初中數(shù)學(xué)四邊形圖形變換專項習(xí)題

四邊形圖形變換專項習(xí)題、綜合題（共17題；共203分）1.類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，請看下面的案例.（1）如圖1，已知4ABC，分別以AB、AC為邊，在BC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.通過證明^ADC^△ABE，得至UDC=BE；（2）如圖2,四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點，順次連接E、F、G、H,得到四邊形EFGH,我們稱四邊形EFGH為四邊形ABCD的中點四邊形，連接BD,利用三角形中位線的性質(zhì)，可得EHIIBD,EH= BD,同理可得FGIIBD,FG=BD,所以EHIIFG,EH=FG,所以四邊形EFGH是拓展應(yīng)用①如圖3,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA=PB,PC=PD,NAPB=NCPD,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點，猜想四邊形EFGH的形狀，并證明；（3）若改變（2）中的條件，使NAPB=NCPD=90°,其他條件不變，四邊形EFGH的形狀是.【答案】（1）解：如圖1,圖1圖1「△ABD和^ACE都是等邊三角形，「.AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAE=60°,「.NBAD+NBAC=NCAE+NBAC,即NDAC=NBAE,在4ADC和4ABE中.-二二.：三 ，SAC=^BAEAC=AE「.△DAC^△BAE(SAS),「.DC=BE(2)證明：四邊形EFGH為菱形；理由如下：連接AC、BD,如圖3,丁NAPB=NCPD，「.NAPB+APD=NCPD+NAPD，即NBPD=NAPC，在^PBD和^APC中PB=PA=^APCPD=PC△PBD^△APC，「.BD=AC，;HG=AC，HE=BD，1 1n q「.HG=HE，丁四邊形HEFG為平行四邊形，???四邊形EFGH為菱形（3）正方形2.已知，如圖正方形ABCD中，E為BC上任意一點，過E作EFLBC，交BD于F，G為DF的中點，連AE和AG.

(1)如圖1,求證:ZFEA+ZDAG=45°；dJ9【答案】(1)證明：作GM，BC于M,連接6￡、GC,如圖1,圖1???四邊形ABCD為正方形，???DA;DC,ZADB=ZCDB=45°,在^ADGdJ9【答案】(1)證明：作GM，BC于M,連接6￡、GC,如圖1,圖1???四邊形ABCD為正方形，???DA;DC,ZADB=ZCDB=45°,在^ADG和4CDG中DA=DC-ZADQ=￡CDG,DG=DG?.△ADG^ACDG,??AG;CG,/DAG;Z1,ZAGD=ZCGD,??G點為DF的中點,FE±BC,GM±BC,DC±BC,GM為梯形CDFE的中位線，EM=CM,GE=GC,/5=/4,GM平分/EGC,，N2=N3,「.N1=N6=NDAG,GA=GE,「GMIICD,「.NMGD=180°-NGDC=135°,即N2+NDGC=135°,「.NAGD+N3=N2+NDGC=135°,「.NAGE=90°,??.△AGE為等腰直角三角形，「.NAEG=45°,即NFEA+N6=45°,5 ￡ C「.NFEA+NDAG=45°；5 ￡ C(2)解：把△ADG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ,連接QH,如圖2,「.NABQ=NABD=45°,AQ=AD,BQ=DG,NQAG=90°,「NFEA+NDAG=45°；而NFEA=NBAE,「.NBAE+NDAG=45°；「.NEAG=45°,「.NQAE=45°,在^QAH和^GAH中AO=AG-=Z.GAH,,AH=AH「.△QAH^△GAH,「.HQ=HG,設(shè)BH=x，貝UHG=BG-BH=8-x,「.HQ=8-x,;DH=BG+DG-BH,「.DG=9-8+x=x+1,「.BQ=x+1,「NABQ+NABD=45°+45°=90°,「.△BQH為直角三角形，?二BQ2+BH2=QH2,1P(x+1)2+x2=(8-x)2,解得x=3,

