第4講高二學(xué)科素養(yǎng)能力競賽雙曲線專題訓(xùn)練

第4講高一學(xué)科素養(yǎng)能力競賽雙曲線專題訓(xùn)練【題型目錄】模塊一：易錯試題精選模塊二：培優(yōu)試題精選模塊三：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【典型例題】模塊一：易錯試題精選【例1】動點到點及點的距離之差為，則當(dāng)和時，點的軌跡分別是（）A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線【答案】C【解析】由題意，知，當(dāng)時，，此時點的軌跡是雙曲線的一支；當(dāng)時，，點的軌跡為以為端點沿軸向右的一條射線．故選：C.【例2】已知定點，，M是上的動點，關(guān)于點M的對稱點為N，線段的中垂線與直線交于點P，則點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圖分析點P到，的距離只差可知.【詳解】由題意及圖可知，，因為O、M分別為的中點，所以，所以故點P的軌跡是以，為焦點，2為實軸長的雙曲線.故選：A【例3】已知雙曲線的左右焦點分別為、，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再利用雙曲線的定義可求得.【詳解】解：雙曲線C的漸近線方程為，則，所以，，，由雙曲線定義可知，則或，又因為，故，故選：A．【例4】已知曲線的方程為，下列說法正確的是（

）A．若，則曲線為橢圓B．若，則曲線為雙曲線C．若曲線為焦點在軸的橢圓，則D．若為雙曲線，則漸近線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷ABC，由雙曲線的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，滿足，曲線不為橢圓，故錯誤；對于B，當(dāng)時，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知，是雙曲線，故正確；對于C，由可得，若表示焦點在軸的橢圓，則，即，故錯誤；對于D，若為雙曲線，則由可得，即雙曲線的漸近線方程為，故正確.故選：BD【例5】設(shè)雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】依題意作出曲線圖形，點P在雙曲線右支上，由雙曲線定義，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.【詳解】由題意可知：雙曲線焦點在x軸上，a=4，b=3，c=5，設(shè)雙曲線的右焦點F2（5，0），左焦點F（﹣5，0），由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=丨PF2丨，由PF與圓x2+y2=16相切于點N，則△ONF為直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，則丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故選：B．【例6】已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線同一支上的兩點．若，點在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得出焦點坐標(biāo)，并作出圖形，利用雙曲線的定義及三角形的周長公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，解得，所以雙曲線的左焦點，所以點是雙曲線的右焦點．作出雙曲線，如圖所示．由雙曲線的定義，知①，②，由①②，得，又，所以的周長為．故選：C.【例7】已知，是雙曲線C：的左、右焦點，M，N是C上關(guān)于原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積是______．【答案】72【分析】判斷四邊形為矩形，設(shè)，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡得，即可求得四邊形的面積.【詳解】由可知，因為M，N是C上關(guān)于原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因為，所以，所以，所以四邊形的面積,故答案為：72【例8】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 （）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為，故選C．【例9】設(shè)雙曲線經(jīng)過點，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________．【答案】【解析】設(shè)與具有相同漸近線的雙曲線C的方程為，將點代入C的方程中，得．∴雙曲線的方程為，漸近線方程為．【例10】已知雙曲線的兩個焦點分別為，，是雙曲線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及幾何性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積直接可得離心率.【詳解】，則，又因為，，即，所以，，所以，則，故選：B.【例11】已知雙曲線C：（，）的左，右焦點分別為，，A為C的左頂點，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓的對稱性，并聯(lián)立漸近線方程求、坐標(biāo)，結(jié)合已知易得，根據(jù)得到齊次方程求參數(shù)關(guān)系，即可得離心率.