malab講義之數(shù)值計算功能

第四章MATLAB的數(shù)值計算功能Chapter4:NumericalcomputationofMATLAB一、多項式(Polynomial)`1．多項式的表達與創(chuàng)建(ExpressionandCreatingofpolynomial)(1)多項式的表達（expressionofpolynomial）_Matlab用行矢量表達多項式系數(shù)(Coefficient)，各元素按變量的降冪順序排列，如多項式為：P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an則其系數(shù)矢量(Vectorofcoefficient)為：P=[a0a1…an-1an]如將根矢量(Vectorofroot)表示為：ar=[ar1ar2…arn]則根矢量與系數(shù)矢量之間關(guān)系為：（x-ar1）(x-ar2)…(x-arn)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an(2)多項式的創(chuàng)建（polynomialcreating）a)系數(shù)矢量的直接輸入法利用poly2sym函數(shù)直接輸入多項式的系數(shù)矢量，就可方便的建立符號形式的多項式。例：創(chuàng)建多項式x3-4x2+3x+2poly2sym([1-432])ans=湊x^3-膊4*x^攪2+3*貝x+2趣POLY藥Con察vert局roo西tst彈opo禿lyno它mial蠢.乳低POLY黑(A),照whe懶nA詳isa測nN蓬byN錢mat鏈rix,質(zhì)is析aro頃wve伙ctor測wit跪h爭賄N+1齒elem垂ents亂whi局cha眼ret社hec碧oeff挨icie盤nts坦oft蛙hech作arac全teri龍stic碌pol居ynom咳ial,六DET肌(lam敬bda*遙EYE(或SIZE層(A))慌-A真).尼POLY巖(V),冊whe計nV孕isa涼vec砌tor,退is侄ave攀ctor局who圾see惜leme胖nts步are真這the驗coef熟fici新ents詞of但the市poly癢nomi曉alw項hose館roo脈tsa摔ret榆he鐵絹elem柜ents嶄of掌V.目For頑vect即ors,廊ROO客TSa疑ndP啊OLY悶are辮inve豪rse河然func缸tion淚sof食eac撿hot舟her,俱up勤too棗rder型ing,轎sca瘦ling稅,an帝d蛇鑼roun妥doff梢err區(qū)or.蠶b)組種由根矢量援創(chuàng)建多項共式歷通過調(diào)用矛函數(shù)刮p=po龍ly(a步r)褲產(chǎn)生多項史式的系數(shù)比矢號量期,澇刷再利用郊poly像2sym拳函數(shù)就可酒方便的建嫩立符號形稱式的多項機式。嘩注：潛（故1擋）根矢量處元素為鳳n件，則多項哄式系數(shù)矢曠量元素為灰n+1刷；孟（乘2壤）函數(shù)勢poly丹2sym惰(pa)繳把多項式訊系數(shù)矢量控表達成符親號形式的糊多項式，蔑缺省情況臉下自變量純符號為區(qū)x侵，可以指擔定自變量慚。誘（曉3棋）使用簡此單繪圖函辭數(shù)艱ezpl千ot耐可以直接潤繪制符號彈形式多項漿式的曲線涼。斃例券1伏：由根矢貿(mào)量創(chuàng)建多派項式。將訂多項式炸(綠x-6)支(x-3眾)(x-南8)熊表示為系掙數(shù)形式居a=[6沾3網(wǎng)8]環(huán)%刺根矢量盒pa=p莖oly(等a)也鈔%訂求系數(shù)矢游量垂ppa=百poly核2sym弦(pa)監(jiān)%重以符號形塌式表示原叢多項式誰ezpl煉ot(p后pa,[旱-50,餐50])pa=機腥1架-17輕9驕0-云144昆ppa畏=貴x^3-狀17*x菠^2+9鞏0*x-辦144再注：姓含復數(shù)根以的根矢量冠所創(chuàng)建的趣多項式要悠注意：木（籮1永）要形成相實系數(shù)多中項式，根碧矢量中的豪復數(shù)根必墊須共軛成吉對；碰播拖（喂2猛）含復數(shù)少根的根矢乖量所創(chuàng)建勤的多項式掀系數(shù)矢量共中，可能疑帶有很小逗的虛部，飲此時可采凈用取實部望的命令徒(吸real饑)臭把虛部濾少掉。拼進行多項改式的求根權(quán)運算時，影有兩種方剝法，一是拐直接調(diào)用望求根函數(shù)浩root語s天，型poly頂和巷root羽s辜冬互為逆函織數(shù)。另一浙種是先把仔多項式轉(zhuǎn)殼化為伴隨油矩陣，然貝后再求其等特征值，摘該特征值臘即是多項湯式的根。扶例惰孔3仰：灰杏由給定復齊數(shù)根矢量煌求多項式占系數(shù)矢量位。偉r=[-徐0.5努-0.將3+0.攻4i加-0.3溝-0.4蛇i];嘩p=po歐ly(r焰)致pr=r分eal(淚p)戒ppr=祥poly秀2sym躍(pr)p=是訪1.00曲00早1.逗1000獨椒0.55碗00亭0.誤1250pr=玻細1.00康00夠1.出1000租劣0.55倚00箭0.奸1250門ppr殼=車x^3+搬11/1艘0*x^影2+11詞/20*遺x+1/今8贊c)省特征多項改式輸入法養(yǎng)用散poly鍛函數(shù)可實賣現(xiàn)由矩陣拖的特征多獄項式系數(shù)瞞創(chuàng)建多項點式。霧條件：特踩征多項式肉系數(shù)矢量奴的第一個稈元素必須丙為一。扔例削2測：藏蘇求三階方魯陣醒A碗的特征多端項式系數(shù)暑，并轉(zhuǎn)換杰為多項式脫形式。虧a=[6腿3對8;7沉5息6;姻13貼5]蝶Pa=p賭oly(提a)宏%腦求矩陣的請?zhí)卣鞫囗椃N式系數(shù)矢護量滔Ppa=搏poly販2sym嫁(pa)Pa=則1順.000紹0-用16.0允000拿38蒼.000姐0-裕83.0痰000潮Ppa還=坊x^3-持17*x迎^2+9編0*x-膨144晚注：末n貨廊階方陣的豈特征多項抗式系數(shù)矢針量一定是森n+1滔階的。報注：恐（逢1厭）要形成酬實系數(shù)多榨項式，根弓矢量中的示復數(shù)根必舟須共軛成追對；清捧眠（框2口）含復數(shù)章根的根矢敗量所創(chuàng)建種的多項式赴系數(shù)矢量浩中，可能夢帶有很小告的虛部，本此時可采盾用取實部柏的命令井(蒼real躁)招把虛部濾引掉。予進行多項火式的求根稈運算時，扣有兩種方請法，一是益直接調(diào)用綿求根函數(shù)村root姨s慎，韻poly舍和勿root猶s態(tài)溉互為逆函版數(shù)。另一求種是先把響多項式轉(zhuǎn)和化為伴隨魄矩陣，然怠后再求其磁特征值，偽該特征值勾即是多項訓式的根。糾例滑4醋：濁閑將多項式撇的系數(shù)表庫示形式轉(zhuǎn)聾換為根表陵現(xiàn)形式。游求井x失3瓜-6x誼2業(yè)-72x仿-27上的根拴a=[1企-6勁-7勤2-鑼27]半r=ro窩ots(避a)r=榨1知2.12犬29疑-拾5.73甩45倆-感0.38晴84敲MATL型AB飽約定，多陳項式系數(shù)仙矢量用行勢矢量表示紅，根矢量剝用列矢量我表示。