向量及向量加減法

向量及向量加減法向量及向量加減法/NUMPAGES21向量及向量加減法向量及向量加減法學(xué)習(xí)目的：

1.理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；

2.理解向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；

3.了解平行向量、共線(xiàn)向量和相等向量的意義，并會(huì)判斷向量間平行（共線(xiàn)）、相等的關(guān)系；

4.通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的向量和數(shù)量有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證思想和分析辨別能力.

5．掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量；

6．掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算；

7．明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量；

8．在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；

9．通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．學(xué)習(xí)內(nèi)容:

向量這部分知識(shí)是新內(nèi)容，但我們已經(jīng)接觸過(guò)了.同學(xué)們?cè)谖锢淼恼n程學(xué)習(xí)過(guò)矢量的概念，它與我們要學(xué)的向量是一致的（知識(shí)是相通的），即使在數(shù)學(xué)中，前一段我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)線(xiàn)時(shí)講過(guò)有向線(xiàn)段，實(shí)際上向量就是用有向線(xiàn)段表示的.學(xué)習(xí)難點(diǎn):

向量的加法運(yùn)算

一、向量的概念

向量:既有大小又有方向的量.通常用有向線(xiàn)段表示，其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，顯然表示不同的向量；有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用||表示，顯然，既有向線(xiàn)段的起、終點(diǎn)決定向量的方向，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度決定向量的大小.

注意:向量的長(zhǎng)度||又稱(chēng)為向量的模；長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過(guò)平移到同一條直線(xiàn)上，因此平行向量也叫共線(xiàn)向量.

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等，任意兩個(gè)相等的非零向量可經(jīng)過(guò)平移的過(guò)程重合在一起，既可用一個(gè)有向線(xiàn)段表示，而與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

二、向量的加法

1．向量加法的平行四邊形法則平行四邊形ABCD中，向量的和為.記作:.

2．向量加法的三角形法則

根據(jù)向量相等的定義有:，既在ΔADC中，，首尾相連的兩個(gè)向量的和是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).

規(guī)定:零向量與向量的和等于.

三、向量的減法

向量與向量叫做相反向量.記作:.則，既用加法法則來(lái)解決減法問(wèn)題.例題選講第一階梯

[例1]判斷下列命題的真假：

①直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)軸都是向量；

②兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件；

③向量與是共線(xiàn)向量，則、、、必在同一直線(xiàn)上；

④向量與向量平行，則與的方向相同或相反；

⑤四邊形是平行四邊形的充要條件是．

分析：

判斷上述五個(gè)命題的真假性，需細(xì)心辨別才能識(shí)其真面目．

解：

①直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸，雖有方向之別，但無(wú)大小之分，故命題是錯(cuò)誤的．

②由于兩個(gè)向量相等，必知這兩個(gè)向量的方向與長(zhǎng)度均一致，故這兩個(gè)向量一定平行，所以，此命題正確；

③不正確．∵與共線(xiàn)，可以有與平行；

④不正確．如果其中有一個(gè)是零向量，則其方向就不確定；

⑤正確．此命題相當(dāng)于平面幾何中的命題：四邊形是平行四邊形的充要條件是有一組對(duì)邊平行且相等．

[例2]下列各量中是向量的有_______________.

A、動(dòng)能

B、重量

C、質(zhì)量

D、長(zhǎng)度

E、作用力與反作用力

F、溫度

分析：

用向量的兩個(gè)基本要素作為判斷的依據(jù)注意對(duì)物理量實(shí)際意義的認(rèn)識(shí).

解:

A，C，D，F(xiàn)只有大小，沒(méi)有方向，而B(niǎo)和F既有大小又有方向，故為向量.

[例3]命題“若，，則．”（

）

A．總成立B．當(dāng)時(shí)成立C．當(dāng)時(shí)成立D．當(dāng)時(shí)成立

分析：

這里要作出正確選擇，就是要探求題中命題成立的條件．∵零向量與其他任何非零向量都平行，∴當(dāng)兩非零向量、不平行而時(shí)，有，，但這時(shí)命題不成立，故不能選擇A，也不能選擇B與D，故只能選擇C．

答案：C第二階梯

[例1]如圖1所示，已知向量，試求作和向量．

分析：

求作三個(gè)向量的和的問(wèn)題，首先求作其中任兩個(gè)向量的和，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，然后再求這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和．即先作，再作．