【詳解】設(shè)以為直徑的圓的方程為，且、關(guān)于原點對稱，由，解得或，∴，．∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴．故選：D【例12】（多選題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與交于?兩點，且，則的離心率可以為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時，設(shè)過的切線與圓相切于點，從而可求得，過點作于點，由中位線的性質(zhì)求得，在中，可求得，利用雙曲線的定義可得的關(guān)系，再由離心率公式求解即可，當(dāng)直線與雙曲線交于同一支時，同理可求得離心率【詳解】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時，設(shè)過的切線與圓相切于點，則，因為，所以，過點作于點，所以∥，因為為的中點，所以，，因為，為銳角，所以，所以，所以，所以，因為，所以，化簡得，所以，所以離心率為，當(dāng)直線與雙曲線交于一支時，記切點為，連接，則，過作于，則，所以，因為，所以為銳角，所以，所以，，所以,所以，化簡得，所以，所以離心率為，綜上，雙曲線的離心率為或，故選：BD【例13】設(shè)雙曲線的中心為點，若有且只有一對相較于點、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的焦點在軸上，則由作圖易知雙曲線的漸近線的離心率必須滿足，∴，，既有，又雙曲線的離心率為，∴．【例14】（2022四川成都七中高三開學(xué)考試（理））已知雙曲線，，是實軸頂點，F(xiàn)是右焦點，是虛軸端點，若在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點，使得構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】將題意轉(zhuǎn)化為以，為直徑的圓與線段BF有兩個不同的交點，再數(shù)形結(jié)合列不等式化簡求解即可.【詳解】以，為直徑的圓與線段BF有兩個不同的交點，所以，，解得；且圓心到直線BF：的距離，化簡得，所以，，又，解得，所以雙曲線離心率的取值范圍是．故選：B【例15】（多選）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為M，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點．若，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由條件得出為等腰直角三角形，即可得出橢圓長半軸長，短半軸，長半焦距的關(guān)系，從而得出橢圓的離心率；然后在焦點三角形中，利用余弦定理得出雙曲線實半軸長為，半焦距為的關(guān)系，從而得出雙曲線的離心率，依次對選項驗證即可?！驹斀狻恳驗?，且，所以為等腰直角三角形．設(shè)橢圓的半焦距為，則，所以，則．在中，，設(shè)，，雙曲線的實半軸長為，則（在中，由余弦定理可得），故，故，又，所以，即，故，，，，選BD．故選：BD【例16】（多選題）已知雙曲線：的左右焦點為，，左右頂點為，，過的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點，設(shè)，，當(dāng)直線繞著轉(zhuǎn)動時，下列量保持不變的是（

）A．的周長 B．的周長與之差C． D．【答案】BD【解析】【分析】如圖所示：當(dāng)直線的傾斜角越小時，點的周長越大，可判斷A，根據(jù)雙曲線定義求解可判斷B，設(shè)，則根據(jù)商與積的值可判斷CD．【詳解】如圖所示：當(dāng)直線的傾斜角越小時，點的周長越大，故A不正確；的周長為所以的周長與之差為，故B正確；設(shè)，則，由不是常量，故C不正確；由為常量，故D正確；故選：BD【例17】已知，，若曲線上存在點滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】曲線上存在點滿足，等價于與以A、B為焦點的雙曲線右支相交，根據(jù)雙曲線漸近線性質(zhì)即可求解．【詳解】若，，且，則點在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，且，，∴，，∴雙曲線方程為，其漸近線方程為，則曲線上存在點滿足，等價于與雙曲線相交，∴．故答案為：．【例18】已知雙曲線的左、有焦點分別為，，實軸長為4，離心率，點Q為雙曲線右支上的一點，點．當(dāng)取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意求得a,b,c,即可得雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的定義確定當(dāng)取最小值時Q點的位置，利用方程組求得Q點坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式求得答案.【詳解】由題意可得，又，故，所以，則雙曲線方程為，結(jié)合雙曲線定義可得，如圖示，連接,交雙曲線右支于點M，即當(dāng)三點共線，即Q在M位置時，取最小值，此時直線方程為，聯(lián)立，解得點Q的坐標(biāo)為,(Q為雙曲線右支上的一點)，故，故選：B模塊二：培優(yōu)試題精選【例1】已知橢圓和雙曲線有相同的焦點、，它們的離心率分別為、，點為它們的一個交點，且，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長，焦距．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義,得，,在中,根據(jù)余弦定理可得到，，與的關(guān)系式，進而可得，設(shè)則有，所以，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.