第一章實數(shù)集與函數(shù)

第一章實數(shù)集與函數(shù)P.4習(xí)題1．設(shè)a為有理數(shù)，x為無理數(shù)，證明：a0（1）a+x是無理數(shù)；（2）當時，ax是無理數(shù).證明（1）（反證）假設(shè)a+x是有理數(shù)，則由有理數(shù)對減法的封閉性，知x=a+x–a是有理數(shù).這與題設(shè)“x為無理數(shù)”矛盾，故a+x是無理數(shù).axx是有理數(shù)，這與題設(shè)“x為無理數(shù)”矛盾，故（2）假設(shè)ax是有理數(shù)，于是是無理數(shù).axa|ab|a,bR3．設(shè)，證明：若對任何正數(shù)ε有，則a=b.證明由題設(shè)，對任何正數(shù)ε有|ab|0再由教材，P.3例2，可得|ab|0，于是|ab|0，a=b.從而|ab|0，由實數(shù)的稠密性，存在r使得|ab|r0.這另證（反證）假設(shè)與題設(shè)“對任何正數(shù)ε有|ab|”矛盾，于是|ab|0，從而a=b.xR5．證明：對任何有（1）|x1||x2|1；（2）|x1||x2||x3|2證明（1）1|(x1)(x2)||x1||x2|（2）因為2|x3||2(x3)||x1||x1||x2|，xxx所以|1||2||3|2ya,b,cR6．設(shè)證明A(a,b)bc|a2b2a2c2||bc|C(a,c)證明建立坐標系如圖，在三角形OAC中，OAx的長度是a2b2，OC的長度是a2c2，aOAC的長度為|bc|.因為三角形兩邊的差小于第三邊，所以有|a2b2a2c2||bc|axa1與之間.b7．設(shè)x0,b0,ab，證明介于bxax1ab|ab|a1，證明因為bxbxbbaxa(ba)x|ab|a1bbxbb(bx)baxbxa所以介于1與之間.bp8．設(shè)p為正整數(shù)，證明：若p不是完全平方數(shù)，則是無理數(shù).證明（反證）假設(shè)p為有理數(shù)，則存在正整數(shù)m、n使得pn，其中mnk，使p是m的約數(shù)，故m、n有公約數(shù)p.、m互素.于是m2pn2，因為p不是完全平方數(shù)，所以p能整除n，即存在整數(shù)nkpmpk2p2mk2p，從而得.于是2，2這與“m、n互素”矛盾.所以p是無理數(shù).P.9習(xí)題2．設(shè)S為非空數(shù)集，試對下列概念給出定義：（1）S無上界；若M，，使得xSxM，則稱S無上界.00（請與S有上界的定義相比較：若M，使得xS，有xM，則稱S有上界）（2）S無界.若M0，，使得xS|x|M，則稱S無界.00（請與S有界的定義相比較：若M0，使得xS，有|x|M，則稱S有界）3．試證明數(shù)集S{y|y2x2,xR}有上界而無下界y2x22，故2是S的一個上界..證明yS，有而對M0，取x3My2x21MSyM.故數(shù)，但0，000集S無下界.4．求下列數(shù)集的上、下確界，并依定義加以驗證：（1）S{x|x22,xR}2解supS2，infS.下面依定義加以驗證supSinfS2可（2類似進行）.xS，有2x222，即是S的一個上界，是S的一個下界.222，則由實，若，則xS，都有x；若2002r數(shù)的稠密性，必有實數(shù)r，使得rS2，即，不是上界，所以supS2.（2）S{x|xn!,nN}解S無上界，故無上確界，非正常上確界為supS.infS1下面證明：.xS①，，!1即1是S的一個下界；有xn②，因為，即不是S的下界.所以infS1.111!S(3)S{x|x為(0,1)內(nèi)的無理數(shù)}仿照教材P.6例2的方法，可以驗證：supS1.infS0解⑷S{x|x11,nN}2n解supS1infS1，2supS1首先驗證.①xS有x111，即1是S的一個上界；，2n110，于是取.從而xS，且x1②，取正整數(shù)，使得n022n000n011.x102n0所以supS15．設(shè)S為非空有下界數(shù)集，證明：infSSminS證明：）設(shè)infSS，則對一切xS，有，而，故是數(shù)集SxSminS.中的最小的數(shù)，即）設(shè)minS，則infS；；下面驗證S⑴對一切xS，有，即是數(shù)集S的下界；x⑵對任何，只須取x0，則.所以infS.x0S6．設(shè)S為非空數(shù)集，定義{x|xS}.證明：⑴infSsupS⑵supSinfS證⑴設(shè)infS，下面證明：①對一切xS，有xS.因為infS，所以有x，于是是數(shù)集S的上界；supS.x，即②對任何.因為infS，有x.，所以存在xS0，使得0x0于是有xS，使得.0由①，②可知supS.7．