初二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)和典型例題總結(jié)

全等三角形類型一：全三角形性質(zhì)應(yīng)用、如圖，△≌△，，寫出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.思路點(diǎn)撥:，和是對(duì)應(yīng)邊，∠A公共角，∠A和∠A是對(duì)應(yīng)角，按對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊可求解解析：是對(duì)應(yīng)邊，和、和是對(duì)應(yīng)邊，∠∠對(duì)應(yīng)角，∠B∠，∠和∠是對(duì)應(yīng)角總結(jié)升華：知兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，那么以這兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角，第三對(duì)角是對(duì)應(yīng)角；再由對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，可找到對(duì)應(yīng)邊.已知兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊，第三對(duì)邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角舉一反三：【變式1】如圖，△≌△問線段和相等嗎？為什么？1/21【答案】證明：由△≌△，得，則，即?！咀兪?】如右圖，求證：∥【答案】∴∥

，。、如圖，已知Δ≌Δ，∠°，∠50°，2求∠的度數(shù)與的長。思路點(diǎn)撥:由全等三角形性質(zhì)可知：∠∠，，所以只需求∠的度數(shù)與的長即可。解析：Δ中，∠°∠∠，又∠°，∠50°，所以∠.又因?yàn)棣ぁ咋ぃ?/21所以∠∠，（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等）。所以∠?？偨Y(jié)升華：等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。舉一反三：【變式1】如圖所示，Δ≌Δ，Δ≌Δ，∠90°.求證：（）⊥；（）∥【答案】）因?yàn)棣ぁ咋?，所以∠∠（全等三角形的?duì)應(yīng)角相等）因?yàn)椤稀?，所以∠?0°所以⊥）因?yàn)棣ぁ咋?所以∠∠（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）因?yàn)椤稀?，所以∠∠°因?yàn)椤稀闼浴稀?3/21所以∥類型二：全三角形的證、如圖，＝，＝，∠＝∠，求證：△≌△．思路點(diǎn)撥:欲證△≌△，由已知可知已具備一邊一角，由公理的條件判斷還缺少這角的另一邊，可通過＝而得解析：＝已知∴＝等式性質(zhì)即＝在△與△中∴△≌△()總結(jié)升華：用全等三角形證明線段(角相等的一般方法和步驟如下：找到以待證角線段為內(nèi)角(的兩個(gè)三角形，證明這兩個(gè)三角形全等；由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段相等．舉一反三：【變式1】如圖，已知∥，＝，求證：∥【答案】∵∥∴∠3＝∠4在△和△中4/21∴△≌△()∴∠1＝∠2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等∴∥(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行【變式2】如圖，已知⊥于B，⊥于C，且＝，＝．求證＝．【答案】∵⊥(已知)∴∠＝°垂直定義)同理可證∠＝°∴∠＝∠∵＝，＝∴＝＝＝在△和△中∴△≌△．．S)∴＝(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等類型三：綜合應(yīng)用5/21、如圖，為Δ的中線。求證：思路點(diǎn)撥:要證>，由圖想到：>，所以，所以不能直接證出。由到構(gòu)造一條線段等于，即倍長中線。解析：長至，使，連接因?yàn)闉棣さ闹芯€，所以在Δ和Δ中，所以Δ≌Δ所以在Δ中，，所以>2.總結(jié)升華：過構(gòu)造三角形全等，將待求的線段放在同一個(gè)三角形中。舉一反三：【變式1】已知：如圖，在Δ中，,∠90°∠1=∠⊥的延長線于E，求證：【答案】分別延長、交于因?yàn)椤退浴稀?0°.在Δ和Δ中，6/21所以Δ≌Δ所以.又因?yàn)椤稀恪退浴稀稀?，?+∠90°，∠1+∠90°所以∠∠在Δ和Δ中，所以Δ≌Δ()所以.所以2.