「.BD=BH+DH=3+9=12,.如圖所示，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M,交AD于點N.(1)求證:CM=CN；(2)若4CMN的面積與^CDN的面積比為3:1，求的值.DjV【答案】(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得：NANM=NCNM.丁四邊形ABCD是矩形，「.ADIIBC.「.NANM=NCMN.「.NCMN=NCNM.「.CM=CN(2)解：過點N作NH±BC于點H,如圖所示:則四邊形NHCD則四邊形NHCD是矩形,「.HC=DN,NH=DC,「△CMN的面積與^CDN的面積比為3：1,=3,MC「.MC=3ND=3HC,「.MH=2HC,設(shè)DN=x設(shè)DN=x，則UHC=x,MH=2x,「.CM=3x=CN,在RtACDN中，DC= =2_x,gW-即夜「.HN=2x,在RtAMNH中，MN= =2_x,VMH-+HN工 i/3= =2_MN3g陰x.綜合題(1)感知：如圖①，四邊形ABCD、CEFG均為正方形.易知BE=DG.圖④圖④（2）探究：如圖②，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，且NA=NF.求證：BE=DG.圖②圖②若AE=3ED,（3）如圖③，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，點E在邊AD上，點G在若AE=3ED,NA=NF,△EBC的面積為8,則菱形CEFG的面積為.【答案】（1）證明：:四邊形ABCD、四邊形CEFG均為正方形，「.BC=CD,CE=CG,NBCD=NECG=90°,「.NBCD-NECD=NECG-NECD,即NBCE=NDCG,在^BCE和^DCG中，CB=CDSCE=4CGCE=CG「.△BCE^△DCG,「.BE=DG.:四邊形ABCD、四邊形CEFG均為菱形，「.BC=CD,CE=CG,NBCD=NA,NECG=NF,;NA=NF,「.NBCD=NECG,「.NBCD-NECD=NECG-NECD,即NBCE=NDCG,「.△BCE^△DCG.,「.BE=DG.205.如圖，正方形ABCD中，AB=4,P是CD邊上的動點(P點不與C、D重合)，過點P作直線與BC的延長線交于點E,與AD交于點F,且CP=CE,連接DE、BP、BF,設(shè)CP=x,△PBF的面積為S1,△PDE的面積為S2.(1)求證:BP±DE.(2)求S1-S2關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍.(3)分別求當(dāng)NPBF=30°和NPBF=45°時，S1-S2的值.【答案】(1)解：如圖1中，延長BP交DE于M.圖1丁四邊形ABCD是正方形，「.CB=CD,NBCP=NDCE=90°,;CP=CE,「.△BCP^△DCE,「.NBCP=NCDE,:NCBP+NCPB=90°,NCPB=NDPM,「.NCDE+NDPM=90°,「.NDMP=90°,「.BP±DE.(2)解：由題意S1-S2= (4+x)?x- ?(4-x)?x=x2(0<x<4).2 2(3)解：①如圖2中，當(dāng)NPBF=30°時，丁NCPE=NCEP=NDPF=45°,NFDP=90°,「.NPFD=NDPF=45°,「.DF=DP,丁AD=CD,「.AF=PC,丁AB=BC,NA=NBCP=90°,△BA碎△BCP,「.NABF=NCBP=30°,x=PC=BC?tan30°=_,473「.S1-S2=X2=匚,②如圖3中，當(dāng)NPBF=45°時，在CB上截取CN=CP,理解PN.由①可知4AB碎△BCP,「.NABF=NCBP,?.?nPBF=45°,「.NCBP=22.5°,?NCNP=NNBP+NNPB=45°,「.NNBP=NNPB=22.5°,BN=PN= x,x+x=4,「.S1-S2=(4--4)2=48-32「7士 yz.已知：在矩形ABCD中，AB=8,BC=12,四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE=2DA上，AE=2.(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；(2)如圖2,當(dāng)四邊形EFGH為菱形時，設(shè)BF=x，△GFC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域.【答案】(1)解：如圖1,過點G作GMLBC,垂足為M.(Si)由矩形ABCD可知：NA=NB=90°,由正方形EFGH可知：NHEF=90°,EH=EF,」.N1+N2=90°,又N1+N3=90°,「.N3=N2,「.△AEH^△BFE.「.BF=AE=2,同理可證：△MG碎△BFE,「.△MG碎△AEH,「.GM=AE=2,又FC=BC-BF=12-2=10,S=△GFCS=△GFC一FC?GM=21-x10x2=10.(2)解：如圖2,過點G作GM^BC,垂足為M,連接HF.由矩形ABCD得：ADIIBC,「.NAHF=NHFM,由菱形EFGH得：EHIIFG,EH=FG,