>>向1.我銹多項式的毒乘除運籠算嚴(腿Mult淡ipli狡cati連on痛and航div娛isio劃n稠of饞pol館ynom僑ial)館多項式乘聚法用函數(shù)姥conv雅(a,b狠)集實現(xiàn)誠，惰負除法用函技數(shù)乖deco軋nv(a陵,b)著實現(xiàn)貝。票例明1軌：灣a(s)獎=s塔2題+2s+五3,唉b(s)刑=4s閑2萌+5s+債6,臨計時算芬劣a(s)凍與永b(s鈴)獄的乘積。崖a=[1秘23帖];b=層[45何6];銳c=co每nv(a局,b)剃cs=p披oly2讓sym(第c任,港’蹤s甚’責)c=他另4念13認岔28賞27漆出18cs=學4*s^瞎4+13爆*s^3烏+28*磚s^2+筐27*s捕+18純例拴2汽：攔盯展開遲(宴s擦2算+2s+織2)(s窄+4)(深s+1)純帳（多個多瓦項式相乘賀）暮c=co羽nv([始1,2,耗2],c媽onv(斜[1,4藏],[1封,1])絮)獲cs=p跌oly2砍sym(芝c飲,憲’種s押’屠)最%卸（指定變貞量為帝s凍）c=績尖1逮7鐵短16及18球雷8cs=久s^4+租7*s^秘3+16盾*s^2地+18*銷s+8表例凡2椅：求多項梁式燃s^4+塞7*s^宅3+16毒*s^2宋+18*邁s+8覽分別被飽(丹s+4)啊,(s+蹦3)扯除后的結(jié)杜果。反c=[1糾7勤16勿18謙8];閣[q1,間r1]=擇deco低nv(c納,[1,早4])衣藏%衛(wèi)q笛—哀商矢量援，擠御r謎—字余數(shù)矢量損[q2,肥r2]=象deco尼nv(c淺,[1,性3])謀cc=c珠onv(悅q2,[短1,3]最)籃%店對除握(匙s+3)倘結(jié)果檢驗椒test麗=((c專-r2)池==cc解)q1=繭1卵屈3醉4俯唉2r1=練敞0臉0南賤0劇0頸億0q2=達笑1浸4脅深4旅6r2=形裳00惱迫00劇-1矛0cc=兇阻17滅1定6昏18秘1拌8短test粘=氧托11皮阻11乓棍1怕1縣.豪其他常用袍的多項式包運算命泊令剃(待Othe山rco裳mput蒼atio己nco扒mman施dof靜pol蘭ynom凳ial)幕pa=p健olyv文al(p域,s)歲沸按數(shù)組運利算規(guī)則計和算給定京s場時多項式巧p侵的值。外pm=p農(nóng)olyv鼓alm(也p,s)背振按矩陣運旬算規(guī)則計迷算給定種s突時多項式兄p配的值。肺[r,p使,k]=修r(nóng)esi疏due(捐b,a)抄耀部分分式公展開，喘b,a淹分別是分宣子分母多跪項式系數(shù)石矢量，趣r,p,煎k冠分別是留誓數(shù)、極點爸和直項矢菠量太p=po暖lyfi烘t(x,府y,n)斯羅種用捆n蔽階多項式穗擬合誕x襯，雙y賊矢量給定僵的數(shù)據(jù)?？祊oly財der(碎p)碼螺多項式微輔分。背注：羞劈對于多項銜式眠b(s)紋與不重根貸的復n忘階多項式屢a(s)擔之比，其漁部分分式凝展開為：逆式中：拍p樸1修,p險2杜,刻…巖,p龜n縱稱為極緣點無(pol古es濟)閱，次r慘1鑄,r離2廉,傭…誠,r香n列稱為留埋數(shù)添(res蓄idue避s濤)式，膠k(s)俊稱為直校項饒(dir潮ect負term先s頃)堪，假如急a(s)蓮含有例m澡重根架p秒j德，貍則相應(yīng)部選分應(yīng)寫成嚴：玉RESI昆DUE備Part像ial-腦frac圍tion堡exp送ansi喪on(均resi門dues景).帶尚[R,P令,K]輝=RE舌SIDU濱E(B,破A)固fin梨dst嗚her晚esid男ues,重pol膠esa決ndd塞irec放tte巖rmo報fa耐part建ial錯frac厚tion愈exp朵ansi乞ono龍fth字era翁tio桐oft沈wop隙olyn抽omia消lsB絞(s)/拾A(s)駐.If煉the嘴rea斃ren稿omu鄙ltip掠le出root艷s,賓B(s)煉R(1繼)R(叉2)R(素n)權(quán)----敵=-季----段---茶+--鑄----烤--+娘...騰+-頃----拔---戚+K(土s)監(jiān)A(s岔)霧s-手P(1)至s厲-P伍(2)敲s位-P炸(n)紫Vect矩ors津Ban撐dA泊spec庭ify們the珠coef宰fici突ents灑of樂the障nume靜rato哭r(nóng)an屯dde國nomi同nato驢rpo響lyno溜mial商sin濕des祝cend掙ing擺powe參rso永fs.最Th往ere塌sidu雜es費are豈retu砍rned瘡in遞the遇colu問mnv敘ecto緊rR,和the焰pol計elo始cati克ons劑inc濾olum駁nve漆ctor龜P,斑and躍the今dire納ctt活erms未in則row裙vect海orK舟.Th斧enu合mber慧of賣pole川sis侮n=擠len撇gth(習A)-1勞=l籠engt紛h(R)離=l鬼engt羅h(P)靠.Th貫edi訊rect符ter及mc倘oeff朝icie愛ntv狗ecto董ris臘emp風tyi慮fle僑ngth恒(B)罪<le貿(mào)ngth種(A),曲oth饑erwi毫se季蹤leng鄙th(K易)=茶leng凈th(B柱)-le挖ngth奏(A)+筒1.醬IfP復(j)伏=..節(jié).=襖P(j+皇m-1)兇is省apo宴leo椒fmu跌ltpl奴icit沃ym,莫the含nth勿eex及pans蛇ion牢incl挑udes祝ter豪m(xù)so枯fth方efo陜rm升R(j按)R(摧j+1)蟻R(j脾+m-1其)蕩----剩----昂+-虎----高----捐---塵+規(guī)...泄+--掠----嘗----明--裝s-舅P(j)雅(透s-家P(j)茅)^2吸(s求-P冶(j))市^m衫[B,A派]=決RESI肅DUE(風R,P,蒙K),己with潔3i肉nput漲arg訴umen焦tsa拜nd2產(chǎn)out悔put拒argu心ment債s,c庸onve劣rts械the滑part失ial涼frac嘩tion晚exp暈ansi議onb摧ack久tot統(tǒng)hep遇olyn筑omia俯lsw抓ith氣coef稿fici韻ents國in魯Ban枯dA.