【詳解】解：設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長，焦距，點為第一象限交點．則，，解得，，如圖：在中,根據(jù)余弦定理可得：，整理得，即，設(shè)則有，，所以，即有，所以，所以===，設(shè),則,令，得，所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨于時，趨于，當(dāng)趨于1時，趨于2，所以，即：.故選：C.【例2】已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線的直線與雙曲線的右支交于兩點（其中點在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由內(nèi)心的性質(zhì)，可知M，N的橫坐標(biāo)都是a，得到MN⊥x軸，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，有，將表示為θ的三角函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)可求得范圍.【詳解】設(shè)上的切點分別為H?I?J，則.由，得，∴，即.設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，由軸得點J的橫坐標(biāo)也為，則，得，則E為直線與x軸的交點，即J與E重合.同理可得的內(nèi)心在直線上，設(shè)直線的領(lǐng)斜角為，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，由題知，，因為A，B兩點在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，綜上所述，.故選：B.【例3】設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】結(jié)合向量運算、雙曲線的定義建立等量關(guān)系式，利用直線的斜率列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設(shè)為的中點，連接.易知，所以，所以.因為為的中點，所以.設(shè)，因為，所以.因為，所以.所以.因為是的中點，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因為直線的斜率為，所以，所以，，所以離心率為.故選：A【點睛】求雙曲線離心率的方法有：（1）直接法：利用已知條件將求出，從而求得離心率；（2）方程法：利用已知條件列出關(guān)于或的方程，化簡求得離心率.【例4】已知雙曲線（，）的左，右焦點分別是，，點是雙曲線右支上異于頂點的點，點在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由可得在的角平分線上，由雙曲線的定義和切線長定理可得為的內(nèi)心，再由內(nèi)心的向量表示，推得，再由雙曲線的定義和離心率公式，即可求解.【詳解】因為，所以是的角平分線，又因為點在直線上，且在雙曲線中，點是雙曲線右支上異于頂點的點，則的內(nèi)切圓圓心在直線上，即點是的內(nèi)心，如圖，作出，并分別延長、、至點、、，使得，，，可知為的重心，設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，即，又為的內(nèi)心，所以，因為，所以，，則，所以雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】三角形重心、內(nèi)心和外心的向量形式的常用結(jié)論：設(shè)的角，，所對邊分別為，，，則（1）的重心滿足；（2）的內(nèi)心滿足；（3）的外心滿足.【例5】已知直線與雙曲線交于P，Q兩點，軸于點H，直線與雙曲線C的另一個交點為T，則下列選項中錯誤的是（

）A．且 B． C．為定值 D．的最小值為2【答案】D【分析】由已知，可由雙曲線方程推導(dǎo)結(jié)論，選項A，根據(jù)雙曲線方程，可以求得漸近線方程，然后直線與雙曲線交于P，Q兩點，即可求解出的取值范圍；選項B，利用坐標(biāo)表示出，從而找到與之間的關(guān)系；選項C，由可知；選項D，利用借助基本不等式可得，故該選項錯誤.【詳解】參考結(jié)論：已知雙曲線方程為：，，是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點也在雙曲線上，則．推導(dǎo)：由得，，則，，所以解析：，，，，則選項A，雙曲線，所以漸近線方程為，直線與雙曲線交于P，Q兩點，所以，由已知，，所以該選項正確；選項B，，所以該選項正確；選項C，，∴，∴，所以該選項正確；選項D，因為，所以，故該選項錯誤；故選：D.【例6】已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點作橢圓的切線l，l與x軸交于M點，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出切線方程，與橢圓方程聯(lián)立后利用根的判別式求出，求出切線方程，從而得到M點坐標(biāo)，再聯(lián)立漸近線得到N，Q的橫坐標(biāo)，利用中點得到方程，求出，從而求出離心率.【詳解】由題意得：漸近線方程為，設(shè)切線方程為，聯(lián)立得：，由得：，解得：，所以切線方程為，令得：，所以，聯(lián)立與，解得：，聯(lián)立與，解得：，因為N為MQ的中點，所以，解得：，所以離心率為故選：A【例7】（多選題）公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為“黃金分割比”，把離心率為“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線的一個頂點為，與不在軸同側(cè)的焦點為，的一個虛軸端點為，為雙曲線任意一條不過原點且斜率存在的弦，為中點．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列說法中，正確的有（

