飛行管理數(shù)學(xué)建模

摘要近年來，隨著現(xiàn)代航空運輸不斷發(fā)展，為了維護航空器的航空秩序，保證飛機飛行平安，對于同一區(qū)域的飛行管理問題提出了要求。本文探討了在肯定區(qū)域范圍內(nèi)飛機飛行管理的最優(yōu)化問題，通過建立數(shù)學(xué)模型計算求解，對飛機是否發(fā)生碰撞沖突進行預(yù)料，依據(jù)計算機求解結(jié)果對如何解脫沖突給出了較好的解決方法。對于飛機是否發(fā)生碰撞沖突問題，本文提出了基于飛機位置速度矢量關(guān)系的碰撞沖突檢測方案，證明白只有位置差與速度差矢量內(nèi)積小于零，即這樣的航跡才存在潛在碰撞沖突,并依據(jù)平安飛行間隔規(guī)定,采納線性預(yù)料方法對沖突進行有效性確認,解決了飛機碰撞沖突檢測的同時也避開了碰撞虛警問題。在此基礎(chǔ)上，對于存在潛在碰撞沖突的飛行問題，運用航向調(diào)整的方法解脫沖突，建立非線性數(shù)學(xué)模型通過引入新的決策變量、，將原來的非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型其中，。再運用11編程求得該模型最優(yōu)解為，第3架飛機的調(diào)整角為，第6架飛機（新進入的飛機）的調(diào)整角為，其余飛機不進行調(diào)整，從而給出了沖突解決方案。之后，本文對計算結(jié)果做出了分析和評價，同時還分析了滯后時間和轉(zhuǎn)彎半徑和限定在區(qū)域范圍內(nèi)對飛機航向調(diào)整的影響，使問題更符合實際狀況。在對模型進行評價與分析的同時，本文又對模型進行了推廣，對速度不同、飛行高度不同的狀況下進行了分析，并給出了合理的說明；增加了模型的實際應(yīng)用意義。關(guān)鍵詞：飛行管理碰撞沖突線性規(guī)劃一．問題重述本題主要分析了在同一高度，肯定范圍內(nèi)的飛行管理問題。在10000米高空、邊長為160公里的正方形區(qū)域內(nèi)最多有6架飛機做水平飛行，其中飛機以每小時800公里的速度勻速飛行。為了便于飛行管理，在每一架飛機剛剛進入此飛行區(qū)域邊界時，飛機的位置和速度均由計算機記錄其數(shù)據(jù)，并馬上進行計算和推斷是否會與區(qū)域內(nèi)的其它飛機發(fā)生潛在碰撞，假如存在碰撞危急，就應(yīng)當(dāng)計算如何調(diào)整各架飛機的飛行方向角度，以避開發(fā)生碰撞。因此，依據(jù)題目的條件和假設(shè)，對該避開碰撞的飛機管理問題建立數(shù)學(xué)模型，列出計算步驟并對已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)進行計算。在保證進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時,與區(qū)域內(nèi)飛機的距離在60公里以上的同時，要求滿足飛機飛行的方向角度調(diào)整幅度不能超過30度，而且要盡量小。在該區(qū)域內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，4個頂點的坐標(biāo)為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄數(shù)據(jù)如下：飛機編號橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入0052最終，對建立的模型進行評價和推廣。二．問題分析2.1、問題分析針對問題1，一架新飛機飛入飛行區(qū)域邊緣時，計算機進行記錄其數(shù)據(jù)并進行推斷該飛機是否和區(qū)域內(nèi)的其它飛機存在潛在碰撞危急，由此作出分析，若存；在相互碰撞危急就要對各架飛機的方向角進行調(diào)整；否則維持原狀，不做任何變更。⑴對兩飛機間距離的理解在本題中，依據(jù)題目假設(shè)所給的條件即在平安飛行過程中隨意兩架飛機間的距離要在8公里之上，這個距離遠大于飛機本身的尺寸大小，所以，在以后的問題求解過程中我們將飛機當(dāng)作質(zhì)點看待。這樣，依據(jù)計算機記錄的數(shù)據(jù)可以知道每架飛機的坐標(biāo)，依據(jù)兩間距離公式即可得到兩飛機之間的距離。