舍例勤3障：俘對顫協(xié)(見3x徑4滲+2x慌3著+5x付2紐+4x+厭6)/(鳳x常5餐+3x劉4愛+4x誤3耳+2x委2儀+7x+愈2)亡扁做部分分餡式展開院a=[1樹3以4漲27粗2]斥;脖b=[3得2監(jiān)5僵46宜];楚[r,s餓,k]=濁resi遍due(熟b,a)r=凈1饑.127震4+抵1.15疲13i終1株.127縱4-煮1.15雀13i怨-0屋.023鴨2-命0.07舌22i鋤-0瓦.023糠2+極0.07壁22i急0絲.791劈6s=知-1移.768企0+衰1.26帆73i炒-1隙.768辟0-睛1.26么73i隨0醉.417冰6+味1.11妥30i畏0歐.417潛6-兔1.11激30i中-0盲.299不1k=毯[]親(騰分母階數(shù)蠻高于分子侮階數(shù)時，肆k毫將是空矩渠陣，表示違無此倉項帖)畏例匹5柜：那對一組實英驗數(shù)據(jù)進雕行多項式忍最小二乘類擬銅合君(沫leas螺tsq蘆uare耐fit賠)驚x=[1骨2剖3艦45惰];競%千實驗數(shù)據(jù)撿y=[5斬.5為43.1軌12妥82乓90.7被49鎖8.4]鴨;炒p=po寄lyfi究t(x,嶼y,3)垂%渴做三階多依項式擬合綠x2=1公:.1:耕5;塘y2=p謠olyv私al(p梨,x2)愚;搏%車計根據(jù)給定仔值計算多俘項式結(jié)果拖plot居(x,y概,文’抵o蜂’希,x2,贏y2)遵二、線性呼代瞎數(shù)炊(囑Line盼ar捐Alge匹bra郵)樣解線性方牲程扶(錘Line姨ar判equa筑tion欺)語就是找出悅是否存在霜一個唯一蜂的矩陣熱x卵，來使得我a,b羊滿足關(guān)系錯：姑ax=b句爪或瞎xa=記b栗MALA石B濕中群x=a\種b滅是方程消ax=百b區(qū)的解，安x=b/飛a規(guī)是方程式號xa=b取的解。昨通常線性僵方程多寫盆成料ax=b抽，飼“槍\三”黃較多用，移兩者的關(guān)借系為：舞(b/a謎)棍’蜘=(爐a粥’傅\輕b低’菜)抽系數(shù)矩陣輔a騰可能是叛m蹤行職n綁列的，有蹤三種情況乓：彈*欄方陣系請統(tǒng)攏:勿(燃Squa丘re嚴m(xù)atr滋ix)袖m=n塔可求出精保確解（憲a賢必須是非逝奇掉異訓(non堂sing晚ular瞎)話，即滿睛秩歇(ful倦lra銳nk售)征）慧*原超定系統(tǒng)唐：鋸(謊Over橋dete池rmin撒dsy姐stem碌)彼m>n紋可求出最西小二乘解矩*展欠定系統(tǒng)劑：桿(盼Unde訂rdet幕ermi軍nds字yste子m)啊m<n真可嘗試找時出含有最烤少叮m折個基解或某最小范數(shù)限解耳MATL透AB廈對不同形堤式的參數(shù)肥矩陣，采商用不同的理運算法則滑來處理，招它會自動旅檢測參數(shù)溝矩陣，以邊區(qū)別下面學幾種形式蝶：跟*建三角矩談陣糊(琴Tria離ngul喘arM腹atri布x)鋪*邪對稱正定糞矩莊陣掉(飾symm由etri池cal影posi顯tive例乞dete宇rmin考ed發(fā)mat年rix)擊*哲非奇異方嚴陣灣(尋Nons須ingu遵lar足matr遙ix)稿*濃超定系洲統(tǒng)御(晨Over留dete夏rmin誼dsy偽stem棕)護*睜欠定系惡統(tǒng)駛(伴Unde忍rdet饞ermi成nds帝yste旬m)停方陣系統(tǒng)盟：滑(宰Squa予rea煎rray挺)霧最常見的效是系數(shù)矩曲陣為方陣捏a爬，常數(shù)項姨b敗為列矢量帽,遠其解殼x圾可寫成祝x=a\簽b,x拔和堆b模大小相同輛。盯例宴1該：寇閑求方陣系熟統(tǒng)的根。山a=[1半16微7;健5虜13美9;1財71繩8]候b=[1刑61壁34隱]逮’部x=a\鼓ba=恩義116贈沃7太扒513要犯9秀診171遞拉8b=梯許16托孩13什尾4x=未裳3.97娛63鬼尋5.44詠55噴-它8.63莖03勁例繼2劫：假如棕a,b叛為兩個大茫小相同的廟矩陣，求量方陣系統(tǒng)鈴的根。雀a=[4奸5卻9;夢18葵19統(tǒng)5;1牌4旋13]撒b=[1歸5排12;座3纖15縱19;嘉76留10垃]挨x=a\膏b葵C=a*算xa=諸鞭45岔狠9陽膜1819材柳5女膝14省搜13b=胃咬15乳呆12價慨315花痰19迅輔76莊選10x=烘-填3.67蓮50偵-0.甜7333伍爐2.97峽08豆臺3.72捎501.誘4667卻-類2.12寄92災(zāi)-撒0.32份500.院0667很肚1.19翻58C=率野1.00勾005.蚊0000奸1帳2.00鎮(zhèn)00布為3.00次00遇15.撈0000枝1懷9.00斑00近7.00抹006.值0000許1臘0.00壩00充若方陣熄a揉的各個行磨矢量線性腥相醫(yī)關(guān)穗(lin靜ear吊corr首elat援ion蝕)群，則稱方挑陣論a串為奇異矩恰陣。這時徒線性方程蹈將有無窮腹多組解。強若方陣是臂奇異矩陣惹，則反斜福線運算因旗子將發(fā)出伍警告信息袋。伴2用．超定系盯統(tǒng)犬(脆Over語dete岸rmin域dsy憶stem磁)愚實驗數(shù)據(jù)解較多，尋移求他們的飯曲線擬合梯。合缺如在螺t誦內(nèi)測得一友組數(shù)據(jù)嶄y忌：烏t輔y凍0.0油豎0.8朗2再0.3踢希0.7罵2游0.8算智0.6富30.60候1.6蹲低0.5妖5吹2.2稍買0.5偽0尚這些數(shù)據(jù)慘顯然有衰埋減指數(shù)趨聰勢芽：蕉次y(t竭)~c邊1子+c駛2別e軋-t愿此方程意耗為通y響矢量可以多由兩個矢醫(yī)量逐步逼腹近而得，塞一個是單口行的常數(shù)生矢量，一祝個是由指華數(shù)忽e手-t潑項構(gòu)成，鏡兩個參數(shù)巷c易1泄和脾c鼻2中可用最小甚二乘法求耀得，它們午表示實驗顏數(shù)據(jù)與方群程經(jīng)y(t)素~c忍1就+c績2驚e抗-t龍之間距離副的最小平胳方和。紫例調(diào)1穿：窄尾求上述數(shù)蓋據(jù)的最小扯二乘解。逗將數(shù)據(jù)帶羨入方程式內(nèi)y(t)沙~c涂1灘+c變2后e揚-t君中，可得慕到含有兩貓個未知數(shù)漂的業(yè)6欠個等式，迷可寫集成胖6熊行壁2挺怖列的矩陣放e.顧t=[0輕0.盆30側(cè).8僵1.1泥1.6煉2.發(fā)2籌]拍’姻;況y=[0開.82恭0.7辜20術(shù).63搭0.6圓00白.55暢0.5鈴0叼]刺’狡;蛛e=[o屢nes(借size施(t))兵ex鵲p(-t島)]隔%部求縣6嚴個腔y(t)振方程的系辭數(shù)矩陣江c=e\廟y叉%歡犁求方程的博解e=盾鋼1.00美001.菜0000戶戒1.00爸000.峰7408贈及1.00慮000.惹4493墨蘇1.00鉗000.即3329樓協(xié)1.00痕000.樣2019只浩1.00押000.候1108c=獄鞭0.47絕44游0.34宏34叮帶入方程忠得：核y(t)滑~0.4羊744+騎0.34碌34e鳳-t蒙用此方程徒可繪制曲拖線：芝t=[0剩0.振30否.8攏1.1誤1.6足2.伯2貸]暫’紹;欲y=[0投.82榨0.7齡20秧.63賽0.6炎00鑒.55供0.5蠶0灑]像’戰(zhàn);飾t1=[釋0:0.羨1:2.艱5肝]司’役;y1=遣[one鑒s(si井ze(t面1)),紫exp(聽-t1)豬]*c絹plot鋼(t1,扯y1谷,澇’鄙b放’蜘,t,y五,假’條r陪o己’憤)傾如果一個典矩陣的行禁矢量是線豪性相關(guān)的票，則它的折最小二乘摸解并不唯謊一，因此躁，洪a\b煮運算將給趕出警告，哀并產(chǎn)生含糠有最少元久素的基解彼。喂3那.導欠定系統(tǒng)桌:演(舞Unde蠶rdet蟻ermi既nds商yste立m)伯欠定系統(tǒng)寒為線性相蒸關(guān)系統(tǒng)，丹其解都不何唯一，摘MATL冷AB包會計算一簡組構(gòu)成通婦解的基解受，而方程鍋的特解則陣用畢QR依分解法決若定。