解：

如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作向量，再作向量，則得向量，然后作向量，則向量即為所求．

[例2]化簡(jiǎn)下列各式

(1)；

(2)．

分析：

化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法①是利用幾何方法通過(guò)作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；②是利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量．

解：

(1)原式=

(2)原式=．

[例3]用向量方法證明：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形．

分析：

要證明四邊形是平行四邊形只要證明某一組對(duì)邊平行且相等．由相等向量的意義可知，只需證明其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的向量是相等向量．(需首先將命題改造為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言)

已知：如圖3，ABCD是四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于O，且AO=OC，DO=OB．

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

證明：由已知得，

，且A，D，B，C不在同一直線(xiàn)上，故四邊形ABCD是平行四邊形．第三階梯

例1．下列命題:

（1）單位向量都相等；

（2）若，則；

（3）若ABCD為平行四邊形，則；

（4）若，則.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A、0B、1C、2D、3

解:（1）不正確.單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同；（2）不正確.可能在同一條直線(xiàn)上；（3）不正確.平行四邊形ABCD中，；（例2．若O為正三角形ABC的中心，則向量是（）.

A、有相同起點(diǎn)的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量

解:的起點(diǎn)不同，不平行也不相等.由正三角形的性質(zhì):.選C.

例3．某人向東走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.

解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:

例4．求證對(duì)角線(xiàn)互相平分的平面四邊形是平行四邊形.

已知:，求證:ABCD為平行四邊形.

證明:由加法法則:，

∵，∴，即線(xiàn)段AB與DC平行且相等，

∴ABCD為平行四邊形.

例5．非零向量中，試比較的大小.

解:（1）共線(xiàn)時(shí)，

①時(shí)，

②時(shí)，.

（2）不共線(xiàn)時(shí)，，

，

∵

即，

綜上：∴

課外練習(xí):

1．若兩個(gè)向量不相等，則這兩個(gè)向量（）.

A、不共線(xiàn)B、長(zhǎng)度不相等

C、不可能均為單位向量D、不可能均為零向量

2．四邊形RSPQ為菱形，則下列可用一條有向線(xiàn)段表示的兩個(gè)向量是（）.

A、B、

C、D、

3．“兩個(gè)向量共線(xiàn)”是“這兩個(gè)向量相等”的（）.

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

4．O是四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若，則四邊形ABCD是（）.

A、等腰梯形B、平行四邊形C、菱形D、矩形

5．若O是ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，，則O是ΔABC的（）.

A、內(nèi)心B、外心C、垂心D、重心

6．ΔABC中，=（）.

A、B、C、D、

7．平行四邊形ABCD中，E、F為AB，CD中點(diǎn)，圖中7個(gè)向量中，與相等的向量是________；與相等的向量是______；與平行的向量是_______；與平行的向量是_____.

8．已知:首尾相接的四個(gè)向量.

求證:.S

參考答案:

1.D2.B3.B4.B5.D6.B

7.

8.證明:∵，

，

∴.測(cè)試選擇題

1．已知向量a=(3,m)的長(zhǎng)度是5，則m的值為（）.

A、4B、-4C、±4D、16

2．下面有四個(gè)命題：（1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等.（2）任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng).（3）所有的單位向量都相等.（4）兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量，其終點(diǎn)必相同.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）.

A、4B、3C、2D、1

3．在下列命題中，正確的是（）.

A、若||>||，則>B、||=||，則=

C、若=，則與共線(xiàn)D、若≠，則一定不與共線(xiàn)

4．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）.

A、零向量是沒(méi)有方向的B、零向量的長(zhǎng)度為0

C、零向量與任一向量平行D、零向量的方向是任意的

5．如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則和相等的向量的個(gè)數(shù)是（）.