⑵對飛機方向角與調(diào)整角的理解依據(jù)題目得知，飛機的方向角即為飛機的飛行方向與x軸正向的夾角。對于兩架飛機、而言，要求飛機在飛行過程中相對速度的方向不能在飛機與飛機的碰撞角（即兩切線交角中指向圓心的那個角）范圍內(nèi)。由于調(diào)整角以兩飛機的連線為對稱軸，左右由正負之分，故以調(diào)整角的肯定值最為目標(biāo)函數(shù)。2.2、問題2分析針對問題2的論述，由于在2.1.2中提出的肯定值目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)，給求解帶來了麻煩，因此應(yīng)用變量代換的數(shù)學(xué)方法將其轉(zhuǎn)換成非線性函數(shù)，運用、軟件編程，調(diào)用求解函數(shù)得出最優(yōu)調(diào)整方向角度。三．模型的基本假設(shè)1.新飛機進入邊緣時，馬上做出計算，每架飛機依據(jù)計算機計算后的指示馬上作出方向角變更（有的飛機方向角可不變）。2.每架飛機在新飛機剛進入到下一架飛機要進入前整個過程中最多只變更一次方向角。3.忽視飛機轉(zhuǎn)向角度，即認為飛機在接收到指令后馬上對方向進行調(diào)整，且忽視調(diào)整時間。4.新飛機進入該區(qū)域前,在區(qū)域中飛行的飛機方向已調(diào)合適，不會相撞。5.對方向角的相同調(diào)整量的滿足程度是一樣的，且方向角調(diào)整越少，滿足程度越高。6.飛機在平安飛行是兩兩之間的最短距離為8公里，此距離遠大于機身尺寸，因此將飛機當(dāng)作質(zhì)點看待，即假設(shè)兩飛機之間的距離為兩點之間的距離。7.最多考慮6架飛機。8.飛機飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度。9.全部飛機勻速飛行，速度為。說明：⑴假設(shè)6中假設(shè)飛機為質(zhì)點是為了將問題簡化，忽視次要問題以便得出合理的結(jié)論。假設(shè)7中6架飛機的假設(shè)是足夠多的。以世界上最繁忙的國際航空港之一希思羅機場鄰近區(qū)域為例，因假設(shè)飛機在區(qū)域160×160作水平飛行，即知該區(qū)域內(nèi)無機場。設(shè)在希思羅機場起降的飛機有一半穿過該區(qū)域，希思羅機場起駕總架次為22.5萬次，則平均每小時有15架飛機穿過該區(qū)域。而一架飛機穿過該區(qū)域最多需小時，則任一時刻該區(qū)域上空飛機架數(shù)的期望值不超過架。另外事實上不同飛機的飛行高度是不同的，這就進一步削減了該區(qū)域同一水平面上飛機的數(shù)目。以上探討雖然略顯粗略，但是足以證明架飛機的假設(shè)是合理的。⑵假設(shè)9中假定全部飛機飛行速度均為，是出于對問題的簡化。我們將在模型的推廣中給出飛機速度各不相同的方案。四.符號說明：第架飛機與第架飛機的碰撞角，即兩圓公切線交角中指向圓的那個角，規(guī)定；：第架飛機相對于第架飛機的相對飛行速度；：第架飛機與第架飛機間距；：第架飛機相對于第架飛機的位置矢量與x軸的夾角：第架飛機相對于第架飛機的相對飛行速度與x軸的夾角。：第架飛機相對于第架飛機的相對飛行速度與兩架飛機圓心連線的交角，規(guī)定：以第架飛機為原點，連線從指向為正方向，逆時針旋轉(zhuǎn)正，順時針旋轉(zhuǎn)為負；：第架飛機相對于直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角（即方向角變更量），為代數(shù)量；：第架飛機相對于第架飛機的變更量；：第架飛機的當(dāng)前位置矢量；：第架飛機的當(dāng)前速度矢量；：時間參數(shù);::五.模型的建立5.1預(yù)料是否存在碰撞危急⑴潛在碰撞危急檢測方案當(dāng)相對速度矢量與相對位置矢量的矢量內(nèi)積小于時，即從到夾角余弦值小于時，兩飛機存在潛在碰撞的危急，否則，無碰撞危急。詳細證明如下：對隨意兩架飛機，用位置矢量和速度矢量分別表示為：、，則經(jīng)時間后兩飛機的位置差為：（1）則（2）為了求得兩飛機相撞時刻，令：=得到（3）當(dāng)>0時，說明兩飛機具有潛在碰撞的危急，而當(dāng)<0時，則說明兩飛機處于分別狀態(tài)，沒有碰撞的可能。