設(shè)A、B皆為非空有界數(shù)集，定義數(shù)集AB{z|zxy,xA,yB}證明：（1）sup(AB)supAsupB；（2）inf(AB)infAinfB證明（1）因為A、B皆為非空有界數(shù)集，所以supA和supB都存在.zAB，由定義分別存在xA,yB，使得zxy.由于xsupA，ysupB，故zxysupAsupB，即supAsupB是數(shù)集AB的一個上界.，（要證不是數(shù)集supAsupBAB的上界），upsBupsA，由上xA，使得0xsupB.于是xsupB，再由上確界supA的定義，知存在00，且yB，使得0yxzxy確界supB的定義，知存在.從而00000zAB.因此supAsup是數(shù)集AB的上確界，即sup(AB)supAsupBxA,yB，使得zxy.由于xsupA，zAB，由定義分別存在B0另證ysupB，故zxysupAsup，于是Bsup(AB)supAsupB.①由上確界的定義，0，supAxA，使得02，yB，使得x00從而sup(AB)xysupAsupB，由教材00ysupB，P.3例2，可20得sup(AB)supAsupB②)supAsupB由①、②，可得sup(AB)infAinfB類似地可證明：inf(AByP.15習(xí)題22x9．試作函數(shù)yarcsin(sinx)的圖象解yarcsin(xs)i是n以2π為周期，)，值域為[,]定義域為(,的分段線性函數(shù)，其圖象如圖.2211．試問y|x|是初等函數(shù)嗎？解因為y|x|x2，可看成是兩個初等函數(shù)yuux與2的復(fù)合，所以y|x|是初等函數(shù).12．證明關(guān)于函數(shù)yx的如下不等式：1x1x0時，1x1x（2）當xx0時，1xx1（1）當111xxx1x0x1x時，有x1x1，所以當x，證明（1）因為1x從而有1xx1.111xxx1中同時乘以x，可得（2）當x0時，在不等式1x1從而得到所需要的不等式1，x1xxx1xx1x.P.20習(xí)題xx21f(x)1．證明是上的有界函數(shù).Rxx1x212x(x212|x|)2證明因為對R中的任何實數(shù)x有所以f在R上有界.2．（1）敘述無界函數(shù)的定義；f(x)1（2）證明為（0，1）上的無界函數(shù)；x2（3）舉出函數(shù)f的例子，使f為閉區(qū)間[0，1]上的無界函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)f(x)xD，若對任何M0，都存在xD，使得|f(x)|M，解00則稱f是D上的無界函數(shù).1M0x(0,1)，使得1M.為此只需x（2）分析：，要找.0x20M011證明M0，取x01x(0,1)，且M，則M，所以為fM10x20區(qū)間（0，1）上的無界函數(shù).10x1是閉區(qū)間[0，1]上的無界函數(shù)x0f(x)（3）函數(shù).x07．設(shè)f、g為定義在D上的有界函數(shù)，滿足f(x)g(x)，xD證明：⑴supf(x)supg(x)；⑵inff(x)infg(x)xDxDxDxD⑴xD，有f(x)g(x)supg(x)，gxf在D上的一個上界，即sup()是證xDxD所以supf(x)supg(x).xDxD⑵xD，有inff(x)f(x)g(x)，即inff(x)是在上的一個下界，所以DgxDxDinff(x)infg(x).xDxD8．設(shè)f為定義在D上的有界函數(shù)，證明：⑴sup{f(x)}inff(x)；⑵inf{f(x)}supf(x)xDxDxDxD證⑴xD，有f(x)sup{f(x)}，fx于是()fxsup{()}，即xDxDsup{f(x)}是f在D上的一個下界，從而inff(x)sup{f(x)}，所以xDxDxDsup{f(x)}inff(x)①xDxDxDfx反之，，有()inff(x)，于是inff(x)，即inf()是ffxf(x)xDxDxD在D上的一個上界，從而sup{f(x)}inff(x)②xDxD得，sup{f(x)}inff(x).由①，②xDxD(,)內(nèi)任一閉區(qū)間[a,b]上有界.229．證明：tanx在(,)上無界，而在2222M0xarctan(M1)，取，于是x(,).則有證00taxnM1M，所以tanx在(,)上無界.220M在(,)內(nèi)任一閉區(qū)間[a,b]上，取max{|tana|,|tanb|}，則[,]，xab22必有|tanx|M，所以tanx在[a,b]上有界.1,當x為有理數(shù)10．討論狄利克雷函數(shù)D(x)，的有界性，單調(diào)性與周期性.0，當x為無理數(shù)解函數(shù)D(x)是有界函數(shù)：|D(x)|1.不是單調(diào)函數(shù).D(x)是周期函數(shù)，任何一個正有理數(shù)都是它的周期，故它沒有最小周期.證明如下：設(shè)r是任一正有理數(shù).