，N1=N2,「.N3=N4,又NA=NM=90°,EH=FG,「.△MG碎△AEH,「.GM=AE=2,又BF=x,「.FC=12-x,11」?工GFC=vFC?GM=-(12-x)*2=12-x,即：S=12-x,定義域：J「:；『..如圖甲，在△ABC中，NACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF作正方形ADEF,解答下列問題:(1)如果AB=AC,NBAC=90°.①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系是什么？寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，請證明？（2）如果ABNAC,NBACN90。，點D在線段BC上運動.試探究：當(dāng)^ABC滿足一個什么條件時，CF±BC（點C、F重合除外）？直接寫出條件，不需要證明.(3)若(3)若AC=4BC=3,在（2）的條件下，求△ABC中AB邊上的高.【答案】（1）解：①如圖1,丁四邊形ADEF是正方形，「.NDAF=90°,AD=AF,;AB=AC,NBAC=90°,「.NBAD+NDAC=NCAF+NDAC=90°,，NBAD=NCAF,在^BAD和^CAF中，10AB=AC｛一BHD=^CAFAD=AF「.△BAD^△CAF(SAS),「.CF=BD,「.NB=NACF,「.NB+NBCA=90°,「.NBCA+NACF=90°,即CF±BD；②當(dāng)點D在BC的延長線上時，①的結(jié)論仍成立.如圖2,由正方形ADEF得：AD=AF,NDAF=90°.丁NBAC=90°，「.NDAF=NBAC.「.NDAB=NFAC.又「AB=AC,△DAB^△FAC(SAS).「.CF=BD,NACF=NABD.丁NBAC=90°,AB=AC,「.NABC=45°,nACF=45°.「.NBCF=NACB+NACF=90°,即CF±BD(2)解：當(dāng)NBCA=45°時，CF±BD；理由如下：如圖3,過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G,圖3丁NACB=45°,??.△AGC等腰直角三角形，11

「.AG=AC,NAGC=NACG=45°,;AG=AC,AD=AF,丁NGAD=NGAC-NDAC=90°-NDAC,NFAC=NFAD-NDAC=90°-NDAC,「.NGAD=NFAC,「.△GAD^△CAF(SAS),「.NACF=NAGD=45°,「.NGCF=NGCA+NACF=90°,「.CF±BC；(3)(3)解：當(dāng)具備NBCA=45°,AC=4_BC=3時，如圖如圖4,過點A作AQ±BC交CB的延長線于點Q,圖4圖4丁NBCA=45°,AQ=CQ=4.??.△ABC為鈍角三角形，「.BQ=1,由勾股定理得：則AB=設(shè)AB邊上的高為h,SAABC=_AB-h=_BC-AQ，「. h=x3x4,TOC\o"1-5"\h\z-XvU-上 』「.h= ,27答：△ABC中AB邊上的高為 _12/171712.如圖，點E是矩形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BC,AB=3,BC=4,點P為直線EC上的一點，且PQ±BC于點Q,PR±PQ±BC于點Q,PR±BD于點R.卸②如圖2,當(dāng)點P為線段（不需證明）.（1）①如圖1,當(dāng)點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ=5EC上的任意一點（不與點E、EC上的任意一點（不與點E、點C重合）時予證明；若不成立，請說明理由.（2）如圖3,當(dāng)點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.12【答案】（1）解：圖2中結(jié)論PR+PQ=工仍成立. 證明：連接BP,過C點作CK±BD于點K.丁四邊形ABCD為矩形，「.NBCD=90°,又「CD=AB=3,BC=4,??.BD= =5「S「S△BCD一BC?CD=-BD?CK,2 2又2 2又「BE=BC,「.二CK=二PR+2 2「.CK=PR+PQ,12又丁CK=—,12PR+PQ=一；二PQ,2「.3x4=5CK,12SABEP=JPR-BE，Sabcp=尸BC，且S'bce=Sabep+Sabcp，...二BE?CK=二PR?BE+二PQ?BC,13

