點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 省賽獲獎(jiǎng)

任務(wù):運(yùn)動(dòng)學(xué)單純從幾何觀點(diǎn)描述物體在空間的位置隨時(shí)間變化的幾何性質(zhì)——運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度、加速度等。運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性：參照物-----參考體------參考坐標(biāo)系------參考系對(duì)任何物體運(yùn)動(dòng)的描述都是相對(duì)的。點(diǎn)、剛體點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一.點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)軌跡：點(diǎn)所走過的路線xo·Mxx=x（t）運(yùn)動(dòng)方程：平均速度：加速度：速度：β在直線運(yùn)動(dòng)中,v、a都是代數(shù)量，當(dāng)v、a同號(hào)時(shí)，點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，否則反之。建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)的關(guān)鍵。若a為常量,則有:例:曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖,求滑塊B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、速度及加速度。oBArlωt

解：分析要求點(diǎn)的軌跡——若為直線運(yùn)動(dòng)，則建立直線軸x，取一固定點(diǎn)作為原點(diǎn)，將要求點(diǎn)置于坐標(biāo)軸上任意位置（不要放在特殊位置），標(biāo)出動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的位置坐標(biāo)S，純粹用幾何方法找出S的長(zhǎng)度，并表成時(shí)間t的函數(shù)，即為運(yùn)動(dòng)方程。Sx∴x=rcosωt+lcosβ而v、a同學(xué)們自己求。二.點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)一.矢徑法:(用于理論推導(dǎo))Mr·Or

'

ΔrM'

r=r

(t)運(yùn)動(dòng)方程：矢端所描出的曲線即為M點(diǎn)的軌跡.平均速度:速度:加速度：二、直角坐標(biāo)法(多用于軌跡為未知之情形)Mr·r=xi+yj+zkkji（x，y，z）（x’，y’，z’）

xyz0M'

·x=x（t）y=y（t）Z=z（t）運(yùn)動(dòng)方程：例：半徑為r的圓輪放在粗糙的水平面上，輪心A以勻速v0前進(jìn)，求輪緣上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。v0A·O·M解：①在輪緣上任取一點(diǎn)M（不能是特殊點(diǎn)）；xy②找一固定點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)，標(biāo)出M點(diǎn)的位置坐標(biāo)；DBCθ③純粹用幾何方法找出該坐標(biāo)的長(zhǎng)度，最終表為時(shí)間t的函數(shù)--------即為運(yùn)動(dòng)方程。x=OC=OB-CBy=MC=AB-AD=vot-rsinθ=r-rcosθ速度、加速度請(qǐng)同學(xué)們做。三、自然坐標(biāo)法(用于軌跡為已知之情形):1、弧坐標(biāo)、運(yùn)動(dòng)方程S(+)Ms=s(t)oS：弧坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程：自然法：用弧坐標(biāo)描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法稱為弧坐標(biāo)法或自然坐標(biāo)法，簡(jiǎn)稱自然法。2、曲率、自然軸系MoTM

'

T

'

ΔθΔsT

''

把MM'段曲線的平均彎曲程度用K*表示K*│Δs│Δθ=———平均曲率:曲率:曲率半徑:·Δr自然軸系:對(duì)于空間任意曲線,其上任一點(diǎn)都有自己的切線和法線,以弧坐標(biāo)增加的方向規(guī)定為切線的正向,沿切線的單位矢量記為τ,規(guī)定過切點(diǎn)指向曲率中心的方向?yàn)橹鞣ň€方向,沿主法線的單位矢量記為n,再取

b=τ×n為第三個(gè)矢量,稱為付法線,此三軸即為自然軸系.自然軸系為流動(dòng)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，τ、n

、b是變矢量,其方向隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而改變。Mbτno(+)3、速度MoτM

'

Δs(+)r

'

rO'

r0

4、加速度·ΔτMoτM

'

Δs(+)τ'

τ'

ΔθnCe字母頂上加“—”表示矢量，以下同。切向加速度:法向加速度:全加速度:aτanaα全加速度始終位于曲線內(nèi)凹的一側(cè).特殊地:①ρ=∞,an=0,直線運(yùn)動(dòng),a=aτ,直線運(yùn)動(dòng)不必表為弧坐標(biāo).②.v=常量,aτ=0,勻速曲線運(yùn)動(dòng),a=a.n③.勻變速曲線運(yùn)動(dòng),aτ=常量,則有:例1:點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),速度為v,其加速度a與曲率圓所截的弦MA=l,求證此時(shí)解:依題意畫圖,CAMlravα例2:點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),其速度v在某一固定方向的投影為常量C,求證其加速度,ρ為曲線在M點(diǎn)處的曲率半徑.

Mvnyxα解:依題意畫圖,a兩式相除即得結(jié)果.概念題：點(diǎn)M做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程曲線為x-t曲線，問速度曲線v-t有幾處明顯錯(cuò)誤?x(t)tt1v(t)tOOt2t3以后為直線答:①t=0，v≠0②t=t1，v=0③t=t2，v=0④t1＜t＜t2

，v＜0⑤t＞t3

，v=CMv

沿切線判斷正誤:①點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為x=Asinωt,A、ω為常數(shù)，則M點(diǎn)的軌跡必為正弦曲線。②左圖中動(dòng)點(diǎn)M作加速運(yùn)動(dòng)，右圖中動(dòng)點(diǎn)M作減速運(yùn)動(dòng).a沿法線.v

沿切線aM③下列三圖中，點(diǎn)沿已知曲線運(yùn)動(dòng)，圖上標(biāo)注的v、a

是否可能?

v沿切線avava切線切線概念題：

1)點(diǎn)做何種運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)下列情況之一：

2）點(diǎn)M沿螺線以勻速v自外向里運(yùn)動(dòng)，問該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度是越來越大？還是越來越??？

勻速直線運(yùn)動(dòng).vM勻速曲線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)

①aτ≡0②an≡0③

a

≡0概念題：

1)圖示點(diǎn)沿曲線(不是直線)運(yùn)動(dòng)，已知

a為常矢量。問點(diǎn)作下列何種運(yùn)動(dòng)？勻變速運(yùn)動(dòng)。②非勻變速運(yùn)動(dòng)。③勻速運(yùn)動(dòng)。

2）判斷正誤①點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，必有②點(diǎn)作勻速曲線（不是直線）運(yùn)動(dòng)，則（a）

a=0

（b）=常矢量（c）=常量（d）v=常矢量①aaaanaτ

例：點(diǎn)沿拋物線y2=4px運(yùn)動(dòng)，沿y方向的速度為常量C，求vx及加速度a。解：軌跡方程兩邊對(duì)t求導(dǎo)，例：點(diǎn)沿半徑為R的圓周作勻加速運(yùn)動(dòng)，v0=0，全加速度a

與切線的夾角為α，以β表示點(diǎn)所走過的弧s所對(duì)的圓心角，求證：

tgα=2βαaβs解：根據(jù)題意畫圖：兩式相除：∴tgα=2β