第二節(jié)配方法和初等變換化二次型_第1頁
第二節(jié)配方法和初等變換化二次型_第2頁
第二節(jié)配方法和初等變換化二次型_第3頁
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第二節(jié)將n元實二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過可逆的線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;

2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形解例1含有平方項去掉配方后多出來的項所用變換矩陣為解例2由于所給二次型中無平方項，所以再配方，得所用變換矩陣為思考題解答用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形由第一節(jié)內(nèi)容可以知道任何一個二次型都可以表示成矩陣形式然后，經(jīng)過某個坐標(biāo)變換可以將它的二次型矩陣變成對角矩陣。其中矩陣A是對稱矩陣，即AT=A。我們知道，任何一個可逆矩陣都等于一系列的初等矩陣的乘積一系列的合同運算經(jīng)過一系列的合同運算使矩陣A變成對角矩陣D矩陣A右乘pi和左乘之間的關(guān)系如何？先來看AE(i,j)相當(dāng)于對A作初等變換:i列與j列交換ET(i,j)A相當(dāng)于對A做初等變換：i行與j行交換，初等矩陣有六種（三類）。AE(i(k))相當(dāng)于對A作初等變換:i列乘以k。ET(i(k))A相當(dāng)于對A作初等變換:i行乘以k。AE(i,j(k))相當(dāng)于對A做初等變換：A的第j列加第i列的k倍ET(i,j(k))A相當(dāng)于對A做初等變換：A的第j行加第i行的k倍所以，上述一系列的合同運算可以通過矩陣的初等變換實現(xiàn)，對二次型矩陣A進行一次初等列變換，再對A做一次相應(yīng)的初等行變換。直到變A為一個對角矩陣。這樣就求得二次型F的標(biāo)準(zhǔn)型。其中D是對角矩陣是使A對角化的合同矩陣。單位矩陣E經(jīng)過一系列的初等列變換得到C。以上分析告訴我們，可以通過以下步驟得到變換矩陣C以

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