□d n□d nj 口(2)解：過C作CF±BD交BD于F,作CM±PR交PR于M,連接BP, SABPE-SAbcp=SaBEC,S&BEC是固定值，12BE=BC為兩個底，PR,PQ分別為高，圖3中的結(jié)論是PR-PQ=—.已知：四邊形ABCD是正方形，E是AB邊上一點，F(xiàn)是BC延長線上一點，且圖1 圖3 -(1)如圖1,求證：DF±DE；(2)如圖2,連接AC,EF交于點M,求證：M是EF的中點.【答案】(1)證明：:四邊形ABCD是正方形，「.DA=DC,NDAE=NDCB=90°.「.NDCF=180°-90°=90°.「.NDAE=NDCF.在Rt在RtADAE和RtADCF中，DE=DF二二二二匚'「.RtADAE^RtADCF(HL).「.NADE=NCDF,「NADE+NCDE=90°,「.NCDF+NCDE=90°,即NEDF=90°,「.DF±DE(2)證明；過點F作GF±CF交AC的延長線于點G,則NGFC=90°.「正方形ABCD中，NB=90°,，NGFC=NB.14「.ABIIGF.「.NBAC=NG.丁四邊形ABCD是正方形，「.AB=BC,「.NBAC=NBCA=45°.「.NBAC=NBCA=NFCG=NG=45°.「.FC=FG.△DAE^△DCF,「.AE=CF.「.AE=FG.ZAME=^GMF在^AEM和^GFM中，' -2LGAE=GF■_「.△AEM^△GFM(AAS).即M是EF的中點(1)如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E、點F分別在邊AB和AD上，且AE=AF.此時，線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.請直接寫出結(jié)論.(2)如圖2,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)Na,當(dāng)0°<a<90°時，連接BE、DF,此時(1)中的結(jié)論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.(3)如圖3,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)Na,當(dāng)a=90°時，連接BE、DF,若正方形的邊長為1,猜想當(dāng)AE=時，直線DF垂直平分BE.請寫出計算過程.(4)如圖4,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)Na,當(dāng)90°<a<180°時，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF,則順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請直接寫出結(jié)論：.【答案】(1)BE=DF；BE±DF(2)中的結(jié)論仍然成立.理由：如圖2中，延長DF交BE于H.15

