《土木工程力學(xué)》第十章 平面體系的集合組成分析

第十章平面體系的集合組成分析第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法第二節(jié)體系的幾何組成與靜定性的關(guān)系每章一練教學(xué)目標(biāo)1.掌握結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則。2.掌握結(jié)構(gòu)組成的分析方法。3.了解體系的幾何組成與靜定性的關(guān)系。第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法一、幾何不變體系和幾何可變體系在荷載作用下，不考慮材料的變形時(shí)，結(jié)構(gòu)體系的形狀和位置都不可能變化的結(jié)構(gòu)體系，稱(chēng)為幾何不變體系，如圖10-1所示，形狀和位置可能變化的結(jié)構(gòu)體系，稱(chēng)為幾何可變體系，如圖10-2所示。顯然，幾何可變體系是不能作為工程結(jié)構(gòu)使用的，工程結(jié)構(gòu)中只能使用幾何不變體系。鉸接三角形是結(jié)構(gòu)中最簡(jiǎn)單的幾何不變體系，這是因?yàn)榻M成三角形的三條邊一旦確定，那么這三條邊組成的三角形是唯一確定的，因此鉸接三角形是幾何不變體系。如果在鉸接三角形上任意減少一個(gè)部分，如將圖10-3(a)鉸接三角形ABC下一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法

拆開(kāi)，體系就成了幾何可變體系，因此鉸接三角形是幾何不變體系中最簡(jiǎn)單的。以上稱(chēng)為鉸接三角形規(guī)則，是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行組成分析最基本的規(guī)則。如果在鉸接三角形上再增加一根鏈桿AD，如圖10-3(b)所示，體系A(chǔ)BCD仍然是幾何不變體系，從維持幾何不變的角度來(lái)看，有的約束是多余的(如AD或AC等鏈桿)，這些約束稱(chēng)為多余約束。因此在幾何不變體系中又分無(wú)多余約束幾何不變體系和有多余約束幾何不變體系。綜合上述，可以得出對(duì)結(jié)構(gòu)組成分析的基本規(guī)則。下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法二、結(jié)構(gòu)組成分析的基本規(guī)則1、二元體規(guī)則

在鉸接三角形中，將一根桿視為剛片，則鉸接三角形就變成一個(gè)剛片上用兩根不共線的鏈桿在一端鉸接成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這種結(jié)構(gòu)叫做二元體結(jié)構(gòu)(圖10-4)。于是鉸接三角形規(guī)則可表達(dá)為二元體規(guī)則:一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)剛片用兩根不共線的鏈桿相連，可組成幾何不變體系，且無(wú)多余約束。2、兩剛片規(guī)則若將鉸接三角形中的桿AB和桿BC均視為剛片，桿AC視為兩剛片間的約束(圖10-5)，于是鉸接三角形規(guī)則可表達(dá)為，兩剛片規(guī)則:兩剛片間用一個(gè)鉸和一根不通過(guò)此鉸的鏈桿相連，下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法