、如圖，＝，＝，∠B∠，求證：＝，∥，(3)＝∠思路點(diǎn)撥:直接通過△≌△而得，先證明∠＝∠，(3)(1)(2)可證明△≌△而得，總之，欲證兩邊角)相等，找這兩邊角所在的兩個(gè)三角形然后證明它們?nèi)龋馕觯涸凇髋c△中7/21∴△≌△∴＝全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)∵∠＝∠全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∴∥內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)在△與△中∴△≌△()∴∠＝∠全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)總結(jié)升華：復(fù)雜問題中，常將已知全等三角形的對(duì)應(yīng)角(作為判定另一對(duì)三角形全等的條件．舉一反三：【變式1】如圖，在△中，延長邊上的中線到，使＝，延長邊上的中線到，使＝，求證＝．【答案】在△與△中8/21∴△≌△()∴＝(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在△與△中∴△≌△()∴＝(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等∴＝(等量代換)、如圖，⊥于，⊥于E，、相交于F．求證：平分∠．思路點(diǎn)撥:若能證得得，由于∠、∠都是直角，可證得△≌△，而要證，就應(yīng)先考慮△與△，由題意已知，∠是公共角，可證得△≌△．解析：△與△中∴△≌△()∴全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)9/21在△與△中∴△≌△()∴∠∠(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等∴平分∠角平分線的定義)總結(jié)升華：件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)需要通過多次三角形全等得出待求的結(jié)論。舉一反三：【變式1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【答案】根據(jù)題意，畫出圖形，寫出已知，求證．已知：如圖，在△與△A′′中．′′，′C′，⊥于D′′⊥′′于′且′′求證：△≌△A′B′C′證明：△與△′′′中∴△≌B10/21()∴∠∠B′(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等在△與△′′C中∴△≌△′′C()【變式2】已知，如圖，、相交于，，∠＝∠＝90°求證：【答案】∵∠∠°∴△、△為直角三角形在△和△中∴△≌△()∴在△和△中∴△≌△()∴．、⊿中，，D是底邊上任意一點(diǎn)，⊥，⊥，⊥垂足分別是11/21E、試判斷：猜測線段、、的數(shù)量有何關(guān)系？并證明你的猜想。思路點(diǎn)撥:求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑解析：論：方法一：（截長法）板書此種方法（鐘）作⊥于∵⊥，⊥，⊥∴四邊形是矩形∴∠∠B∵∴∠∠∴∠∠而⊥，⊥∴∠∠在⊿和⊿中12/21∴⊿≌⊿（）∴總結(jié)升華：方法二（補(bǔ)短法）作⊥交的延長線于（證明過程略）總結(jié)：截長補(bǔ)短的一般思路，并由此可以引申到截長法有兩種截長的想法方法三（面積法）使用等積轉(zhuǎn)化引申：如果將條件“底邊上任意一點(diǎn)”改為“是底邊的延長線上任意一點(diǎn)”，此時(shí)圖形如何？、和會(huì)有怎樣的關(guān)系？畫出圖形，寫出你的猜想并加以證明13/21舉一反三：【變式1】三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)腰上的距離和等于腰上的高?！敬鸢浮孔C明的過程使用三種證明方法，包括：（截長法（）補(bǔ)短法（3）面積法軸對(duì)稱考點(diǎn)、關(guān)“軸稱圖”與軸對(duì)”的識(shí)典例1．下列幾何圖形中，線段

角

直角三角形

半圓，其中一定是軸對(duì)稱圖形的有（）．1．2．3D42正n形有條對(duì)稱軸，圓有條對(duì)稱軸考點(diǎn)、軸稱變及用標(biāo)表軸對(duì)典例：、如圖，△，∠90°∠30°，D中點(diǎn)，P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接、則的最小值是

A

F2已知等邊，E的延長線上，平分∠，P為射線上一點(diǎn)，

B

QP

E上一點(diǎn)，連接、若，求證∠是多少度考點(diǎn)四、線垂直平分線性質(zhì)14/21ACAGACAG線段是軸對(duì)圖形，它的稱軸是線段的垂直分線上的點(diǎn)相等