）A． B．C． D．若，則恒成立【答案】ABC【分析】由黃金分割雙曲線定義求得雙曲線的離心率，判斷A，證明，利用射影定理證明，判斷B，利用點差法求判斷C，聯(lián)立方程求出坐標(biāo)，計算，判斷D.【詳解】由為黃金分割雙曲線可得，即，對兩邊同除以可得，則，A正確；對繼續(xù)變形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正確；設(shè)，，，將坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正確；設(shè)直線，則直線，將代入雙曲線方程，可得，則，，將換成即得，則與，的值有關(guān)，故D錯誤，故選：ABC．【點睛】點差法是解決中點弦問題的常用的方法.【例8】（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的右焦點在直線上，、分別是雙曲線的左、右頂點，點是雙曲線的右支上位于第一象限的動點，記、的斜率分別為、，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為C．為定值 D．存在點，使得【答案】ABD【分析】對于AB，利用雙曲線的概念及幾何性質(zhì)可以容易判斷；對于C，利用點在雙曲線上得到，進而直接化簡即可；對于D，利用的范圍可以判斷得范圍，進而可以判斷存在點與否.【詳解】因為雙曲線的右焦點在直線上，易得右焦點坐標(biāo)為，故，由于離心率為，則，所以，所以雙曲線方程為，故B正確；易得雙曲線漸近線方程為，故A正確；設(shè)點，又、，則，即，故，故C錯誤；因為在第一象限，則，即，即，，所以，故存在點，使得，故D正確.故選：ABD.【例9】（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，點P是雙曲線C右支上異于頂點的一點，則（

）A．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線的斜率之積為1B．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則C．若P為焦點關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點，則C的離心率為D．延長交雙曲線右支于點Q，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為、，則【答案】ABD【分析】由點在雙曲線上及斜率公式即可判斷A選項；設(shè)出，表示出，由A選項中斜率之積即可判斷B選項；利用點關(guān)于直線對稱求出點坐標(biāo)，代入雙曲線即可求出離心率，即可判斷C選項；先判斷出內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，再借助勾股定理即可判斷D選項.【詳解】由題意知，，設(shè)，對于A，若雙曲線C為等軸雙曲線，則，則，又，則，A正確；對于B，設(shè)，則，由A選項知，即，又，，故，解得，即，B正確；對于C，易得雙曲線的漸近線方程為，若P為焦點關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點，則有，解得，代入可得，即，解得，則C的離心率為，C錯誤；對于D，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于三點，由切線長定理知，則，又，可得，則和重合，即的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，同理可得的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)也為，則軸，且，作于，則即為切點，作于，則，，，在中，可得，即，整理得，D正確.故選：ABD.【例10】（多選題）已知雙曲線的左，右頂點分別為，，點P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點對稱的兩點（異于頂點），直線，，的斜率分別為，，，若，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．為定值 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】求得雙曲線C的漸近線方程判斷選項A；求得雙曲線C的離心率判斷選項B；化簡后再判斷選項C；求得的取值范圍判斷選項D.【詳解】設(shè)，則，因為，，故，依題意有，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，離心率，故選項A錯誤，選項B正確；因為點P，Q關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以，故C正確；設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，由題意可得，則，根據(jù)對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則，則，則，因為P在x軸上方，則，或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：BCD.