而>0，即時，兩飛機存在潛在碰撞沖突；反之，<0，即時，兩飛機處于分別狀態(tài)，無碰撞的可能。當(dāng)對新進入飛機和區(qū)域內(nèi)每一個已經(jīng)飛行的飛機采納上述算法推斷時，其相對速度矢量和位置矢量滿足定理時，進行如下確認，否則認為滿足平安飛行規(guī)則。當(dāng)新進入飛機和區(qū)域內(nèi)正在飛行的飛機采納上述算法時，其相對速度矢量和位置矢量滿足以上條件時，進行如下確認，否則認為滿足平安飛行要求。⑵碰撞沖突的確認算法對檢測到具有潛在碰撞的飛機對，必需依據(jù)平安飛行間隔規(guī)定進行確認。飛行間隔規(guī)定的最小水平平安間隔就相當(dāng)于在每架飛機四周設(shè)置一個愛護區(qū)，當(dāng)某一架飛機愛護區(qū)內(nèi)有另外一架飛機進入時，就會發(fā)生碰撞，因此定義愛護區(qū)為以飛機當(dāng)前位置為中心，最小水平間隔ρ（8）為半徑的圓形區(qū)域，即：其中，表示到航空器當(dāng)前位置的距離。假如,說明兩航空器已經(jīng)處于飛行間隔不允許的狀況,即告警狀態(tài),兩航空器已經(jīng)處于飛行間隔所禁止的狀況。反之，假如,說明兩航空器當(dāng)前沒有違反平安飛行間隔規(guī)定，但由兩飛機之間的飛行位置-速度矢量關(guān)系推斷，具有潛在的沖突可能，因此必需進行下列預(yù)料和分析。⑶線性預(yù)料后的位置與平安間隔的關(guān)系對于當(dāng)前航空器對之間的距離大于平安間隔距離，處于平安狀況下的飛機對，進行適當(dāng)時間T的線性預(yù)料，即依據(jù)飛機對當(dāng)前的飛行速度，預(yù)料飛機在將來一段時間內(nèi)位置信息與平安間隔的關(guān)系，推斷與之間的關(guān)系(依據(jù)本文定理,處于潛在沖突時,故取模后用兩者之差)5.2建模方案⑴為了探討兩飛機相撞問題，采納相對速度作為探討對象，因為飛機是否相撞的關(guān)鍵取決于相對速度的方向。⑵模型在分析碰撞問題中的運用，如圖1示。88ivj圖1：分析碰撞模型示意圖⑶模型建立的函數(shù)與運用方程Ⅰ線性規(guī)劃模型的建立依據(jù)相對運動的觀點在考察兩架飛機i和j的飛行時，可以將飛機i視為不動而飛機j以相對速度（4）相對于飛機i運動，（4）式進行適當(dāng)?shù)幕s可得:（5）不妨設(shè)，此時相對飛行方向角為，如圖1。由于兩架飛機的初始距離為,（6）則只要當(dāng)飛行方向角滿足（7）時,兩架飛機不行能相撞（見圖1）。由于是飛行方向角，應(yīng)滿足，但是由給出的，留意到，，，，因此有（8）有可能超出，此時只需將式（7）修改為(9)即可，此時第i架飛機與第j架飛機不碰撞的條件就成為(10)或(11)這兩個條件均為線性的。這樣一來，各架飛機兩兩不碰撞條件也是關(guān)于的線性不等式，這個問題就可劃為線性規(guī)劃問題。Ⅱ目標(biāo)函數(shù)的建立依據(jù)的含義，可計算出-(12)因此，第i架飛機與第j架飛機不碰撞的條件可表示為(13)為保證飛機的平安飛行并且考慮乘客乘坐的舒適度，因此，決策目的是使區(qū)域內(nèi)全部飛機的偏轉(zhuǎn)角肯定值之和最小，在忽視計算時間和轉(zhuǎn)向時間的狀況下，可得目標(biāo)函數(shù)如下：，(14)Ⅲ目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化為將上述非線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性目標(biāo)函數(shù)，引入新的決策變量、，令,,(15)依據(jù)題中規(guī)定，方向角變更量在范圍內(nèi)，即(16)；(17)(18)(19)因此，將(15)式代入(14)式可得線性目標(biāo)函數(shù)(20)Ⅳ目標(biāo)函數(shù)與約束條件(21),(22)(23)六.模型求解計算步驟：1.記錄各飛機狀態(tài)：位置（坐標(biāo)）與速度大小和方向角。2.用求解出第架飛機與第架飛機的碰撞角，(24)(25)求解的程序以“”為文件名保存，詳細程序見附件（1）。=00.09410.56250.08890.36590.0390000.08380.11540.10140.06660000.07620.39850.037100000.07920.0522000000.04030000003.