D CD C丁四邊形ABCD是正方形，「.AD=AB,AF=AE,NDAB=NFAE=90°,在^DAF和^BAE中，,DA二SA{^DAF=AF=AE△DA碎△BAE,「.DF=BE,NADF=NABR,丁NAFD=NBFH,「.NDAF=NBHF=90°,「.DF±BE(3)_夜(4)正方形11.如圖1,四邊形ABCO為正方形.(1)若點A(1)若點A坐標(biāo)為①求點B的坐標(biāo)；②如圖2,點D為y軸上一點，連接BD,若點A到BD的距離為1,求點C到BD的距離；(2)如圖3,連接正方形ABCO的對角線AC,OB交于點Q,點F為線段BC上一點，以O(shè)F為直角邊向上構(gòu)造等腰RtAEOF,NEOF=90°,EF交AC于P.若PQ=1,求CF的長度.【答案】(1)解：①:A(0, 一)，y10??.OA=_聞在正方形ABCD中，16BA=BC=OA=_；y110;BA±y軸，BC±x軸，「?B( , )；v'lov'lo②如圖2,分別過點A,點B作AM±BD,CN±BD；:N1+N2=90°,N1+N3=90°「.N2=N3；在4ABM與八BNC中，,^3=^2{AB=CD上如「.△AMB^△BNC(ASA),「.BM=CN.丁AB=_,AM=1,v'lO「.BM==3,v'■版TAP「.CN=3,???點C到BD的距離為3(2)解：如圖3,連接八￡,作FGIIAB交AC于點G；:△EOF為等腰直角三角形，OE=OF,NEOF=90°；而NAOC=90°,NAOE=NCOF；在△AOE與4COF中，［二二，{^AOE=^COFOE=Of△AOE^△COF(SAS),AE=CF,NEAO=NFCO=90°,AEIIFG,丁NACB=45°,GF=CF；可得AE=GF,在^AEP和^FGP中17=上下1/EA產(chǎn)=^FGPAE=FG「.△AEP^△FGP(AAS),「.EP=FP,「.P為EF中點；連接AF,取AF的中點H,連接PH,QH,貝UPHIIAE,PH=AE；1ri上QHIICF,QH=CF；;AE=CF,AE±CF,「.△PQH為等腰直角三角形;;PQ=1,「.QH=,丁八圖a12.數(shù)學(xué)課上林老師出示了問題：如圖，ADIIBC,NAEF=90°AD=AB=BC=DC,NB=90°,點E是邊BC的中點，且EF交NDCG的平分線CF于點F,求證：AE=EF.同學(xué)們作了一步又一步的研究：(1)、經(jīng)過思考，小明展示了一種解題思路：如圖1,取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,易證△AMEM△ECF,所以AE=EF,小明的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；18(2)、小穎提出一個新的想法：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點〃改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點〃，其它條件不變，那么結(jié)論"AE=EF〃仍然成立，小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(3)、小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上(除C點外)的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF〃仍然成立.小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.【答案】(1)解：正確.丁M是AB的中點，E是BC的中點AB=BC「.AM=ECBM=BE「.NBME=45°NAME=135°丁CF是NDCG的平分線nDCF=45°NECF=135°「.NAME=NECF「NAEB+NBAE=90°NAEB+NCEF=90°「.NBAE=NCEF「.△AME^△BCF(ASA)「.AE=EF(2)解：正確.在AB上取一點M,使AM=BC,連接ME.「.BM=BE「.NBME=45°「.NAME=135°,丁CF是/DCG的平分線「.NDCF=45°NECF=135°「.NAME=NECF「NAEB+NBAE=90°NAEB+NCEF=90°「.NBAE=NCEF「.△AME^△BCF(ASA)(3)解：正確.在BA的延長線上取一點N.使AN=CE,連接NE.DCEGDCEG19

「.BN=BENN=NPCE=45°「ADIIBE」.NDAE=NBAE，NNAE=NCEF，△ANE^△ECF(ASA) ，AE=EF（1）觀察發(fā)現(xiàn):如圖（1）,已知直線miln,點A、B在直線n上，點C、P在直線m上，當(dāng)點（1）觀察發(fā)現(xiàn):線m上移動到任意一位置時，總有與^ABC的面積相等.（2）實踐應(yīng)用①如圖（2），在4ABC中，已知BC=6，且BC邊上的高為5，若過C作CEIIAB，連接AE，3￡，則4BAE的面積=；（3）②如圖（3），A、B、E三點在同一直線上，四邊形ABCD和四邊形BEFG都是鄰邊相等的平行四邊形，若AB=5，AC=4,求△ACF的面積.（4）拓展延伸如圖（4），在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，ABNCD，且SAabc<Saacd，過點A畫一條直線平分四邊形ABCD面積（簡單介紹作法，不必說明理由）【答案】(1)△APB（3）解：如圖（3），(（3）解：如圖（3），過點B作BH±AC于點H，連接BF.;AB=BC，1AH=-AC=2.2 : 在直角△AHB中，BH=，二三二—二三二二:二—二二二?二二..C , ——C——-'△abc=-X4X,二二2,二丁四邊形ABCD和四邊形BEFG都是鄰邊相等的平行四邊形，20「.ACIIBF,'SAACF'SAACF=SAABC=2V21(4)解：如圖所示.過點B作BEIIAC交DC的延長線于點E,連接AE.「BEIIAC,??.△ABC和^AEC的公共邊AC上的高也相等，△ABC△ABC一、△AEC一S四邊形Cd=SAacd+Saabc=Saacd+Saaec=Saaed「S△ACD>「S△ACD>SAABC所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F,則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.14.四邊形ABCD為菱形，點P為對角線BD上的一個動點.(1)如圖1,連接AP并延長交BC的延長線于點E,連接PC,求證：NAEB=NPCD.(2)如圖1,當(dāng)PA=PD且PC±BE時，求NABC的度數(shù).(3)連接AP并延長交射線BC于點E,連接PC,若NABC=90°且△PCE是等腰三角形，求NPEC的度數(shù).【答案】(1)證明：:四邊形ABCD是菱形，「.NPDA=NPDC,AD=CDADIIBC,在^PAD與^PCD中，,AD=CD{*PDH=PD=PD△pad^△PCD(SAS),，NPAD=NPCD,又「ADIIBC,「.NAEB=NPAD=NPCD(2)解：如圖1,(方法一);PA=PD,，NPAD=NPDA,設(shè)NPAD=NPDA=x，則NBPC=NPDC+NPCD=NPDA+NPAD=2x21