歸類回憶角分線的性質(zhì)⑴角是軸對(duì)圖形，其對(duì)軸是⑵角平線上的點(diǎn)相等典例1、如圖，△中，∠°，為∠平分線，⊥，E的中點(diǎn)，求∠度數(shù)。2如圖，△中，，，連并延長交于，求證：垂直平分AAB

PE

B

D

E

DA

D

C

B

C3如圖是中邊的垂直平分線，若8米，10厘米，則周長為（）

的A.16厘米B.18米米米4如圖，∠30°，P∠平分線上一點(diǎn)，∥，⊥，28,

則5如圖，在△中，∠=90°，∠的平分線交D.作⊥于G，交于E.D作⊥于F.下列結(jié)論：B

過A

M

C

A①∠∠；②

︰

︰；③∠2∠；15/21

C

ED

GFBEE④

CED

DFB

；⑤中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①③④B．①②⑤．③④⑤．①③⑤考點(diǎn)、等三角的特和識(shí)典例1、如圖，△中，，D上，過∥交于，∥交于F，則四邊形的周長為。A2如圖，△中，、分別平分∠與∠，DD

B且∥，若=，=，=，則eq\o\ac(△,周)eq\o\ac(△,)長為)A.15B.14C.13D.18

CD

F

NBA3如圖點(diǎn)、、上、E上，且,則∠度．

CEM已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是△中，的垂直平分線，交于，是的垂直平分線，交于，若∠20°，則∠等于°6從一個(gè)等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于16/217已知，在△中，∠90°，點(diǎn)、E直線上，且，，則∠=度A

8如圖：在△中，，⊥，⊥于點(diǎn)E,⊥于點(diǎn)。試說明。E

FB

D

C9如圖在△的邊的延長線上，在邊上，交于點(diǎn)，，

A求證：△是等腰三角形.

DB

F

CE17/21考點(diǎn)、等三角的特和識(shí)等邊三角形各相等，各等并且每一角都等于三個(gè)角相等三角形是三形⑶有一角是60的三角形是等三角形特別的：等三角形的中、高線、角分線典例1、下列推理中，錯(cuò)誤的是()A∵B∠∴△是等邊三角形B∵＝，且＝∠，∴△是等邊三角形C．∵°，60，∴eq\o\ac(△,是)eq\o\ac(△,)等邊三角形D．∵＝，∠＝60°，∴△是等邊三角形2如圖，等邊三角形中，D是的中點(diǎn)，E延長線上一點(diǎn)，且＝，⊥，垂足為。求證：的中點(diǎn)。

AB

DMC

E考點(diǎn)七、°所對(duì)的角邊是斜邊一半18/21ABDABEABDABEBC典例B1如圖，是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)斜梁的中點(diǎn)，立柱、垂直

A

E

于橫梁，8m，∠30°，則等于（）A1mB．C．2如圖：△中，∠A=15°，∠90°，B的

A

．4mB

垂直平分線上，，則=()A.15B.17C.16D.以上全不對(duì)3一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知，C00=30，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度∠剛好為°，求桌面到地面的距離是多少？

A

BO

A

F

C

乙

DB

第4

C甲4如圖，，⊥于E⊥于，∠1206則

C5在

△ABC

中，

AC，120

，的垂直平分線交

于點(diǎn)，交于點(diǎn)．如果，求的長實(shí)數(shù)19/2144例1、（）下列各數(shù)是否有平方根，請(qǐng)說明理由①（-3）

②0

③-0.01（）列說法對(duì)不對(duì)？為什么？①4一個(gè)平方根②

只有正數(shù)有平方根任何數(shù)都有平方根若a＞0，兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)解：（））2和2平方根，因?yàn)椋?3）22非負(fù)數(shù)。0.012沒有平方根，因?yàn)?.012負(fù)數(shù)。（）只有④對(duì)，因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。例2、求下列各數(shù)的平方根：1(1)9(2)(3)0.36(4)

169例3、設(shè)A.C.

，則下列結(jié)論正確的是（）B.D.解析：（估算）因?yàn)?，所以選B【變式1】1）1.25的算術(shù)平方根是；平方根是.2）-27立方根是）【答案】）

，；

，..2）），

，【