高數(shù)下課件ch111多元函數(shù)基本概念

第11章 一一.V4V4rSabab Vr

V定義1 設(shè)有三個變量x,y與z，如果對變量x,y在一定范圍D內(nèi)所取的每一對值，變量z按照一定 總有確定的值與它對應，(x,

則稱z是變量x,y的記為zfx,y)或zzx,y)x,yz稱為因變量 D稱為該函數(shù)的定義域數(shù)集{z|z f(x,y),(x,y)D}稱為該函數(shù)的值域三元函數(shù)xyz

uf(x,y,n元函數(shù)xx,x ufx1x2xn uf(P多元函數(shù)定義域的約定：對于ufx1x2xn)，4x24x2

x (2)uarcsinx2y2z2yx 4x2y2yx并且xy {(x,y)|x2y24且xy 1x2y2z2 {(x,y,z)|x2y2z21 x二二. R2{(x,y)|x,y點P0x0y0的(xx)2(yy)20(xx)2(yy)200

(

點P0x0y0的去心鄰域(?(P0,){(x,y)|0

?((xx(xx)2(yy)200設(shè)E是平面中的一個點集， PEPP內(nèi)點若存在N(P,使N(P,)則稱P是E的內(nèi)點．顯然，EPEPP外點若存在NP,NP,E則稱P是E 如果點P的任意鄰域內(nèi)既屬于E的點又有不屬于 E的點，則稱P為E的邊界點．邊界E的邊界點的全體稱 E的邊界記為 如果對于點集E內(nèi)任何兩點,都可用折線 且該折線上的點都屬于E，則稱點集E 若點集E為連通集,且E中每一點都是E的內(nèi)點則稱點集E為一個區(qū)域（或開區(qū)域 DN(O,M D為有界區(qū)域；否則稱 n 對于自然數(shù)n,有序 數(shù)組(x1,x2,,xn的全體稱為 ，記為xx,x)稱為Rn 數(shù) 為該點的第i個分量Rn中兩點Pxx,x)與Qy,y,,y) |PQ(yx)2(yx)2(y|PQ zfx,y)

zf(x,y) 等值線具有方程

fx,y)k 的等值線

zx2y等值面對于三元函數(shù)ufxyz，fx,yz)k 的等值面．k k k三三.討論二元函 zf(x, 當xx0，yy0PxyP0x0y0定義 設(shè)zf(x,y)在P0(x0,y0)的某個去心鄰域?(若0，0，當點Pxy)(xx(xx)2(yy00 f(x,y)A|成立，則稱A為函數(shù)f(x, f(x,y)(x,y)(x0,y0 limf(x,y)

f(x,y)A(x,y)(x0,y0 說明2

xy(xy)x2y2 x2y22|xyxy(x (x2y2)(x 0 x2

2(x2y2

x2

(|x||y|) 1(|x||y|) |x| |y|(x,y)(0,0)

xy(xy)x22x2y2x2y2

x2 2x2x2y2

x2 (x2y2x0(x2y2)(2 x2y22x2y2x2y2

4例 f(x,y)

limf(x,(y(yx)x2 令xrcos，yr (r0)，則x2r(sincos)r(rcos)2x2r(sincos)r(rcos)2(rsin

limr2(sincos)

limr(sincos)cos

注.設(shè)xrcosyrsin，(r (x,y)(0,0)r例 x x0x2 令xrcos，yr

(r0)， x

limr2cos

222x0 222

極限值與有關(guān)，注(1)二重極限limfx,y)A是指x,y趨于點x0y0時，fx,y(2)若動點Px,y)

zfx,yzfx,y)在P0x0y06證明函數(shù)fx,y

x2

((x,y)(0,0)(00

x4

證明當P(x,y)沿x軸(y 和y軸(x0)無限趨(00limf(x,0)0，limf(0,y) Pxy沿拋物線yx2無限趨于(00)11limf(x,x2)

x0x4 f(x,y)在(0,0)不存在極限四四.定義 設(shè)zf(x,y)在P0(x0,y0)的某個鄰域N(P0)有定義

f(x,y)f(x0,y0(x,y)(x0,y0 f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續(xù)若f(x,y)在某個區(qū)域D(或閉區(qū)域)的每一點均連續(xù)， f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù)． 若f(x,y)在(x0,y0)不連續(xù)則x0y0 f(x,y)

x2y2 x2y2 x2y217討論函數(shù)fx,y)x2

x2y2x2y2

當P(x,y)沿直線ykx(kR)無限趨于(0,0)時

f(x,y)limf(x,kx)

k

x0x2k

x0x(1k

1當k不同即沿不同直線趨于 (0,0)時，有不同的極限值． f(x,y)在(0,0)不存在極限，因而在(0,0)不連續(xù)．在其它點((x,y)(0,0))處，由于分子分母均為連續(xù)函數(shù)，且分母不為零，所以 f(x,y)在x2y20的點處均連續(xù)． 若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D則f(x,y)必在D上取到最大值和最小值即P1(x1,y1)D及P2(x2,y2)D，對任意P(x,y)D，有 f(x1,y1)f(x,y)f