高二數學配套練習：3.4《不等式的實際應用》（新人教B版必修五）

第三章3.4一、選擇題1．將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少20個，為獲得最大利潤，售價應定在()A．每個95元 B．每個100元C．每個105元 D．每個110元[答案]A[解析]設每個漲價x元，則利潤y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000，∴當x＝eq\f(200,40)＝5時，y取得最大值．故每個售價為95元時利潤最大．2．在面積為S(S為定值)的扇形中，當扇形中心角為θ，半徑為r時，扇形周長最小，這時θ、r的值分別是()A．θ＝1，r＝eq\r(S) B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S) D．θ＝2，r＝eq\r(S)[答案]D[解析]S＝eq\f(1,2)θr2?θ＝eq\f(2S,r2)，又扇形周長P＝2r＋θr＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＋\f(S,r)))≥4eq\r(S)，當P最小時，r＝eq\f(S,r)?r＝eq\r(S)，此時θ＝2.3．設計用32m2的材料制造某種長方體車廂(無蓋)，按交通規(guī)定車廂寬為2m，則車廂的最大容積是A．(38－3eq\r(73))m3 B．16m3C．4eq\r(2)m3 D．14m3[答案]B[解析]設長方體長為am，高為hm，則有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah∴16≥2eq\r(2ah)＋ah，即(eq\r(ah))2＋2eq\r(2)·eq\r(ah)－16≤0，解得0<eq\r(ah)≤2eq\r(2)，∴ah≤8，∴V＝2ah≤16.4．做一個面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵架框，在下面四種長度的鐵管中，最合理(夠用，又浪費最少A．m B．C．5m[答案]C[解析]設直角三角形兩直角邊長分別為x，y，則eq\f(1,2)xy＝1，即xy＝2.周長l＝x＋y＋eq\r(x2＋y2)≥2eq\r(xy)＋eq\r(2xy)＝(1＋eq\r(2))×2≈4.83，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號．考慮到實際問題，故選C．二、填空題5．光線透過一塊玻璃，其強度要減弱eq\f(1,10).要使光線的強度減弱到原來的eq\f(1,3)以下，至少需這樣的玻璃板________塊．(參考數據：lg2＝，lg3＝)[答案]11[解析]設至少需要經過這樣的n塊玻璃板，則，(1－eq\f(1,10))n<eq\f(1,3)，即n·lgeq\f(9,10)<lgeq\f(1,3)∴n>eq\f(lg\f(1,3),lg\f(9,10))＝eq\f(－lg3,2lg3－1)＝eq\,2×0.4771－1)≈10.45.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．一個矩形的周長為l，面積為S，給出下列實數對：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，eq\f(1,2))．其中可作為(l，S)的取值的實數對的序號是________．[答案]①④[解析]依題意，設矩形的長、寬分別為a、b，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,2)l,ab＝S))，即l＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4eq\r(S)，eq\f(l,\r(S))≥4.對于①，eq\f(4,\r(1))＝4；對于②，eq\f(8,\r(6))<eq\f(8,\r(4))＝4；對于③，eq\f(10,\r(8))＝eq\f(5,\r(2))<eq\f(\r(32),\r(2))＝4；對于④，eq\f(3,\f(1,\r(2)))＝3eq\r(2)>4.因此，其中可作為(l，S)的取值的實數對的序號是①④.三、解答題7．某企業(yè)生產一種機器的固定成本(即固定投入)，但每生產1百臺時又需可變成本(即需另增加投入)，市場對此商品的需求量為5百臺，銷售的收入函數為R(x)＝5x－eq\f(1,2)x2(萬元)，(0≤x≤5)，其中x是產品生產并售出的數量．(單位：百臺)(1)把利潤表示為年產量的函數；(2)年產量為多少時，企業(yè)所得利潤最大？(3)年產量多少時，企業(yè)才不虧本．(不賠錢)?[解析](1)設利潤為y.則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Rxx0≤x≤5,R5xx＞5))，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2x0≤x≤5,xx＞5)).(2)y＝－eq\f(1,2)(x)2∴x＝4.75時，即年產量為475臺時企業(yè)所得利潤最大．(3)要使企業(yè)不虧本，須y＞0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＜5,－\f(1,2)x2x－0.5＞0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0,x≥5)).2．