剃兩種解法屋：最少元我素解什a\b勸，最小范瓜數(shù)解元pinv認(a)*艇b.術(shù)例：胡民用兩種方川法求解欠朗定系統(tǒng)。鏡對減a青和矢量瀉b浪分別用秘a\b俯和好pinv慰(a)*貨b拍求解飾:值a=[1侮1虹1;興11構(gòu)-1體]覺b=[1幼06諸]領(lǐng)’主p=a\雜b考q=pi憂nv(a粘)*ba=側(cè)劣11袖辱1催尤11組付-1b=鍵破10家葉6p=向拳8.00拋000詠略2.00益00q=榜棋4.00叼00血文4.00呢00雄念2.00忽00柴三巷．蘆扁逆矩陣及部行列寨式返(糠Reve扎rsa侮ndd撇eter克mina飯nto嶼fma攝trix醋)壁1膨．秩芳方陣的逆級和行列式勝(浮Reve蓋rsa厚ndd醬eter醉mina刃nto食fsq踏uare話mat頓rix)踩若沒a依是方陣，噴且為非奇啟異陣，則炒方程逝ax=I染和掠xa=囑I露有相同的搜解跟X經(jīng)。淘X相稱為替a殘的逆矩陣除，記做舉a做-1趨，在所MATL多AB倦中用您inv悼函數(shù)來計編算矩陣的鉆逆。擋計算方陣岡的行列式卡則用涼det瞇函數(shù)。螺DET丟寶Det年ermi譽nant漫.傳DET(砌X)旋is瞎the發(fā)dete夫rmin檢ant怨oft葛hes劑quar逼ema弄trix捕X.他Use踐COND然ins孤tead轟of迎DET左tot屠est卡for卡matr雹ixs就ingu墾lari村ty.勻INV放Mat準rix敬inve稍rse.該INV(凝X)鹽is詠the蓬inve啟rse蔑oft劑hes枕quar占ema少trix民X.A沿war訂ning投mes英sage架is挖prin要ted急ifX糠is掙badl抖ysc側(cè)aled們orn芹earl沖ysin臨gula造r.架例：計算蝦方陣的行吳列式和逆籌矩陣。鼓a=[3復-3章1;者-3計5-控2;1摸-2探1];見b=[1恥41秋35雹;5濾1篩12;6壘14越5]臟;哨d1=d誰et(a卷)批x1=i圈nv(a拆)知d2=d錦et(b娃)時x2=i帽nv(b豬)d1=寧木1x1=露洞1.00思001.零0000腹激1.00腸00暢臟1.00略002.護0000恢側(cè)3.00四00哈受1.00鄭003.業(yè)0000牲稻6.00雖00d2=跨-13哲51x2=萄巾0.12瞞07旨-0.有0037疲-器0.11李18之-于0.03川48焰-0.溝0296窄罷0.10敵58寸-包0.04刊740.良0873青午0.03父77寒2痰．燙討廣義逆矩檢陣（偽逆臭）剖(窩Gene欲rali否zed沾inv卷erse陣mat檔rix)胡一般非方初陣無逆矩罰陣和行列容式，方程梁ax=I藥謀和芝xa=I透至少有一源個無解，缸這種矩陣折可以求得穩(wěn)特殊的逆閉矩陣，成壇為廣義逆瓶矩名陣寫(gen齒eral彩ized破inv仁erse篇mat插rix摩)提（或偽誤逆搜pse歉udoi計nver薪s百e稅）。矩陣序a會mn壟存在廣義昆逆矩陣玉x矩nm櫻，使得烤ax=I甘mn潛，匯MATL犧AB疏用垂pinv在函數(shù)來計饞算廣義逆育矩陣。嗽例差：計算廣啟義逆矩陣學。罩a=[8曬14校;1憶3;厚96棵]貌x=pi此nv(a寒)嗽b=x*胃a乳c=a*鴨x果d=c*鞠a夸%d=a唯*x*a像=a銳e=x*撓c左%e=x畜*a*x較=xa=白衛(wèi)814阿豐13被燦96x=喬-妄0.06兔61米-0.就0402組冰0.17格43濤接0.10隆450.燭0406松-招0.09柴74b=斯握1.00嶺00攜-0.焰0000聾-辦0.00點001.件0000c=恥秋0.93手340.流2472礦騙0.03罪17擱矩0.24尿720.礦0817冒-姻0.11熱77蹲兵0.03區(qū)17服-0.凝1177總修0.98奸49d=麗燈8.00乓00謀14.奉0000逃勉1.00炸003.漲0000撞湊9.00糾006.對0000e=令-頸0.06情61蘭-0.幼0402類乏0.17茅43血0.10電450.事0406肯-礦0.09判74政PINV比甲Pse決udoi噸nver言se.鞠X=凳PINV寇(A)最pro抽duce呆sa然matr層ixX秀of框the殺same對dim表ensi勿ons鏟asA裝'so屢tha徹tA*歷X*A柳=A,景X*A書*X=完Xa叼ndA岡*Xa拉ndX伴*Aa帳reH選ermi舌tian謝.Th鎖eco波mput友atio濫nis修bas療edo汪nSV蒸D(A)士and巷any賴sin猾gula隱rva闖lues芹les糊sth父ana乏tol顆eran每cea摸ret順reat逗eda洲sze籌ro.鞭扒The綿defa皆ult犯tole論ranc競eis棋MAX晴(SIZ參E(A)蘭)*億NORM菌(A)莊*EP盆S.與PINV習(A,T妹OL)農(nóng)uses煤the傭tol疾eran補ceT鏟OLi緣nste棉ado茫fth挎ede斃faul融t.坐四酷．劑添矩陣分禿解槍(辛Matr快ixd業(yè)ecom轟posi范tion步)溫MATL村AB秋求解線性邊方程的過節(jié)程基于三賺種分解法陷則：錘（晴１）而Chol伏esky層分解具，針對對盒稱正定矩龜陣；脊（２）高綿斯消元法知，辰針對一般級矩陣婆；文喪（３）正衰交化唯，散針對一般掏矩陣（行吉數(shù)替≠櫻列數(shù)）烈這三種分靠解運算分炕別由同chol撈,佳lu升和檔qr礙三個函數(shù)訂來分解救.恒Chol胖esky燦分放解段(翠Chol興esky瓦Dec簽ompo序siti婆on)律僅適用于眉對稱和上伐三角矩陣警例：附chol顛esky水分解。鞏a=pa標scal短(6)燙b=ch貧ol(a高)a=哪獨11禍陡11究里11昌己12摟畝34蜓晃56紛序13獸豪610湊巧1521且武14數(shù)優(yōu)1020尊叔3556覽律15較年1535伴盲70才126粒狗16數(shù)雁2156芳1數(shù)26出252b=葛錘11商疊11喝像11正予01捆辟23理卸45轉(zhuǎn)修00姥弟13筐多610揮抗00奶寇01盼邀410慌要00譽阿00摟馳15既0居0恨非00水翠01黃CHOL適抵Cho翅lesk渾yfa義ctor錄izat蠟ion.饑CHOL盆(X)童uses諸onl鼓yth匯edi欠agon偉ala結(jié)ndu牛pper界tri讓angl浴eof唯X.仙The谷lowe夢rtr筐iang撲ular以is屆assu頭med與tob書eth群e(c腰ompl厘exc懂onju粉gate陡)tr線ansp幼ose鬼oft讓heu式pper舊.I拳fX拴isp桑osit國ive剃defi倡nite始,th錦enR城=C莖HOL(卡X)p腦rodu盜ces周anu漿pper笛tri藝angu胳larR甘so均that桃R'*冒R=議X.I洪fX欄isn莫otp聯(lián)osit辮ive磁defi酷nite撓,an貓err棗orm饞essa涌gei其spri總nted白.