慣性系的Noether定理及逆定理。對于單面非Chetaev型非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性與守恒量的研究,可首先利用微分方程在無限小變換下的不變性建立Lie對稱性所滿足的確定方程和限制方程,給出結(jié)構(gòu)方程和守恒量,再來討論系統(tǒng)的Lie對稱逆問題。[13][14]4應(yīng)用研究舉例 對非慣性系的理論研究應(yīng)用最為典型的就是非慣性系中單擺周期的研究,其關(guān)鍵點(diǎn)為引入牛頓力的概念,運(yùn)用牛頓第二定律建立動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程,便可求出各個(gè)物理量。運(yùn)用能量定理及守恒定律解決非慣性系中的比較特殊的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),尤其是指兩質(zhì)點(diǎn)的相對速度問題,比運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方程簡捷和方便得多。對于非慣性系中理想流體的動(dòng)力學(xué)方程問題,在近些年來也有研究。在非慣性系中引入慣性力和等效勢能的概念,或是運(yùn)用非慣性系中流體動(dòng)力學(xué)方程,都可推導(dǎo)出非慣性系中伯努利方程的等效形式,用以解決流體動(dòng)力學(xué)問題。[15]同樣,通過研究發(fā)現(xiàn),在慣性系中適用的阿基米德定律,在非慣性系中也可以用來解決流體動(dòng)力學(xué)問題和流體流溢的邊界條件問題。 另外,對于非慣性系下的旋轉(zhuǎn)葉片系統(tǒng)、平面機(jī)構(gòu)力學(xué)問題、柔性體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題、彈性梁動(dòng)力學(xué)問題以及彈性薄/厚板動(dòng)力學(xué)問題的研究,到目前為止也有較大成就,且在非慣性系下的電磁力學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域,國內(nèi)外一些學(xué)者也有不少發(fā)現(xiàn)。 近幾年國外學(xué)者在直升機(jī)轉(zhuǎn)子等航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)研究中,應(yīng)用的仍主要是非慣性系動(dòng)力學(xué)的理論知識。國內(nèi)也有一些學(xué)者在研究飛行器機(jī)動(dòng)飛行時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,所建數(shù)學(xué)模型也大多根據(jù)第二類拉格朗日方程。5研究展望 對于非慣性系的研究已經(jīng)從傳統(tǒng)的理論教學(xué)擴(kuò)展到實(shí)際生活應(yīng)用領(lǐng)域,從宏觀研究深入到微觀領(lǐng)域。筆者相信,隨著生活領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大,對非慣性系動(dòng)力學(xué)問題的研究會越來越深入,尤其是在軍事、航空航天、外星空探索和量子力學(xué)等領(lǐng)域,對非慣性系下的元器件動(dòng)力學(xué)行為,特別是非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究還有很大的空間。當(dāng)考慮航空和航天飛行器的復(fù)雜機(jī)動(dòng)飛行時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模應(yīng)顧及體和柔性轉(zhuǎn)子的特點(diǎn)。殷切希望此文能給致力于此方面研究的專家學(xué)者一些幫助或啟發(fā)。參考文獻(xiàn)[1]周衍柏.理論力學(xué)教程.高等教育出版社,1986,3[2]鄭曉光.對慣性力的認(rèn)識.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003[3]李天珍.關(guān)于慣性力的討論.彭城大學(xué)學(xué)報(bào),1995,10[4]蘇華,孔令宜.對慣性力和非慣性系中守恒定律的認(rèn)識[J].承德民族師專學(xué)報(bào),1999[5]王振陸.非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程.鎮(zhèn)江師專學(xué)報(bào).1987[6]范寶同.用拉格朗日方法