可組成幾何不變體系，且無(wú)多余約束。圖10-6(a)表示兩剛片用兩根不平行的鏈桿相連，兩鏈桿的延長(zhǎng)線相交于A點(diǎn)，兩剛片可繞A點(diǎn)做微小的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這種連接方式相當(dāng)于在A點(diǎn)有一個(gè)鉸把兩剛片相連。當(dāng)然，實(shí)際上在A點(diǎn)沒(méi)有鉸，所以把4點(diǎn)叫做“虛鉸”。如在剛片I，II之間加一根不通過(guò)A的鏈桿3(圖10-6(b))，就組成幾何不變體系，且無(wú)多余約束。3、三剛片規(guī)則若將鉸接三角形中的三根桿均視為剛片(圖10-7)，則有三剛片規(guī)則:三剛片間用不在同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相連，可組成幾何不變體系，且無(wú)多余約束。下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法根據(jù)上述簡(jiǎn)單規(guī)則，可逐步組成更為復(fù)雜的幾何不變體系，也可用這些規(guī)則來(lái)判別給定體系的幾何不變性。在上述組成規(guī)則中，都提出了一些限制條件。如果不能滿(mǎn)足這些條件，將會(huì)出現(xiàn)下面所述的情況。下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法三、瞬變體系如一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)剛片用兩根共線的鏈桿相連，如圖10-8，從約束的布置上就可以看出是不合理的，因?yàn)閮涉湕U都在同一水平上，因此，對(duì)限制A點(diǎn)的水平位移來(lái)說(shuō)具有多余約束，而在豎向卻沒(méi)有約束，A點(diǎn)可沿豎向移動(dòng)，體系是可變的。不過(guò)當(dāng)鉸A發(fā)生微小移動(dòng)至A’時(shí)，兩根鏈桿將不再共線，運(yùn)動(dòng)將不繼續(xù)發(fā)生。這種在某一瞬間可以發(fā)生微小位移的體系稱(chēng)為瞬變體系，有時(shí)瞬變體系在受力時(shí)會(huì)對(duì)桿件產(chǎn)生巨大的內(nèi)力，使構(gòu)件發(fā)生破壞，因此瞬變體系不能作為結(jié)構(gòu)使用。下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法如圖10-9(a)所示的兩個(gè)剛片用三根鏈桿相連，鏈桿的延長(zhǎng)線全交于O點(diǎn)，此時(shí)，兩個(gè)剛片可以繞O點(diǎn)作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但在發(fā)生一微小轉(zhuǎn)動(dòng)后，三根鏈桿就不再全交于一點(diǎn)，從而將不再繼續(xù)作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，故是瞬變體系。又如圖10-9(b)所示的兩個(gè)剛片用三根相互平行但不等長(zhǎng)的鏈桿相連，此時(shí)，兩個(gè)剛片可以沿著與鏈桿垂直的方向發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，但在發(fā)生一微小轉(zhuǎn)動(dòng)后，三根鏈桿就不再全交于一點(diǎn)，從而將不再繼續(xù)作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，故是瞬變體系。又如圖10-9(b)所示的兩個(gè)剛片用三根相互平行但不等長(zhǎng)的鏈桿相連，此時(shí)，兩個(gè)剛片可以沿著與鏈桿垂直的方向發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，但在發(fā)生一微下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法

小移動(dòng)后，此三根鏈桿就不再互相平行，故這種體系也是瞬變體系。應(yīng)該注意到，若這三根鏈桿等長(zhǎng)并且是從其中一個(gè)剛片沿同一方向引出時(shí)，如圖10-9(c)所示，則在兩個(gè)剛片發(fā)生相對(duì)移動(dòng)后，這三根鏈桿仍保持相互平行，則運(yùn)動(dòng)將繼續(xù)發(fā)生，這樣的體系就是幾何可變體系。下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法四、結(jié)構(gòu)組成的分析方法

幾何不變體系的組成規(guī)則，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)組成分析的依據(jù)。對(duì)體系重復(fù)使用這些規(guī)則，就可判定結(jié)構(gòu)體系是否是幾何不變體系及有無(wú)多余約束等問(wèn)題。分析時(shí)，一般先從能直接觀察出的幾何不變部分開(kāi)始，應(yīng)用組成規(guī)律，逐步擴(kuò)大不變部分直至整體。在前面學(xué)習(xí)中遇到的結(jié)構(gòu)大部分是無(wú)多余約束的幾何不變的結(jié)構(gòu)體系，如簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)、懸臂結(jié)構(gòu)和三鉸結(jié)構(gòu)等。很多結(jié)構(gòu)體系中有一部分結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)組成上述結(jié)構(gòu)，這部分結(jié)構(gòu)通常稱(chēng)為結(jié)構(gòu)體系的基本部分，這是應(yīng)該首先觀察出來(lái)的。其他部分稱(chēng)為附屬部分，可以通過(guò)應(yīng)用組成規(guī)律對(duì)其進(jìn)行判斷。對(duì)于較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，為了便于分析，可先拆除下一頁(yè)上一頁(yè)返回第一節(jié)結(jié)構(gòu)組成的集合規(guī)則和分析方法