若x是有理數(shù)，則xr是有理數(shù)，于是D(xr)1D(x)；若x是無理數(shù)，則xr是無理數(shù)，于是D(xr)0D(x).Dx任何無理數(shù)都不是()的周期.11．證明：f(x)xsinx在R上嚴格增.證設(shè)xx，于是12xxxxf(x)f(x)xsinxxsinxxx2cossin21212221221121xxxx1|2|sinxxsin因為x0，有sinxx，所以|2cos|xx，2121221222xxxx2cosxxsinxx.所以有1從而212122122xxxxsinf(x)f(x)xx2cosxxxx021122121222121即()fxxsin在R上嚴格增.xP.21總練習(xí)題,abR，證明：1．設(shè)⑴max{a,b}12(ab|ab|)max{a,b}a1|(abab)a，|)12證若ab，則，2(abab這時11有max{a,b}(abab|)；若ab|abb(ab|ab|)，則max{,}，2212(abab)b，也有max{a,b}12(ab|ab|)，所以max{a,b}12(ab|ab|)2．設(shè)f和g都是初等函數(shù)，定義M(x)max{f(x),g(x)}，m(x)min{f(x),g(x)}，xD試問M(x)和m(x)是否為初等函數(shù)？解由第1題有M(x)max{f(x),g(x)}1(f(x)g(x)|f(x)g(x)|)，因2為和fgfxgx都是初等函數(shù)，于是()()是初等函數(shù)，再由|f(x)g(x)|{[f(x)g(x)]2}12，知|f(x)g(x)|是初等函數(shù)，所以M(x)是初等函數(shù).8．設(shè)f、g和h為增函數(shù)，滿足f(x)g(x)h(x)，xR，證明：f(f(x))g(g(x))h(h(x))f、g為增函數(shù)，再由f(x)g(x)，得f(f(x))f(g(x))，f(f(x))g(g(x)).同理可得g(g(x))h(h(x)).證因為f(g(x))g(g(x))，所以有f、g為區(qū)間上的增函數(shù)，證明(x)max{f(x),g(x)}，(a,b)9．設(shè)(x)min{f(x),g(x)}(a,b)也都是區(qū)間上的增函數(shù).(x)max{f(x),g(x)}(a,b)證⑴先證是區(qū)間上的增函數(shù).設(shè)xx，于是有12(x)max{f(x),g(x)}f(x)f(x)，22221(x)max{f(x),g(x)}g(x)g(x)，22221(x)，所以是增函數(shù).(x)max{f(x),g(x)}(x)從而2111⑵其次證明(x)min{f(x),g(x)}是區(qū)間上的增函數(shù)(a,b)設(shè)xx，于是有12(x)min{f(x),g(x)}f(x)f(x)11112(x)min{f(x),g(x)}g(x)g(x)11112(x)min{f(x),g(x)}(x)從而122212．設(shè)f、g為D上的有界函數(shù)，證明：⑴inf{f(x)g(x)}inff(x)supg(x)xDxDxD⑵supf(x)infg(x)sup{f(x)g(x)}xDxDxD證⑴由p.17例2(i)，有

inf{f(x)g(x)}inf{g(x)}inff(x)①②xDxDxD再由p.20習(xí)題8，有inf{g(x)}supg(x)xDxD結(jié)合①、②可得inf{f(x)g(x)}inff(x)supg(x)xDxDxD13．設(shè)f、g為D上的非負有界函數(shù)，證明：⑴inff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)}xDxDxD⑵sup{f(x)g(x)}supf(x)infg(x)xDxDxD證⑴xD，有inff(x)f(x)，infg(x)g(x)，從而inf(x)ingf(x)f(x)g(x).即xDxDxDxDinff(x)infg(x)()()是fxgx在上的一個下界，所以有DxDxDinff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)}xDxDxD15．設(shè)f為定義在R上以h為周期的函數(shù)，a為實數(shù).證明：若f在[a,a+h]上有界，則f在R上有界.證設(shè)f在[a,a+h]上有界，即存在M0，使得x[a,ah]，有|f(x)|M.xR，必存在整數(shù)m和實數(shù)x[a,ah]，使得xmhx.于是00|f(x)||f(xmh)||f(x)|M，所以f在R上有界.0016．設(shè)f在區(qū)間I上有界.記Msupf(x)，minff(x)，證明xIxIsup|f(x)f(x)|Mmx,xIxI，有，f(x)Mf(x)m.于是，有x,xI證|f(x)f(x)|Mm，即是數(shù)集Mm{|f(x)f(x)|:x,xI}的一個上界.下面證明：Mm是數(shù)集{|f(x)f(x)|:x,xI}的最小上界.