沉[R,p豎]=孫CHOL垃(X)路,wi征tht姐woo州utpu合tar塔gume淋nts,史nev汪erp障rodu芝ces稼an瘋erro巷rme蔑ssag贏e.筒IfX恭is鎮(zhèn)posi更tive件def鳥init繼e,t戰(zhàn)hen憲pis拘0a美ndR造is類the件same豪as歪abov下e.修But楊if堅Xis水not忠pos磁itiv拜ede翼fini飾te,唐then店pi茫sa泊posi螺tive質(zhì)int惜eger賴.機恒When康Xi拖sfu爬ll,當Ris湯an嶼uppe智rtr隔iang財ular仔mat解rix返ofo毫rder胖q=萄p-1禁蘭sot皂hat食R'*R盤=X柜(1:q家,1:q悉).W衛(wèi)hen姜Xis饞spa搬rse,慮Ri葬san浙upp掏ert仆rian把gula聚rma辜trix暴of牲size押q-b麻y-n趴sot免hat瘡the餓L-sh痰aped奸reg醋ion紙oft膨hef椒irst拉qr分ows語and畫firs剃tq敢colu村mns室ofR笛'*R繳agre礙ewi朗tht填hose成of杰X.聲2朗．有L湯U晉分倘解瞇(束LUf述acto棋riza個tion鄭)鳴.罰用老lu污函數(shù)完成誘LU夜分解，將墓矩陣分解靈為上、下妙兩個三角裕陣，其調(diào)繭用格式為樣：折[l,u戰(zhàn)]=lu額(a)墾l闖代表下三融角陣，兆u問代表上三姑角陣。例：顧LU脂分解。誰a=[4已72伍42趣2;1薦14堂40擋;30謹38彼41]紫[l,u蒙]=lu萍(a)a=誠香4724戒軌22武晚1144沫形0旺差3038床各41l=切春1.00館000正偉0左覆0.23頓401.挖0000朗抓0傘脅0.63革830.注5909致楚1.00漆00u=協(xié)4勒7.00琴00車24.兔0000頑2輝2.00胡00主0詢3武8.38獅30刊-5.繩1489乳0祝0丘30.舍0000性LU歷LU帶fact壁oriz得atio址n.瓣[L,U叮]=鏡LU(X足)轟stor葵esa改nup燭per凍tria定ngul周arm財atri功xin回Ua挽nda而"ps愛ycho矮logi訪call朱ylo綠wer下tria池ngul袍arm更atri木x"(欠i.e.攪ap盈rodu燕cto捏flo這wer熄tria晃ngul藥ara溜ndp液ermu糊tati水onm堪atri廚ces)餡in脾L,s下oth舞atX私=L爆*U.敵Xca姻nbe嬌rec達tang團ular陣.萌[L,U穗,P]驗=LU妥(X)盼ret嫁urns營uni遷tlo腹wer推tria洞ngul附arm拉atri敵xL,畫upp年ert捏rian餓gula糊rma懲trix傅U,體and夫perm慰utat駱ion葵matr魔ixP后so哲that模P*胃X=姐L*U.違3課．掩Q棟R眠分協(xié)解桿(犯Orth逗ogon最al-t奪rian歪gula純rde畝comp預osit柜ion川)它.醫(yī)函數(shù)調(diào)用怒格式：頸[q,r荒]=qr奏(a),笛q爛代表正規(guī)昨正交矩陣蜂，謠r證代表三角踩形矩陣。貍原始陣稀a崖不必一定撈是方陣。少如果矩陣牢a良是純m×n們階的，則是矩陣話q藝是賞m×m韻階的，矩萌陣逮r敗是障m×n那階的。哪例：孔QR黑分解卻.補A=[2骨24父62糟02愈0;3崗03鋸64城64拔4;39到8攔45叮2];絕[q,r陣]=qr鏈(A)q=躲-區(qū)0.40非82暮-0.崖7209欠-羞0.56躲01賴-求0.55槐66佛-0.事2898欄嘴0.77卻86種-詠0.72時360.醋6296銹-楊0.28待29r=亂-5胸3.89建81斤-44.線6027躲-6題6.32化89布-34.軍1014珍0六-3存8.55當64乎0.壯5823破-2被5.90收97禍0支0穗11.憲8800糕2廁2.48圾96暖QR脊Ort藍hogo則nal-首tria拐ngul里ard籍ecom允posi激tion產(chǎn).辰[Q,R銷]=濾QR(A陶)仙prod泥uces基an競uppe孫rtr扒iang叫ular普mat院rix閉Rof柳the劃sam夜e抹挎dime邪nsio路nas及Aa貍nda呼uni勸tary聽mat存rix魄Qso火tha洪tA運=Q*帆R.劈[Q,R捏,E]牲=QR奶(A)普pro需duce棟sa剛perm雅utat蜜ion衡matr摔ixE望,an肚upp枯er字龍tria階ngul諷arR吉and戒au上nita輕ryQ懲so它that燒A*E士=Q快*R.蝕The奔col抱umn隆井perm處utat有ion平Eis巴cho固sen社sot痛hat霜abs(端diag懲(R))瞞is侍decr觀easi心ng.巷[Q,R戴]=乖QR(A控,0)屯pro辱duce部sth蹲e"e接cono昂mys脅ize"歲dec值ompo扛siti璃on.裁IfA貓is爸m-by醉-n監(jiān)with循m>堤n,疊then龜onl薦yth非efi誰rst掛nco緞lumn羅sof袍Qa勁rec昏ompu缸ted.緒4星.巴特征值與帥特征矢請量和(啊Eige匙nval琴ues進and蠻eige淚nvec腥tors幅)腦.量MATL擺AB難中使用函純數(shù)遭eig連計算特征睡值疾和出攔特征矢量單，有兩種菜調(diào)用方法穴：書*量e=ei宅g(a)揀,蠅其中濱e綢是包含特擔征值的矢舊量；弟*航[潮v,d]賢=eig回(a),冬其中顛v絞是一個與隱a稅相同的鄙n×n僅階矩陣，灶它的每一或列是矩陣炭a錘的一個特瘡征值所對愛應(yīng)的特征冷矢量，欲d朝為對角陣亡，其對角定元素即為蟲矩陣艷a慎的特征值器。粘例：計算竹特征值和續(xù)特征矢量錢。藍a=[3抖42熟51緒5;1侮83符59僅;41膛21弟9]諷e=ei柿g(a)杯[v,d氏]=ei歷g(a)a=蟻雕3425逐摘15線逃1835丹墓9寄跨4121仗材9e=暫6沖8.50壇66僻1旨5.51臉22李-鼠6.01地87v=濫-辱0.62障27冶-0.棚4409躬-政0.31榴05切-計0.49飛690.立6786本-落0.07汁17震-麻0.60擺44李-0.漢5875滾朽0.94忍79d=細6殖8.50屋660液富0價0慎1芳5.51沙22協(xié)0昆0則0躁-6.市0187設(shè)EIG濤鏈Eig綱enva機lues剃and模eig光enve恐ctor菠s.全E=眉EIG(堡X)堤is伍ave母ctor湊con升tain植ing鑰the闖eige爬nval浩ues豐ofa書squ父are詳matr隨ixX吉.雙[V,D言]=唯EIG(病X)蛋pro紙duce騎sa蛋diag支onal屬mat涂rix捆Dof請eig策enva假lues勝and鍵af后ull堅matr患ixV陪who誰sec暢olum甩nsa岡ret旅hec唉orre勢spon攏ding黎eig垃enve貫ctor槽sso錫tha孔tX*榴V=寨V*D.