【例11】已知，，為曲線的左、右焦點，點為曲線與曲線在第一象限的交點，直線為曲線在點處的切線，若三角形的內(nèi)心為點，直線與直線交于點，則點，橫坐標(biāo)之差為_______．【答案】【分析】由題意寫出明確兩曲線的焦點，可求得P點坐標(biāo)，進而求出P點處的切線方程，利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)求出三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)，再表示出直線的方程，聯(lián)立解得N點橫坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】由題意得，，為曲線的左、右焦點，點為曲線與曲線在第一象限的交點，即C,E有相同的焦點，則，聯(lián)立,消去，得，對于橢圓，設(shè)為橢圓上一點，令，則橢圓化為圓，即為，由圓上一點處的切線方程可知在處的切線方程為，故可得橢圓在處的切線方程為，即，故由直線為曲線在點處的切線，P點在第一象限，則，可得直線方程為①，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則由等面積可得，

②，又由于P在雙曲線上，設(shè)三角形內(nèi)切圓圓心，各邊上的切點分別為，如圖：由圓的切線性質(zhì)可得，則,即，即M點橫坐標(biāo)為1，由可得直線的方程為

③

，聯(lián)立①②③，化簡可得；又，故答案為：【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性強，涉及到知識面比較廣，計算量大，解答時要能熟練掌握切線的求解，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，并能熟練應(yīng)用橢圓以及雙曲線的幾何性質(zhì).【例12】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的右支交于A，B兩點，若，，則C的離心率為______.【答案】##【分析】設(shè)的中點為，連接，，由題意可得，，由雙曲線的定義可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出兩個角的余弦值，即可求出的關(guān)系，從而可得雙曲線C的離心率.【詳解】解：如圖：設(shè)的中點為，連接，，因為，所以，因為為的中點，所以，由，得，所以，在中，，因為，所以，在中，，因為，所以，即，整理可得，即，所以，所以或（舍），所以離心率，故答案為：.【例13】如圖，雙曲線的兩頂點為，，虛軸兩端點為，，兩焦點為，，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為,則菱形的面積與矩形的面積的比值______．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，求得，設(shè)，可得，進而求得和，即可求得的值.【詳解】因為以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，可得點到直線的距離為，又因為虛軸的兩端點為，所以，在中，由三角形的面積公式值，即，因為，可得，即，又因為，解得，設(shè)，可得，所以，在中，可得，所以，菱形的面積，所以.故答案為：.【例14】已知，是雙曲線的左?右焦點，P為曲線上一點，，e，則___________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)，結(jié)合利用余弦定理可得，再根據(jù)等面積法求得內(nèi)切圓半徑的表達式，結(jié)合正弦定理可得外接圓半徑的表達式，進而列式求解離心率即可【詳解】由題意，設(shè)，因為，故，即，根據(jù)雙曲線的定義有，故.所以的面積為.又，故.故內(nèi)切圓半徑滿足，解得.又的外接圓半徑滿足，故，由題意，即，所以，故，故，解得故答案為：【例15】已知橢圓C：的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓C過點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點A，B是橢圓C上異于點P的兩個不同的點，直線PA與PB的斜率均存在，分別記為，且，①求證：直線AB恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；②當(dāng)坐標(biāo)原點O到直線AB的距離最大時，求直線AB的方程.【答案】(1)；(2)①證明見解析，定點；②.【分析】（1）由給定的雙曲線求出a，再由橢圓過的點求解作答.（2）①直線斜率存在時，設(shè)出其方程并與C的方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合已知計算判斷，再驗證斜率不存在的情況作答；②由①中動直線，確定點O到直線AB的最大距離即可求解作答.（1）雙曲線的實半軸長為，則，即橢圓C：過點，有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，，由消去y并整理得：，，有，則，，，，，即，整理得，滿足，直線AB的方程：，即，直線AB過定點，當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，則，，，解得，直線：過點，所以直線恒過定點，此定點坐標(biāo)為.②由①知，直線過點，顯然在橢圓內(nèi)，并且為定值，因此當(dāng)且僅當(dāng)直線時，坐標(biāo)原點O到直線AB的距離最大，此時直線AB的斜率，方程為，所以直線AB的方程為.【點睛】思路點睛：與圓錐曲線相交的直線過定點問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.