向量的運(yùn)算法則

（1）實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算法則：設(shè)、為實(shí)數(shù)，則有：1）結(jié)合律：。2）分配律：，。（2）向量的數(shù)量積運(yùn)算法則：1）。2）。3）。（3）平面向量的基本定理。是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任何一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足。（4）與的數(shù)量積的計(jì)算公式及幾何意義：，數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積。（5）平面向量的運(yùn)算法則。1）設(shè)＝，＝，則+＝。2）設(shè)＝，＝，則-＝。3）設(shè)點(diǎn)A，B，則。4）設(shè)＝，則＝。5）設(shè)＝，＝，則＝。（6）兩向量的夾角公式：（＝，＝）。（7）平面兩點(diǎn)間的距離公式：＝（A，B）。（8）向量的平行與垂直：設(shè)＝，＝，且0，則有：1）||＝。2）（0）·＝0。（9）線(xiàn)段的定比分公式：設(shè)，，是線(xiàn)段的分點(diǎn)，是實(shí)數(shù)，且，則（）。（10）三角形的重心公式：△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則△ABC的重心的坐標(biāo)為。（11）平移公式：。（12）關(guān)于向量平移的結(jié)論。1）點(diǎn)按向量＝平移后得到點(diǎn)。2）函數(shù)的圖像按向量＝平移后得到圖像:。3）圖像按向量＝平移后得到圖像:，則為。4）曲線(xiàn):按向量＝平移后得到圖像:。

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量（沒(méi)有方向），記作a·b。若a、b不共線(xiàn)，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定義有：cos〈a，b〉=a·b/|a|·|b|）；若a、b共線(xiàn)，則a·b=±∣a∣∣b∣。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a·b=b·a（交換律）(λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的數(shù)量積的性質(zhì)a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因?yàn)?≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1．向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。2．向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。3．|a·b|與|a|·|b|不等價(jià)4．由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。5、向量的向量積定義：兩個(gè)向量a和b的向量積\o"查看圖片"

向量的幾何表示（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b（這里“×”并不是乘號(hào)，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線(xiàn)，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b垂直，則a×b=0。向量的向量積性質(zhì)：∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。a×a=0。a垂直b〈=〉a×b=0向量的向量積運(yùn)算律a×b=-b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量沒(méi)有除法，“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的。6、三向量的混合積定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，\o"查看圖片"

向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合積具有下列性質(zhì)：1．三個(gè)不共面向量a、b、c的混合積的絕對(duì)值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=εV（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)ε=1；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)ε=-1）2．上性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=03．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4．(a×b)·c=a·(b×c)\o"查看圖片"

7.例題正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相連，L是EH中點(diǎn)，求證LB⊥GK？設(shè)AE=a﹙向量﹚,AG=a',AD=c,AB=c',CH=b,CK=b'有aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'c'.b'c=-bc'﹙*﹚FH=-a+c+c'+bLB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2,GK=-a'+c'+c+b'從﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0.∴LB⊥GK8、三向