膚[V,D挽]=巴EIG(哪X,'n甚obal僑ance凳')深per謠form恥sth訂eco杯mput隊atio商nwi犧thb覽alan跪cing景賄disa葉bled貧,wh底ich簽some窮time絕sgi結(jié)ves竭more雖acc辜urat欣ere抓sult曠sfo那rce駛rtai判n況旺prob例lems庸wit堂hun條usua熱lsc臨alin唯g.I饞fX奧iss束ymme袍tric危,EI臘G(X,始'nob臟alan步ce')囑弟isi秒gnor欺eds地ince每Xi羨sal仔read悔yba牌lanc電ed.易5久.節(jié)眉奇異值分凈解勺.逆(但Sin咸gula踢rva撒lue傍deco接mpos裕itio評n綁)非.底如存在兩票個矢量朵u,v蜓及一常數(shù)吸c軌,裂使得矩陣魔A寫滿足：仍Av=c貿(mào)u,怠A蓬’汪u=cv痕稱名c則為奇異值畏，稱蓄u,v蕉為奇異矢負量。失將奇異值帆寫成對角樂方超陣默∑戚，而相對徒應(yīng)的奇異游矢量作為酷列矢量則東可寫成兩恒個正交矩辦陣旺U想，維V棉，吐談使得說：六識AV=荒U勁∑擠，脫留A拜‘越U=足V嬸∑舉伯鋤因為姥U刃，醬V定正交，所裂以可得奇辭異值表達索式：鍛A=仆U鈴∑遣V懶’挑。凱一個休m非行靠n燙列的矩陣輩A劣經(jīng)奇異值沸分解，可竄求得砍m銜行深m婦列的喬U再,貍m閱行址n長列的矩陣域∑蛾和聾n合行怕n抖列的矩陣宣V障.裹。蓬奇異值分汁解用勸svd談函數(shù)實現(xiàn)節(jié)，調(diào)用格肆式為；惰[u,s筑,v]=影svd(道a)面SVD鞏Sin續(xù)gula悔rva嫩lue蹤deco均mpos嫌itio擴n.換[U,S膊,V]富=SV仍D(X)態(tài)pro灘duce榨sa蝕diag渴onal鉗mat駛rix邪S,o籌fth滋esa糧med在imen好sion蕩as倦Xan盈dwi緊thn纏onne腫gati如ved層iago搜nal宣elem年ents和in造decr廳easi枝ngo凡rder示,an你dun矮itar圣yma硬tric蝕esU好and當Vs遷oth豆atX園=U敲*S*V習'.耽S=索SVD(盈X)招ret勤urns減av償ecto萍rco框ntai鈴ning沉the蘋sin饅gula稠rva煎lues以.歲[U,S蜜,V]蒜=SV藥D(X,燦0)抱pro取duce踩sth盆e"e慚cono襲mys詢ize"論dec針ompo沃siti謝on.霧IfX帝is商m-by家-nw恒ith直m>相n,t忠hen秀only孤the癥fir束stn搬col散umns話of粱Uar睛eco劉mput孤eda穗ndS壁is索n-by允-n.姻例狠：燃扎奇異值分鑼解。研a=[8希5;縮7版3;4駐6];袋[u,s恰,v]=窩svd(籮a)刃%攀s閘為奇異值例對角方陣u=鄰-談0.68歡41茶-0.瞧1826雜-雪0.70劃61問-將0.54泉07喂-0.至5228奉群0.65煌91聚-泳0.48環(huán)950.勺8327逮高0.25漲89s=蹤1鍬3.76紗490急0輪3.08招65炊0滴0v=堅-袋0.81商48淘-0.哈5797葡-捉0.57韻970.膨8148岸程五稠．齡宵數(shù)據(jù)分共析腦(鴉Data洽Ana弟lyai遍a)猜MATL炕AB煉對數(shù)據(jù)分叫析有兩條宋約定：迎（椒1示）店糞若輸入量侵X鎮(zhèn)是矢量，謎則不論是拖行矢量還跨是列矢量科，運算是雙對整個矢想量進行的惑；粱帥（渣2圣）若輸入故量贏X茄是數(shù)組，赤（或稱矩郊陣），則奶命令運算熱是按列進雀行的。即砍默認每個標列是有一識個變量的踐不繡同拼“照觀尤察殺“籃所得的數(shù)玉據(jù)組成繩。級曉1錢.氧基本統(tǒng)計生命柴令餡喝（艘表逝4-炮1親）或例搏：憑詠做各種基必本統(tǒng)計運芬算。膜A=[5丘-10循-6暑0;2猛63亦-3;-終95魚-10采11;-方221搞70詢-19;收-16伴-4燈4]物Amax襲=max撲(A)路咱尾%侮找料A龍各列的最擦大元素疑Amin邊=min夸(A)蝴搖沉%稠找籃A甩各列的最擺小元素院Amed牧=med都ian(農(nóng)A)趴%諸找響A錯各列的中振位元素院Amea跨n=me犁an(A少)助懇%度找雁A災(zāi)各列的平礙均值當Astd劍=std法(A)蝶士鳳%修求陣A驅(qū)各列的標勤準差天Apro澡d=pr破od(A頭)忠伍%啦求悔A援各列元素拆的積資Asum妨=sum壺(A)巧軋濕%急求胖A嫁各列元素訓的和練S=cu爸msum例(A)射秀%框求田A此各列元素我的累積和趙P=cu邪mpro紙d(A)咐號戀%乎求桿A塊各列元素扔的累逼積跡j宰積旗I=so贊rt(A朗)堆%跑使蔬A指的各列元填素按遞增減排列A=決微5賴-10鳥所-60濟薦26北勒3-3擔任-95偏-瞧1011忘-22燦17慨0拍-律19抓繳-16撓粘-44鬼Amax顫=死蘆517沿筐311臘Amin努=探-死22臉-10故-悠10勒-19枝Amed買=逢怠-16炎風-40抱Amea脾n=賺-閘5.00蝕004.尼8000圾-輪3.40怕00辛-1.誠4000橡Astd濟=銅1劣0.83滴979.要6281援北5.07羅94漢11.仰1490才Apro診d=蔬-19席80戀-306制00礎(chǔ)0晚0析Asum材=誼-25變24齒-17矮-7S=義罩5顫-10潔兄-60晴沉7-4紗導-3-3桂器-21欺-酷138倒-熊2418畝-估13富-11怪-太2524出-卸17-7P=冒5缸-激10釋-6哲0堤10鴨-涉60哥-殺18耗0撞-鍛90莫-3惹00祖1況80紹0忽19筋80確-51戒00千0炊0佛-19飾80瞞-306菜00噴0烏0I=危-影22誼-10部-冶10楚-19混偏-95養(yǎng)煤-6-3色-1役6巡-4吉0圈駱26吸馳04室營517幟信311>>惑求矩陣元馳素的最大叉值、最小略值可用：輩Amax鈔=max旋(max股A))盡批或睡Amax驗=max掛(A(:唇))巾，施Ami工n=mi鼠n(mi悟n(A)劫)閘或捷Ami罷n=mi翅n(A(鐵:))及2嫌．協(xié)方差鄙陣和相關(guān)仍陣叨(勁Cova向rian眾cem砍atri息x捐and拖起Corr友elat榮ion辨coef李fici粱ents汗)效.老（霉表明4悠—型2蛾）壓例丹：青災(zāi)計算協(xié)方域差和相關(guān)糧陣。沫x=ra垂nd(1身0,3)買;嬸y=ra腿nd(1挑0,3)染;當cx=c會ov(x摘)房%牌求協(xié)方差似陣憑cy=c項ov(y詢)襖cxy=輕cov(羽x,y)旅翼辯%棉求兩隨機闖變量的協(xié)環(huán)方差閥px=c萬orrc狀oef(轉(zhuǎn)x)柔攤%冷求相關(guān)陣鋪pxy=豐corr勸coef屢(x,y吊)糖%緊求兩隨機費變量的粱（景2×殿2伶）相關(guān)系牲數(shù)cx=徹厭0.04磨83妨-0.枯0066雀毯0.01宅46自-糠0.00漆660.似0283候擾0.01則54能魚0.01波460.惱0154集戲0.09中78cy=黑橋0.11綢770.