【例16】設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且三角形的面積為．(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個不同的點M，N，M關(guān)于x軸的對稱點為，F(xiàn)為C的右焦點，若，F(xiàn)，N三點共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個定點．【答案】(1)1；(2)證明見解析.【分析】（1）求出雙曲線C的漸近線方程，再利用給定條件列式計算作答.（2）設(shè)出直線l與x軸的交點坐標(biāo)及直線l的方程，與雙曲線C的方程聯(lián)立，借助韋達定理及向量共線求解作答.（1）雙曲線的漸近線方程為，則不妨令點，，而點O到直線AB的距離為m，因此，解得，所以．（2）由（1）知，雙曲線C的方程為，右焦點，因直線l與x軸不垂直且斜率不為0，設(shè)直線l與x軸交于點，直線l的方程為，設(shè)，則，由消去y并整理得，顯然有且，化簡得且，則，，而，F(xiàn)，N三點共線，即，則，因此，又，有，整理得，于是得，化簡得，即直線：，過定點，所以直線l經(jīng)過x軸上的一個定點．【點睛】思路點睛：與圓錐曲線相交的直線過定點問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.【例17】已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?NAM?AN的中點分別為B?C，直線OB?OC（O為坐標(biāo)原點）的斜率都存在且它們的乘積為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點A作（D為垂足），請問：是否存在定點E，使得為定值？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，定值為【分析】（1）設(shè)出M、N點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程后利用兩式相減以及斜率公式即可求得雙曲線的方程.（2）根據(jù)是否垂直分情況討論，利用直線和雙曲線方程聯(lián)立后用韋達定理即可求得為定值.（1）解：設(shè)?，線段AM?AN的中點分別為?，由已知，得；兩式相減，得，即①根據(jù)中點坐標(biāo)及斜率公式，得，，，.代入①，得②同理，得③，②③相乘，得.∵，，∴④由，與④聯(lián)立，得，，雙曲線的方程為：.（2）解：①當(dāng)時，設(shè)，，，，由AM?AN互相垂直，得，由解得（此時無實數(shù)解，故舍去），或（此時M?N至少一個點與A重合，與條件不符，故舍去）.綜上，此時無符合條件的解.②當(dāng)不成立時，設(shè)直線，?代入得，且∵∴，即，解得：或.當(dāng)時，過點，與條件不符，舍去.∴，，過定點∴AP中點，由于（D為垂足），故.綜上所述，存在定點，使得為定值.【例18】已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用焦點坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結(jié)論，進行證明即可.（1）右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設(shè),線段中點為,則,設(shè),則條件③等價于,移項并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價于，綜上所述：條件①在上，等價于；條件②等價于；條件③等價于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.模塊三：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【例1】（2021·黑龍江·雞西實驗中學(xué)高一競賽）雙曲線上任一點P到兩漸近線的距離分別為，則的積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出漸近線方程，利用點到直線的距離公式表示出，整理化簡即可.【詳解】雙曲線的兩漸近線方程為：或.設(shè)點，則，即.所以，所以.故選：A【例2】（2021·全國·高三競賽）已知的四個頂點均在雙曲線上，點在邊上，且，則的面積等于_______.【答案】【解析】【分析】由對稱性，知O為平行四邊形的中心，設(shè)，得，將點A、B的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求得A、B的坐標(biāo)，利用等面積法知，代入即可求解.【詳解】由平行四邊形的對稱性與雙曲線的對稱性，知O為平行四邊形的中心，由A、B、C、D四點在兩支雙曲線上各有兩點，不妨設(shè)A、D在左支上，B、C在右支上，如圖：考慮A、B關(guān)于雙曲線中心的對稱點，因為單支雙曲線上不存在四點構(gòu)成平行四邊形，知，所以的對稱中心為O.設(shè)，由，得.將點A、B的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，解得：或所以或.故.故答案為：【例3】（2013·黑龍江·高三競賽）設(shè)、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點，若雙曲線的右支上存在一點，使得，為坐標(biāo)原點，且，則雙曲線的離心率為（