65＜x＜5或5≤x＜48，即2.65＜x＜48.∴年產量在265臺至4800臺時，企業(yè)才會不虧本.一、選擇題1．某地2014年第一季度應聘和招聘人數排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下：行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿易應聘人數2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應聘人數和招聘人數比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據表中數據，就業(yè)形勢一定是()A．計算機行業(yè)好于化工行業(yè) B．建筑行業(yè)好于物流行業(yè)C．機械行業(yè)最緊張 D．營銷行業(yè)比貿易行業(yè)緊張[答案]B[解析]就業(yè)情況＝eq\f(應聘人數,招聘人數)，計算機就業(yè)形式＝eq\f(215830,124620)＞1，化工業(yè)就業(yè)形式＝eq\f(應聘人數,70436)＜eq\f(65280,70436)＜1，則A不合適．同理，建筑行業(yè)就業(yè)形式＝eq\f(應聘人數,76516)＜eq\f(65280,76516)＜1，物流業(yè)就業(yè)形式＝eq\f(74570,招聘人數)＞eq\f(74570,70436)＞1.2．某公司從2006年起每人的年工資主要由三個項目組成并按下表規(guī)定實施：項目計算方法基礎工資2006年1萬元，以后每年逐增10%住房補貼按工齡計算：400元×工齡醫(yī)療費每年1600元固定不變若該公司某職工在2008年將得到的住房補貼與醫(yī)療費之和超過基礎工資的25%，到2008年年底這位職工的工齡至少是()A．2年 B．3年C．4年 D．5年[答案]C[解析]設這位職工工齡至少為x年，400x＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x＋1600＞3025，即x＞3.5625，所以至少為4年．二、填空題3．現有含鹽7%的食鹽水200克，生產上需要含鹽5%以上、6%以下的食鹽水，設需要加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是__________．[答案]100＜x＜400[解析]由題意可列式5%<eq\f(7%×200＋4%×x,200＋x)<6%，即5<eq\f(1400＋4x,200＋x)<6解得100<x<400.4．周長為2的直角三角形的面積的最大值為________．[答案]3－2eq\r(2)[解析]設直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S＝eq\f(1,2)aB．由已知，得a＋b＋c＝2，∴a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝2，∴2＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(2,2＋\r(2))＝2－eq\r(2)，∴ab≤(2－eq\r(2))2＝6－4eq\r(2)，∴S＝eq\f(1,2)ab≤3－2eq\r(2)，當且僅當a＝b＝2－eq\r(2)時，S取最大值3－2eq\r(2).三、解答題5．假設國家收購某種農副產品的價格是120元/擔，其中征稅標準是每100元征稅8元(叫做稅率是8個百分點，即8%)，計劃收購m萬擔，為了減輕農民負擔，決定稅率降低x個百分點，預計收購量可增加2x個百分點，要使此項稅收在稅率降低后不低于原計劃的78%，試確定x的取值范圍．[解析]稅率降低后是(8－x)%，收購量為m(1＋2x%)萬擔，稅收為120m(1＋2x%)(8－x)%萬元，原來的稅收為120m·8%萬元．根據題意可得120m(1＋2x%)(8－x)%≥120m·8%·78%即x2＋42x－88≤0解之得－44≤x≤2，又x＞0，∴0＜x≤2∴x的取值范圍是(0,2]．6.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架圍成的總面積8m2.問x、y分別為多少時用料最??？(精確到)[解析]由題意得xy＋eq\f(1,4)x2＝8，∴y＝eq\f(8－\f(x2,4),x)＝eq\f(8,x)－eq\f(x,4)(0＜x＜4eq\r(2))．于是，框架用料長度為l＝2x＋2y＋2(eq\f(\r(2),2)x)＝(eq\f(3,2)＋eq\r(2))x＋eq\f(16,x)≥4eq\r(6＋4\r(2)).當(eq\f(3,2)＋eq\r(2))x＝eq\f(16,x)，即x＝8－4eq\r(2)時等號成立．此時，x≈2.343，y＝2eq\r(2)≈2.828.故當x為，y為時，用料最?。?．某漁業(yè)公司年初用98萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用為12萬元，以后每年增加4萬元，每年捕魚收益50萬元．(1)問第幾年開始獲利？(2)若干年后，有兩種處理方案：①年平均獲利最大時，以26萬元出售該漁船；②總純收入獲利最大時，以8萬元出售該漁船．問哪種方案最合算？[解析]由題設知每年的費用是以12為首項，4為公差的等差數列．設純收入與年數的關系為f(n)，則f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n2－20n＋49<0，∴10－