盼0073站-蝕0.01鋸27豎昆0.00賓730.充0239框-蟲0.02湖30月-或0.01兵27愚-0.君0230仇立0.07竹72逢cxy汪=撒紹0.05繪500.艘0023缺帝0.00犬230.撒0697px=誘壩1.00溫00篩-0.興1783籮饒0.21學18戀-飲0.17繳831.牛0000正坦0.29威34厭津0.21旱180.期2934務(wù)罪1.00營00渴pxy析=觀盆1.00個000.芳0372母鼠0.03鵲721.回0000顏COV竊Cova遍rian足cem埋atri允x.授COV(少X),年if翅Xis而av家ecto麗r,r腸etur止nst逗hev訪aria膜nce.古Fo錫rma哈tric巾es,草wher諸eea躺chr皇owi落san感obs化erva輝tion泥,an系dea集chc詠olum糖na攝vari責able柜,CO壞V(X)伍is匪the稅cova摘rian歲cem紫atri尤x.潑DIAG籃(COV增(X))細哭isa底vec亡tor幸ofv鑄aria鎮(zhèn)nces他for莊eac閑hco可lumn這,an別d強SQRT巧(DIA粘G(CO籮V(X)著))烘is困ave澡ctor豐of喇stan拌dard田dev形iati溝ons.忘COV(丘X,Y)接,抬wher殿eX爽and芝Yar擊eve撇ctor陽sof由equ魚all鵝engt霞h,i商seq胖uiva括lent磨to連COV(獻[X(:撐)Y(墓:)])托.止COV(籍X)o瞇rCO足V(X,腰Y)口nor頓mali拌zes布by(蔬N-1)陰whe乳reN翠is范the使numb長ero區(qū)fob壇serv幅atio衛(wèi)ns.站Thi涌sma決kes山COV(效X)t御heb貞est乓unbi掃ased唱est儲imat脖eof師the遣cov鋼aria拉nce倉matr含ixi惱fth滾eob爸serv傘atio似nsa頓ref齒rom擔ano岔rmal建dis頁trib鑄utio挽n.跌CORR席COEF雷Cor總rela隆tion或coe逮ffic玩ient懷s.束R=CO要RRCO殖EF(X疤)餓calc除ulat賊esa兇mat麗rix狀Rof掀cor寶rela刮tion炒coe掩ffic誤ient心sfo活ran倉arr箏ayX找,in惹whi竟che王ach售row隆isa雄nob課serv壞atio擊nan徐dea闖chc際olum飾nis膀av匠aria駱ble.立R=CO御RRCO鏟EF(X扁,Y),絕whe習reX災(zāi)and栽Ya刑rec副olum燙nve滋ctor紅s,i慕sth償esa目mea葬s陷R=CO體RRCO狐EF([隔XY]聽).瞇If云Cis唯the搏cov俱aria其nce鹿matr春ix,室C=言COV(杜X),婦then地CORR辰COEF勸(X)向is闊the妻matr侮ixw鼠hose專(i,前j)'t榮hel弓emen斷tis巾C(i握,j)/敬SQRT澆(C(i湊,i)*醬C(j,皇j)).催2.咱微分與梯怎度邀(記Diff井eren清cea予nda物ppro攀xima樹ted頓eriv懇ativ憑e匪,拋grad農(nóng)ient窯)略.什(攪表釋4駕—阻3)合例朗1竹：禾按列求微必分。記x=[1穿,10,捷20;2渣,12,岔23;3相,14,建26;3逐,16,敘29]利d=di呆ff(x姓)長%蝦求一階微烏分x=涉將110取蝦20欠堅212蔑狗23簡壺314覽腹26螞出316肉辨29d=題妹12巾投3眨啊12播鄭3金0紹2妹忙3菜例螺2爛：竊近對于（崗u=x狂2侵+y埋2葡和駱Δ跡2挨=4干）佛求注5練點差分。切[x,y體]=me捏shgr籍id(-狐4:4,虛-3:3播);擺u=x.憂^2+y虧.^2熱v4=4約*del咱2(u)倒墓%嘩求德m×n砍階矩陣僅U彩的五點差洪分矩陣u=筍25誠1蒜8勒13名1康09做1嫌0直13翅1歪8雞25沒20霸1材38回墓54受仍58悉1堅3葵20倉17鍬1法05揪勁21手炸25文1牙0請17蠻16詞覺94讀扇10喝步14疲孕9植16嬸17畏1封05來扭21你記25皮1躁0曉17姑20捧1質(zhì)38冷綁54踐叉58壺1融3蘋20特25那1做8呈13峽1暈09襪1溫0稈13膏1判8炕25v4=英4扔4筒希44熊榜44袍掘44危辣4沃4貧4呈趙44倡津44智符44向膊4謀4臭4致飯44漸示44現(xiàn)屆44輸蒙4板4剖4西蘋44沫氣44偏珠44隆陣4燃4朽4扎消44趨具44可忠44感司4危4哭4供惜44末惜44嫌范44露幣4在4插4瓣曉44肌匠44奉農(nóng)44懇誰4白MESH識GRID稼虎Xa獅ndY瓣arr冰ays月for曉3-D縱plot沈s.今[X,陶Y]=項MES調(diào)HGRI臨D(x,煉y)墨tra潤nsfo嘴rms薄the悄doma孤ins陽peci圈fied唐by皆vect吹ors甲努xan泥dy劑into姥arr密ays獵Xan判dY刻that館can菊be爆used釘for燙the殺eva羊luat精ion彼再off棋unct取ions胃of喇two元vari蜜able漁san漂d3-暈Dsu眉rfac買epl誠ots.體詢The扮rows魄of貞the景outp辯uta撞rray盼Xa耀rec經(jīng)opie朽sof董the宗vec砍tor頂xan族d塞鄰the蕉colu羅mns庭oft查heo餓utpu芽tar型ray籍Yar拾eco考pies豆of吧the服vect護ory誦.扮[X,Y依]=鋪MESH亡GRID啊(x)畢is倦ana喚bbre猛viat詳ion粉for亦[X,Y逢]=糕MESH仗GRID駛(x,x蹦).醫(yī)[X,Y總,Z]巨=ME桃SHGR霉ID(x恰,y,z蜓)滾prod畫uces襯3-D馬arr婦ays泉that樸can獸be結(jié)used葵to尾申eval闊uate找fun濕ctio勤nso禽fth跡ree須vari糞able獸san反d3-模Dvo畝lume若tric惠plo旗ts.古DEL2材怎Disc欺rete前Lap昏laci真an.己L=擴DEL2屈(U)愚when根Ui棉sa寸matr鄙ix,晝isa重ndi界scre前tea歇ppro第xima咐tion岡of毯0匠.25*殘del^呀2u材=(d儉^2u/脫dx^2增+d煎^2/d超y^2)徐/4.梨The伯mat姥rix拾Lis咸the虧sam唐esi土zea浩sU查with薄eac基hel食emen結(jié)teq陣ual掩tot壤hed譯iffe露renc彎ebe賴twee寨nan今ele習ment舊of知Uan敵dth夏eav刃erag惹eof錘its屢fou系rne牢ighb統(tǒng)ors.片L=奉DEL2艘(U)妄whe妥nU到isa半nN-深Dar堅ray,芽ret棕urns耐an皺appr殿oxim特atio蔬nof寸蕉(del壁^2u啞)/2/搭nwh汪ere良nis居ndi華ms(u娃).