）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由數(shù)量積為0推導(dǎo)出，在中求得，由雙曲線定義把用表示，在用正弦的定義可得離心率．【詳解】∵，∴，即，，∴，在中，∴，又，∴，，∴，，故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求雙曲線的離心率，關(guān)鍵是找到關(guān)于的齊次式，本題中利用向量的數(shù)量積得出，然后由兩直角邊比值求得一個銳角，利用雙曲線的定義用表示出直角邊，然后用直角三角形中三角函數(shù)的定義或勾股定理可得的齊次式，從而求得離心率．【例4】（2018·全國·高三競賽）已知雙曲線的左焦點為，左、右頂點為、，為雙曲線上任意一點，則分別以線段，為直徑的兩個圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上情況都有可能【答案】B【詳解】如圖所示，若在雙曲線左支，則，即圓心距為半徑之和，兩圓外切；若在雙曲線右支，則，兩圓內(nèi)切，所以兩圓相切，故選．【例5】（2021·全國·高三競賽）已知雙曲線的左右焦點為、，過的直線與雙曲線右支交于A、B兩點，則、的內(nèi)切圓面積之和的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】解析：令、的內(nèi)切圓心為、，與x軸切于M，N，則，所以M、N重合于雙曲線右頂點．過的直線與雙曲線右支交于A、B兩點，令，內(nèi)切圓面積和為．故答案為：.【例6】（2017·廣西·陸川中學(xué)高二競賽（理））設(shè)，是橢圓與雙曲線的公共焦點（、分別為左、右焦點），它們在第一象限交于點，離心率分別為和，且線段的垂直平分線過，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義列方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的離心率以及基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意可知：在第一象限，且，根據(jù)橢圓、雙曲線的定義有，兩式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.所以的最小值為.故選：D【例7】（2021·全國·高三競賽）設(shè)雙曲線的中心為O，右焦點為F，點B滿足．若在的右支上存在一點A，使得且，則離心率的取值范圍為___________．【答案】【解析】【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中考慮問題．不妨設(shè)A在第一象限．A是以O(shè)為圓心，為半徑的圓與的交點．設(shè)的左焦點為X，則，，即．在上取一點C，使，則．由雙曲線的定義知（a是實半軸長），即（c是半焦距）．代入，得．解得．故答案為：【例8】（2017·廣西·陸川中學(xué)高三競賽（理））已知、分別為雙曲線（，）的左、右焦點，圓與該雙曲線相交于點，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷出三角形是直角三角形，結(jié)合求得的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的定義列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】由，得，即以為直徑的圓，于是，即三角形是直角三角形，由于，則，于是，，由，得，所以.故選：D【例9】（2021·全國·高三競賽）雙曲線，左右頂點分別為?，P為雙曲線右支上一點，且，則___________.【答案】【解析】【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，則，故，而，故，故答案為：.【例10】（2022·江蘇蘇州·高二競賽）已知雙曲線C：（，）的左?右焦點為，，離心率為，若過的直線l與圓相切于點T，且l與雙曲線C的右支交于點P，則___________.【答案】4【分析】根據(jù)離心率得出的關(guān)系，作交于點，是的中點求得，，利用和求出可得答案.【詳解】如圖，由題可知，則,，則，因為，，所以，作交于點，因為是的中點，所以是的中點，所以，，因為，所以，即，又，可得，則，所以，，所以..故答案為：【例11】（2019·四川·高三競賽）雙曲線的右焦點為F，離心率為e，過點F且傾斜角為的直線與該雙曲線交于點A、B，若AB的中點為M，且|FM|等于半焦距，則_____.【答案】【解析】【詳解】設(shè)點，則.兩式相減，得，所以AB的斜率為.又，所以M點的坐標(biāo)為.所以，所以.故答案為：．【例12】（2018·黑龍江·高三競賽）已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線于P，Q兩點，且，，則雙曲線的離心率為________.【答案】【分析】先根據(jù)題意得，再根據(jù)雙曲線的定義得，，再在中，利用勾股定理即可求得.【詳解】解：如圖，可設(shè)為雙曲線右支上一點，由，在直角三角形中，，由雙曲線的定義可得：，由，即有，即為，，解得，，由勾股定理可得：，可得.故答案為：.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理可以找出之間的關(guān)系，求出離心率．【例13】（2019·福建·高三競賽）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，其中F1為左焦點．點P為兩曲線在第一象限的交點，e1、e2分別為曲線C1、C2的離心率，若△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，則e2﹣e1的取值范圍為_____．【答案】【分析】由是以為底邊的等腰三角形，得到，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，求得，結(jié)合離心率的概念，得出，再結(jié)合，即可求得取值