依據(jù)公式（12）用求解出第架飛機相對于第架飛機的速度的夾角，其中位置矢量與橫坐標(biāo)的夾角為分段函數(shù)，如下：(26)求解的程序以“”為文件名保存，詳細程序見附件(2)。=0-1.31310.82470.34352.94200.17414.970104.7321-0.73734.67220.15710.8247-1.551100.2178-1.02600.00540.3435-0.73730.217800.1042-0.0615-3.3412-1.61105.25720.104200.03340.17410.15710.0054-0.06150.033404.調(diào)用程序(,2*)，將轉(zhuǎn)換成在范圍內(nèi)的正數(shù)角，其弧度值為：=04.97010.82470.34352.94200.17414.970104.73215.54594.67220.15710.82474.732100.21785.25720.00540.34355.54590.217800.10426.22172.94204.67225.25720.104200.03340.17410.15710.00546.22170.033405.建立線性規(guī)劃模型,用11進行求解（程序見附件1）。將以上求得的的結(jié)果輸入程序1995A中的的值，經(jīng)計算求得結(jié)果如下：.:0.634000001:0.000000:2A(1)0.0000000.000000A(2)0.0000000.000000A(3)0.0000000.000000A(4)0.0000000.000000A(5)0.0000000.000000A(6)0.0000000.000000(1)0.0000001.000000(2)0.0000001.000000(3)0.4960000010.000000(4)0.0000001.000000(5)0.0000001.000000(6)0.1380000010.000000(1)0.0000001.000000(2)0.0000001.000000(3)0.0000002.000000(4)0.0000001.000000(5)0.0000001.000000(6)0.0000002.000000結(jié)果顯示第3架飛機的調(diào)整角為（0.0496），第6架飛機（新進入的飛機）的調(diào)整角為（0.0138），最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)為（0.0634）七.結(jié)果分析1、結(jié)果的實際價值在六中目標(biāo)函數(shù)求解結(jié)果顯示，并依據(jù)題目方向角誤差小于0.01度的要求，可知，第3架飛機的調(diào)整角為，第6架飛機的調(diào)整角為，其余各架飛機不許進行調(diào)整。依據(jù)結(jié)果分析可知調(diào)整的飛機數(shù)目與角度均與實際狀況吻合。加之，在實際狀況中飛機的飛行高度、速度等條件均可變更，故該模型的計算結(jié)果符合實際狀況。依據(jù)計算軟件顯示，運用該模型求解結(jié)果用時極短，并且隨著計算機技術(shù)的進步，計算機的計算速度也愈來愈快，故運用該模型可實現(xiàn)實時限制。2、誤差分析⑴模型建立中的誤差考察模型假設(shè)可知假設(shè)3帶來肯定誤差,簡潔分析后可知考慮轉(zhuǎn)彎半徑使飛行軌跡在垂直飛行方向上產(chǎn)生一個偏差X(27)其中R為轉(zhuǎn)彎半徑，為轉(zhuǎn)角。對最小轉(zhuǎn)彎半徑小于10公里的中小型飛機，轉(zhuǎn)角小于15度時偏差公里對最小轉(zhuǎn)彎半徑約為40公里的大型飛機，轉(zhuǎn)角小于8度時偏差公里兩種狀況下偏差均小于相撞條件8公里的5%，可以忽視不計。由于飛行管理中讓一架飛機做大于8度的轉(zhuǎn)向是較少發(fā)生的事兒（），故該處假設(shè)可以認為是合理的。下面給動身生極端情形時的一個對策：設(shè)一架大型飛機做30度的轉(zhuǎn)彎,此時偏差公里不行忽視。