亞L=趴DEL2有(U,H聽),奔whe鬼reH繞is席asc棄alar咳,us啊esH美as元the決spac慨ing唯betw朋een獵糞poin干tsi嶄nea止chd渠irec勒tion縫(H=物1by芽def朽ault弦).鳳L=品DEL2絹(U,H掉X,HY票)朗when魯Ui目s2-班D,u鄭ses將the廢spac威ing推spec蜻ifie奪dby關(guān)HX犯窯and摟HY.閣IfH紋Xis吃as甩cala豐r,i蟻tgi衰ves船the攜spac欠ing疼betw智een件poin旬tsi集n痛醬the燃x-di身rect么ion.報If誼HXi駱sa陸vect奇or,給itm軋ust值beo魂fle鋸ngth焦SIZ脊E(U,俗2)莊格and縮spec腥ifie局sth趨ex-襯coor妨dina竿tes釀oft饞hep稻oint功s.叨Simi襖larl弊y,i誼fHY行曾isa乞sca針lar,艘it傷give眉sth瞇esp業(yè)acin痕gbe穿twee拍npo竭ints極in褲the離彩y-di懇rect工ion.恐If劣HYi博sa考vect膏or,認itm勤ust振beo怕fle孩ngth湖SIZ半E(U,梅1)a視nd獻跑spec獎ifie金sth皆ey-池coor亞dina逃tes蝴oft梁hep詳oint滑s.瘦L=德DEL2建(U,H服X,HY蛾,HZ,佩...)刪whe綢nU瓦isN出-D,廈uses賊the輪spa吼cing冒giv鈔enb扇y秧殲HX,看HY,既HZ,芝etc.默例宇3要：產(chǎn)生一衫個二元函泥數(shù)偏導數(shù)旨和梯度。切x=-2只:0.2拳:2;盡y=-2巴:0.2方:2;廟[xx,蒼yy]=騰mesh評grid漿(x,y希);供z=xx吊.*ex丙p(-x錢x.^2稱-yy.矮^2);像[Gx,濕Gy]=刊grad玩ient鳳(z,0臭.2,0紗.2);摩財%Gx,活G護y啦分別是二幼元函數(shù)的葉偏導抹cont投our(猛x,y,聰z,'k牽'),h稀old誠on,賄quiv朱er(x濾x,yy幣,Gx,談Gy,'惑r'),扣hold掉off蔥DIFF屋Diff屆eren岔cea本nda所ppro今xima伴ted立eriv口ativ艦e.耀DIFF劑(X),憶for僚ave臥ctor悟X,吸is[丙X(2)雕-X(1或)X引(3)-桿X(2)拖...壩X(n捉)-X(悼n-1)嘆].幣DIFF憲(X),妻for膽ama廈trix蛛X,壞ist父hem嚷atri雀xof筑row賢dif選fere險nces磁,耍[X(殿2:n,永:)-盞X(1有:n-1槽,:)]放.陜DIFF引(X),督for到anN龍-Da壁rray翼X,柜ist緒hed輪iffe畏renc洽eal多ong結(jié)the戴firs封t焰non肚-sin線glet議ond爺imen哲sion乏of條X.六DIFF罪(X,N衰)逢ist費heN屠-th意orde壁rdi檢ffer盾ence室alo佳ngt代hef季irst萬non穿-sin脫glet梨on乞dim昌ensi鹿on(染deno疤tei幕tby姜DIM事).I雜fN農(nóng)>=s角ize(美X,DI晶M),砍DIFF草tak梯es帝suc會cess病ive賞diff盆eren皮ces胡alon們gth沃ene鐘xtn暑on-s昏ingl體eton它dim炸ensi狼on.賞（它[FX,犯FY]味=GR慣ADIE毅NT(F竭,HX,賴HY)歌,瘦whe松nF固is2勁-D,啞uses摩the涌spa顯cing咱spe離cifi塊edb觸yHX暫and學HY.訴HX懷and闊HYc窮ane蜻ithe葉rbe賄sca則lars份to甩spec打ify現(xiàn)the損spa紹cing笨bet種ween摧coo羞rdin院ates示or盲vect瓜ors肝tos招peci崖fyt薄hec亞oord瘡inat仁eso古fth蝦epo決ints斤.I壺fHX碎and溜HY做are舉vect蠶ors,隨the浙irl景engt頌hmu騾stm洋atch賄the劍cor危resp幫ondi調(diào)ngd并imen該sion連of化F爽.低）介（榨QUIV翁ER(X邊,Y,U譜,V)孔plo籍tsv考eloc店ity荷vect蜻ors掀asa攔rrow切swi琴thc侮ompo賓nent愁s(u敢,v)油殊att承hep臉oint寸s(x織,y).污Th塊ema翁tric裳esX纖,Y,U索,Vm盲ust洽all陷bet遠hes糧ame洗size該仁and脅cont踐ain酬corr遇espo常ndin科gpo打siti狀ona票ndv勒eloc爐ity廳comp料onen令ts(謊Xan覺dY橫華can失also啦be轉(zhuǎn)vect槳ors腸tos幼peci箭fya京uni票form訂gri炎d).闊QUI沖VER饑auto芒mati壇call誤y肥scal固est曾hea搶rrow患sto音fit考wit溉hin戴the鑄grid零.鼠）恥GRAD挎IENT序App采roxi跟mate忍gra僵dien斤t.陡[FX,年FY]封=GR高ADIE惹NT(F們)果retu蓬rns最the優(yōu)nume鹿rica初lgr野adie薯nto時fth役e孟膝matr屠ixF躺.FX舌cor酷resp上onds喪to塊dF/d汗x,t絲hed流iffe磨renc快esi芽nth獸e剩峰x(c寇olum惡n)d粒irec槐tion騙.FY腳cor箭resp主onds基to冬dF/d煤y,t閱hed教iffe株renc烤es昏半int曾hey丈(ro牌w)d懷irec釣tion婆.Th認esp吊acin蠟gbe咸twee臂npo偉ints匠in逮each濃宵dire江ctio經(jīng)nis智ass健umed形to奔beo奉ne.針When隨Fi咬sa擁vect谷or,貌DF=子守GRAD津IENT旁(F)海is勝the窯1-D鳳grad權(quán)ient扇.閃[FX,忌FY]魂=GR雪ADIE荒NT(F軋,H)顯,wh婆ere意His蝶as悶cala刻r,u減ses回Has速the家盾spac貝ing鉛betw身een痕poin置tsi蹲nea拾chd喂irec倒tion牲.緞[FX,姿FY]瓦=GR巴ADIE群NT(F夾,HX,撇HY),追愿when貢Fi兔s2-翠D,u桿ses荷the咽spac息ing診朝spec嶺ifie圾dby毀HX塌and悟HY.袖HXa獸ndH留Yca講nei臣ther穴be化scal研ars險tos附peci油fy愁固the稼spac肺ing糧betw雖een獲coor曬dina爸tes衰orv綱ecto勉rst謙osp解ecif返yth免e續(xù)揚coor握dina廚tes債oft巧hep柔oint鴿s.好IfH緊Xan昏dHY叔are跡vec倒tors化,th響eir阿leng搞th竟唯must既mat劍cht悅hec裝orre助spon量ding統(tǒng)dim踢ensi釘ono騎fF.模六窯．繼望插值錫:街(車Inte懂rpo