2023屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期五調(diào)考試數(shù)學(xué)試題

—2023衡水中學(xué)下學(xué)期高三年級五調(diào)考試數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．2．某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該企業(yè)的營銷部門和研發(fā)部門抽取部分員工體檢．已知該企業(yè)營銷部門和研發(fā)部門的員工人數(shù)之比是4:1，且被抽到參加體檢的員工中，營銷部門的人數(shù)比研發(fā)部門的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是A． B． C． D．3．已知，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)A． B． C． D．4．在正方形中，分別是邊上的點(diǎn)，，，則A． B． C． D．5．李明開發(fā)的小程序發(fā)布經(jīng)過天后，用戶人數(shù)，其中為常數(shù)．已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為(取A．31 B．32C．33D．346．在棱長為4的正方體中，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)（包括邊界）．若平面，則的最小值是A． B． C． D．7．若數(shù)列對任意正整數(shù)，有(其中，為常數(shù)且，則稱數(shù)列是以為周期，以為周期公比的類周期性等比數(shù)列.已知類周期性等比數(shù)列的前4項(xiàng)為1，1，2，3，周期為4，周期公比為3，則的前25項(xiàng)和為A．3277 B．3278 C．3280 D．32828．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn).現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，且若，則的離心率為A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．設(shè)為正實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則10．若的三個(gè)內(nèi)角均小于，點(diǎn)滿足則點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，向量滿足，且，則的取值可以是A． B． C． D．11．“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和，則下列說法中正確的是 A． B．在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大 C．記“楊輝三角”第行的第個(gè)數(shù)為，則 D．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為12．已知函數(shù)，則 A．是奇函數(shù) B．的最大值大于 C．， D．，第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)命題，.若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上的一點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，且，則.15．已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最小值為.16．半正多面體亦稱“阿基米德體”或“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．某半正多面體由4個(gè)等邊三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示．已知，若在該半正多面體內(nèi)放一個(gè)球，則該球表面積的最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分） 已知數(shù)列滿足，，且成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若求數(shù)列的前項(xiàng)和.

18．（12分） 如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的，位于該市的某大學(xué)與市中心的距離km，且.現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)，其中，，km．（1）求大學(xué)與站的距離；（2）求鐵路段的長.19．（12分） 如圖，三棱錐和三棱錐均為棱長為的正四面體，且四點(diǎn)共面，記直線與的交點(diǎn)為（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）某校組織甲、乙、丙、丁、戊五位學(xué)生參加某大學(xué)的測試活動(dòng)，現(xiàn)有A，B兩種不同的測試方案，每位學(xué)生隨機(jī)選擇其中的一種方案進(jìn)行測試．選擇A方案測試合格的概率為，選擇B方案測試合格的概率為，且每位學(xué)生測試的結(jié)果互不影響．（1）若甲、乙、丙三位學(xué)生選擇A方案，丁、戊兩位學(xué)生選擇B方案，求恰有三位學(xué)生合格的概率；（2）若測試合格的人數(shù)的均值不小于3，試寫出選擇A方案進(jìn)行測試的學(xué)生的人數(shù)．21．（12分）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長．某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖①）．步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停地重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕（如圖②）．已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓．若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)所在的直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線，與（1）中的橢圓交于兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線的斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請說明理由．22．（12分） 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7．A 8．C二、選擇題9．AC 10．AB 11．AC 12．BCD三、填空題13． 14． 15． 16．四、解答題17．解：（1）因?yàn)?所以 又，所以 即，所以是公比為的等比數(shù)列．（2分） 又成等差數(shù)列，所以 所以， 解得（4分） 所以（5分）（2）由（1）可知，所以（6分） 所以 （10分）

18．解：（1）在中，，，且，，由余弦定理，得 所以，所以大學(xué)與站的距離為km.（4分）（2）因?yàn)?，且為銳角，所以在中，由正弦定理，得即， 解得（6分） 由題意知為銳角，所以 所以 因?yàn)樗裕?所以（8分） 又所以 在中，由正弦定理，得 即，解得（11分） 所以鐵路段的長為km.（12分）19．（1）證明：如圖，連接與的交點(diǎn)為，連接 因?yàn)槿忮F和三棱錐均為棱長為的正四面體， 所以，，， 則， 則， 所以， 所以（2分） 由題意知四邊形是菱形，則 因?yàn)椋矫妫?所以 又平面，所以平面平面（4分）（2）解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則平面 又三棱錐是正四面體，所以是的中心． 在中， 在中， 又，所以， 所以 由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，（6分） 所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，， 故， 設(shè)平面的法向量為， 則，即令， 則，，得平面的一個(gè)法向量為（7分） 設(shè)平面的法向量為，則， 即令，則，，得平面的一個(gè)法向量為（9分） 設(shè)二面角的平面角為， 則（11分） 所以 故二面角的正弦值為（12分）20．解：（1）若選擇A方案的三人全部合格，則所求概率 若選擇A方案的三人中有兩人合格，則所求概率 若選擇A方案的三人中，只有一人合格，則所求概率 所以恰有三位學(xué)生合格的概率（6分）（2）設(shè)選擇A方案測試的學(xué)生人數(shù)為 則選擇B方案測試的學(xué)生人數(shù)為并設(shè)通過A方案測試合格的學(xué)生人數(shù)為， 通過B方案測試合格的學(xué)生人數(shù)為， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)所有學(xué)生均選擇B方案測試，則 所以，不符合題意； 當(dāng)時(shí)，此時(shí)所有學(xué)生均選擇A方案測試，則 所以，符合題意；（9分） 當(dāng)時(shí)，， 所以（10分） 又， 則，故當(dāng)時(shí)，符合題意．（11分） 綜上，當(dāng)選擇A方案測試的學(xué)生人數(shù)為時(shí)，測試合格的人數(shù)的均值不小于3．（12分）21．解：（1）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意知 所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，（2分） 所以，，則 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4分）（2）由題意，設(shè)的方程為，， 聯(lián)立得 則，（7分） 將式代入上式， 可得（9分） 要使為定值，則， 即又，所以，此時(shí)（11分） 所以存在點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值（12分）22．解：（1），則 當(dāng)時(shí)，令，解得， 令，解得， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2分） 當(dāng)時(shí)，令，解得； 令，解得； 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（