在飛機起先轉(zhuǎn)彎后（轉(zhuǎn)彎過程約需1.6分鐘）地面限制站的計算機可算出一條曲率到處大于的偏轉(zhuǎn)線，以此曲線引導(dǎo)飛機飛回偏轉(zhuǎn)線。這種局部調(diào)整法的優(yōu)點在于計算簡潔，不對全局的調(diào)整角度方案產(chǎn)生影響，適用于這種小概率事務(wù)。⑵計算過程中的誤差僅來源于機器的截斷誤差，對于最終結(jié)果沒有重大影響。⑶輸入誤差對結(jié)果影響通過對輸入數(shù)據(jù)給以小的擾動，經(jīng)大量計算可得如下定性結(jié)果:Ⅰ.飛機位置有小的擾動對結(jié)果影響甚微，擾動增大時影響明顯。Ⅱ.飛機方向角的擾動對結(jié)果影響顯著，擾動大小與結(jié)果變更幅度基本是在一個數(shù)量級上。以上結(jié)果說明為保證結(jié)果的精確性應(yīng)盡量減小對飛機方向角測量的誤差,同時對飛機位置測量的誤差也應(yīng)限制在肯定范圍以內(nèi)。該模型未考慮區(qū)域限制帶來的偏角誤差。八.模型的與改進依據(jù)實際狀況，在同一區(qū)域飛行的飛機飛行速度完全相同，而且全部勻速飛行的狀況，在實際中屬于特別狀況，因此本題給出的條件可以看作志向條件。然而上述計算結(jié)果對現(xiàn)實仍具有指導(dǎo)意義，下面我們將從飛機的飛行速度不同和飛行高度不同兩種狀況對模型進行推廣。1、飛行速度不同針對速度不同但速度保持不變的狀況，上述的推導(dǎo)方法已不完全適用，尤其是對于（5）式的推到方法已經(jīng)不適用，為此我們給出了新的計算方法，如下：第架飛機的速度矢量以復(fù)數(shù)形式表示為(28)相對速度(29)則有(30)即(31)依據(jù)上述推到結(jié)果并結(jié)合圖1，不難得出兩飛機持續(xù)滿足最小平安間隔的充要條件為：若，則需變更以實現(xiàn)沖突規(guī)避。在中計算出來后，依據(jù)該模型，可計算出飛機偏轉(zhuǎn)角最小的最優(yōu)解。2、飛行高度不同在實際狀況中，依據(jù)飛機航道設(shè)計的不同，在同一區(qū)域內(nèi)的飛機可以在不同的高度進行飛行。這樣一來，就使得同一區(qū)域內(nèi)的飛機數(shù)量削減，同時也給飛機變更速度和變更方向供應(yīng)了更廣袤的空間，因此可以給飛機的平安飛行供應(yīng)更多的實現(xiàn)方式，給飛行管理供應(yīng)了更多的可行方案，更易于飛行管理的實現(xiàn)。參考文獻[1]王運鋒、賀文紅、劉健波，基于航空器位置速度矢量關(guān)系的短期沖突檢測算法，四川高校學(xué)報（工程科學(xué)版），2009年9月，第41卷第5期：136~141[2]牟奇峰，空中交通管理中的防撞策略問題探究：38~39[3]譚永基、蔡志杰、俞文，數(shù)學(xué)建模，上海：復(fù)旦高校出版社，2005，62~63[4]譚浩南、朱正光、劉劍，飛行管理問題的實時計算，數(shù)學(xué)的實踐與相識，1996年，第26卷第1期：17附件：（1）[]1995()8;(x);()11L()((x(i)(j))^2+(y(i)(j))^2);()((i,j));備注：程序中是論文中角。（2） [A]5()1:6(i)(1);1:61:6Y(j)(i)>0X(j)(i)>0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));X(j)(i)<0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));()();X(j)(i)0()2;Y(j)(i)<0X(j)(i)>0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));()()+2*;X(j)(i)<0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));()();X(j)(i)0()=3*2;(6,6);1:61:6(i)>(j)()()*180;A()=90+((i)(j))/2();(i)<(j)()()*180;A()=((i)(j))/2()-90;A()(A(),360);A()()*180;備注：矩陣A為第架飛機與第架飛機的相對速度與位置矢量之間的夾角，論文中記為（3）::1..6;1/1..6/:;(1