不影響幾何不變性的部分(如二元體);對(duì)于形狀復(fù)雜的構(gòu)件，可用直桿等效替代，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

例10-1試對(duì)圖10-10所示結(jié)構(gòu)，進(jìn)行組成分析。

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解:通過(guò)直接觀察可以看到桿ABC是簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)，桿ABC由鉸A、鏈桿B和基礎(chǔ)相連，由二剛片規(guī)則，桿ABC和基礎(chǔ)組成無(wú)多余約束的幾何不變體系，從而形成擴(kuò)大基礎(chǔ)I。桿CDE由鉸C、鏈桿D和擴(kuò)大基礎(chǔ)相連，由二剛片規(guī)則，桿CDE和擴(kuò)大基礎(chǔ)組成無(wú)多余約束的幾何不變體系，使基礎(chǔ)進(jìn)一步擴(kuò)大為且，最后桿EF和鏈桿F作為二元體，因此整個(gè)結(jié)構(gòu)是幾何不變體系且無(wú)多余約束。此例中桿ABC是結(jié)構(gòu)的基本部分，其他是結(jié)構(gòu)的附屬部分。上一頁(yè)返回第二節(jié)體系的幾何組成與靜定系的關(guān)系所謂體系即物體系統(tǒng)是指由若干個(gè)物體通過(guò)約束按一定方式連接而成的系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，組成系統(tǒng)的每個(gè)物體也必將處于平衡狀態(tài)。一般而言，系統(tǒng)由n個(gè)物體組成，如每個(gè)物體都是受平面一般力系作用，則共可列出3n，個(gè)獨(dú)立的平衡方程。

?系統(tǒng)中如所研究的平衡問(wèn)題未知量大于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，僅用平衡方程就不可能全部解出，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為超靜定問(wèn)題，這類(lèi)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為超靜定結(jié)構(gòu)

?如未知量均可用平衡方程解出的系統(tǒng)平衡問(wèn)題，稱(chēng)為靜定問(wèn)題，這類(lèi)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為靜定結(jié)構(gòu)下一頁(yè)返回第二節(jié)體系的幾何組成與靜定系的關(guān)系我們也可以通過(guò)結(jié)構(gòu)幾何組成分析對(duì)靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)重新加以認(rèn)識(shí):?無(wú)多余約束的幾何不變體系組成的結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)轶w系的約束剛好限制了體系所有可能運(yùn)動(dòng)方式，體系的平衡方程數(shù)目和約束數(shù)目剛好相等，因此未知量均可用平衡方程解出。

?有多余約束的幾何不變體系則不能用平衡方程全部解出結(jié)構(gòu)的未知量，是超靜定結(jié)構(gòu)，多余約束的個(gè)數(shù)就是超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，求解時(shí)必須通過(guò)其他條件補(bǔ)充相應(yīng)的方程進(jìn)行求解。上一頁(yè)返回每章一練

1、什么是幾何可變體系和幾何瞬變體系?這兩種體系為何不能用于工程結(jié)構(gòu)?

2、可以承受荷載的結(jié)構(gòu)必須是什么體系?3、三剛片規(guī)則中，連接三剛片的三個(gè)鉸應(yīng)滿(mǎn)足什么要求?

4、二剛片規(guī)則中，用兩根鏈桿替代鉸，那么連接二剛片的三鏈桿應(yīng)滿(mǎn)足什么要求，才能使二剛片組成幾何不變體系?5、從幾何組成分析上來(lái)看，靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)有何異同點(diǎn)?6、試對(duì)圖10-16所示各梁進(jìn)行幾何組成分析。

7、試對(duì)圖10-17所示各剛架進(jìn)行幾何組成分析。

8、試對(duì)圖10-18所示各析架進(jìn)行幾何組成分析。

9、試對(duì)圖10-19所示各拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何組成分析。返回圖10-1幾何不變體系返回圖10-2幾何可變體系返回圖10-3(a)鉸接三角形返回圖10-3(b)鉸接三角形返回圖10-4二元體結(jié)構(gòu)返回圖10-5兩鋼片間的約束返回