x,xI2，0由上確界，下確界的定義知，，f(x)M，使得f(x)m，從而(m)Mmf(x)f(x)MMm是數(shù).所以222集{|f(x)f(x)|:x,xI}的最小上界.所以fxfxMmsup|()()|x,xI部分重點高校歷年研究生入學(xué)考試試題選（供參考）1．（北京科技大學(xué)，1999年）敘述數(shù)集A的上確界的定義，并證明：對任意有界數(shù){x}{y}sup{xy}sup{x}sup{y}nnnn列，，總有nn證明定義參考教材.由上確界的定義，有xsup{x}，ysup{y}，（n1,2,）.于是nnnnxysup{x}sup{y}，即實數(shù)sup{x}sup{y}是數(shù)列{xy}的一個上nnnnnnnnsup{xy}sup{x}sup{y}界，所以有nnnn1f(x)lg(3x)49x2，求f(x)的定義域和f[f(7)].設(shè)2．（中國人民大學(xué)）f(x)解由3x0,3x1,49x20解得的定義域為[7,2)(2,3)11f(7)1，所以f[f(7)]43lg10lg2x1]f(x)ffffxx，并{[(())]}求f[f(x)3．（華中理工大學(xué)）設(shè)x1，試驗證（x0，x1）.xf(x)f(x)1x1解由f[f(x)]x，得f{f[f(f(x))]}f[f(x)]x.x1x1x1f(x)]f[xx1]x11x1xf[1xf(x)1x,x04．（同濟大學(xué)）設(shè)f[f(x)].x0，求1x0時，當f[f(x)]f(1)1，當1x0時，f[f(x)]f(1x)1，x1時，f[f(x)]f(1x)x2，解當所以f[f(x)]2x,x11x1f(x)xx2，求5．（西北工業(yè)大學(xué)）設(shè)f(x)的定義域⑴⑵⑶1{f[f(x)]}22limf(x)xx0解⑴f(x)x|x|0,x0f(x)的定義域為(,).2x,x0，所以⑵因為f[f(x)]xx2(xx2)22xx22f(x)，所以12{f[f(x)]}2f(x)xx2limf(x)lim00x0limf(x)lim2xlimf(x)x0⑶因為，，所以不存xxxxxx0x0x0在清華大學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)在(,)上是奇函數(shù)，f(1)a且對任何x值均有6．（f(x2)f(x)f(2)⑴試用a表示f(2)與f(5)f(x)是以⑵問a取什么值時，2為周期的周期函數(shù).因為對任何x值均有f(x2)f(x)f(2)，令x1得解⑴af(1)f(12)f(2)f(1)f(2)f(1)f(2)a，所以f(3)f(1)f(2)3a，f(5)f(2)f(3)5a⑵由f(x2)f(x)f(2)知當且僅當f(2)0，即f(2)2a.a0時，f(x)是以2為周期的周期函數(shù).(l,l)f(x)7．（合肥工業(yè)大學(xué)）證明：定義在對稱區(qū)間內(nèi)的任何函數(shù)，必可表示成H(x)與奇函數(shù)G(x)之和的形式，且這種表示法是唯一的偶函數(shù).證明令H(x)1[f(x)f(x)]，G(x)1[f(x)f(x)]，則22f(x)H(x)G(x)，且容易證明H(x)是偶函數(shù)，G(x)，滿足.若還有偶函數(shù)1G(x)是奇函數(shù).H(x)與奇函數(shù)f(x)H(x)G(x)，則1下證唯一性11有H(x)H(x)G(x)G(x)，①②11用x代入①式，得H(x)H(x)G(x)G(x)11①+②得H(x)H(x)，再代入②式得G(x)G