;PC±BE」.2x+x=90°,「.x=30°,「.NABC=2x=60°；（方法二）：延長CP交AD于M,「ADIIBC,PC±BC,「.CM±AD;PA=PD,△pam^△PDM（HL）,「.AM=DM,」.CM垂直平分AD連接AC,則AC=CD=BC=AB,??.△ABC是等邊三角形，「.NABC=60°如圖2,（3）解：①當(dāng)點E在BC的延長線上時，△PCE是等腰三角形，則CP=CE，「.NBCP=NCPE+NCEP=2NCEP丁四邊形ABCD是菱形，NABC=90°，?菱形ABCD是正方形，「.NPBA=NPBC=45°，在^ABP與^CBP中，，AB=CB{“PH月=^PBCBP=BP△ABP^△CBP（SAS），「.NBAP=NBCP=2NCEP「NBAP+NPEC=90°，2NPEC+NPEC=90°，22「.NPEC=30°；②當(dāng)點E在BC上時，如圖3,△PCE是等腰三角形，則PE=CE,「.NBEP=NCPE+NPCE=2NECP,丁四邊形ABCD是菱形，NABC=90°?菱形ABCD是正方形，「.NPBA=NPBC=45°，XAB=BC,BP=BP,△ABP^△CBP,「.NBAP=NBCP,「NBAP+NAEB=90°,2NBCP+NBCP=90°「.NBCP=30°,「.NAEB=60°,「.NPEC=180°-NAEB=120°,綜上所述：NPEC=30°或NPEC=120°.以CG為一邊在正15.如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，不必證明；.請你通過觀察、（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a，得到如圖2情形測量等方法判斷（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷..請你通過觀察、【答案】（1）解：延長BG交DE于點H,在^BCG與^DCE中，/BC=DC，，CG=ZDCE,CG=CE--「.△BCG^△DCE（SAS）,「.NGBC=NEDC,BG=DE,23

丁NBGC=NDGH,「.NDHB=NBCG=90°,「.BG±DE(2)解：BG=DE,BG±DE仍然成立如圖2,NBCD+NDCG=NECG+NDCG,即NBCG=NDCE,在^BCG與^DCE中，「BC=DC，，CG=ZDCE,CG=CE■_??.△BCG^△DCE(SAS),「.NGBC=NEDC,BG=DE,丁NBHC=NDHG,「.NBCD=NDOB=90°,即BG±DE16.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、（1）求證：NAPB=NBPH；（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明：如圖1,丁PE=BE,，NEBP=NEPB.又「NEPH=NEBC=90°,「.NEPH-NEPB=NEBC-NEBP.即/PBC=NBPH.24

又「ADIIBC,「.NAPB=NPBC.「.NAPB=NBPH(2)△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?. 證明：如圖2,過B作BQLPH,垂足為Q.由(1)知NAPB=NBPH,在^八3「和4QBP中'ZA=^SQF^P=BP△ABP^△QBP(AAS)