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)答案與解析答案：1、C2、B3、C4、A5、B

解析：

1．答案：C.因?yàn)閨a|所以

2．答案：B.(1)對(duì).因?yàn)榕c是指同一條線(xiàn)段，因此長(zhǎng)度相等．

(2)對(duì)．這是由相等向量推導(dǎo)出的結(jié)論．(3)錯(cuò).因?yàn)閱挝幌蛄恐灰竽ｉL(zhǎng)等于1，方向不作要求，因此不一定相等．(4)對(duì)．因?yàn)橄嗟认蛄靠梢越?jīng)過(guò)平移至完全重合．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

3．答案：C.A錯(cuò)．因?yàn)橄蛄坑写笮『头较騼蓚€(gè)要素．無(wú)法比較大?。瓸錯(cuò)．相等向量不僅要模長(zhǎng)相等，方向也要相同．C對(duì)．相等向量方向一定相同，因此共線(xiàn)．D錯(cuò)．因?yàn)橄蛄坎幌嗟?，可能僅由于模長(zhǎng)不等，方向仍可能是相同的，所以與有共線(xiàn)的可能．

4．答案：A.零向量是規(guī)定了模長(zhǎng)為0的向量．零向量的方向沒(méi)有規(guī)定，是任意的，可以看作和任一向量共線(xiàn)．零向量絕不是沒(méi)有方向．

5．答案：B.根據(jù)向量相等的條件.

向量重點(diǎn)難點(diǎn)

了解向量可以根據(jù)需要自由平移的特點(diǎn)是今后運(yùn)用向量方法解決問(wèn)題的前提條件之一，也因此，平行向量也叫共線(xiàn)向量．要根據(jù)向量的有關(guān)概念從圖形中找出相等的向量和共線(xiàn)的向量．因此，要加強(qiáng)訓(xùn)練觀察一些常見(jiàn)圖形．

以下三個(gè)問(wèn)題上常出現(xiàn)錯(cuò)誤：一是用表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母表示向量時(shí)，一定注意搞清字母順序，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后，例如與是大小相同，方向相反的兩個(gè)向量，二是零向量的方向是任意的，而不是沒(méi)有方向，因此有關(guān)零向量的方向問(wèn)題一般要注意規(guī)定，例如命題：與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，是錯(cuò)誤的，因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾模逝c的方向沒(méi)有任何關(guān)系，因此也無(wú)法判斷是否共線(xiàn)，三是注意區(qū)別平行向量與平面幾何中直線(xiàn)平行的概念，前者相當(dāng)于兩直線(xiàn)位置關(guān)系中的平行和重合兩種情況，例如錯(cuò)誤地認(rèn)為平行向量不可能是共線(xiàn)向量，其實(shí)這兩個(gè)概念是同一個(gè)概念.

典型題目

例1下列說(shuō)法中正確的是（）.

A．向量與向量共線(xiàn)，向量與向量共線(xiàn)，則向量與向量共線(xiàn)

B、任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

C、向量與不共線(xiàn)，則與所在直線(xiàn)的夾角為銳角

D、始點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量不平行

答案：A

點(diǎn)評(píng)：向量共線(xiàn)即方向相同或相反，故非零向量間的共線(xiàn)關(guān)系是可以傳遞的．共線(xiàn)向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直線(xiàn)上.而相等向量是共線(xiàn)的，故B中四點(diǎn)可能在同一直線(xiàn)上，向量不共線(xiàn)，僅指其所在直線(xiàn)不平行或不重合，夾角可能是直角，而選項(xiàng)D中向量是否共線(xiàn)與始點(diǎn)位置無(wú)關(guān)．

例2“兩個(gè)向量共線(xiàn)”是“這兩個(gè)向量方向相反”的()條件

A.充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

答案：B

點(diǎn)評(píng)：向量共線(xiàn)即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．

例3下面有四個(gè)命題：(1)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)．(2)兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件．(3)若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等．(4)溫度含有零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量，其中真命題的個(gè)數(shù)為()．

A．0B．1C．2D．3

答案：B

點(diǎn)評(píng)：只有(2)是正確的，因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行只是指這兩個(gè)向量在方向上是相同或相反的．方向相反則不可能是相等向量．即使方向相同，對(duì)于大小也沒(méi)有要求，依然無(wú)法判定兩個(gè)向量是否相等．而兩個(gè)相等向量的方向一定相同，必是平行向量．(1)錯(cuò)在向量的模是表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度，零向量的模為零．因此向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)．(3)錯(cuò)在兩個(gè)單位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此這兩個(gè)向量不一定相等．(4)錯(cuò)在溫度的零上零下也只是表示數(shù)量．向量既要有大小又要有方向．常見(jiàn)的向量有力、速度、位移、加速度等．正確解答本題的關(guān)鍵是把握住向量的兩個(gè)要素，并從這兩個(gè)要素人手區(qū)分其它有關(guān)概念．

例4一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50°走了200公里到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量、(2)求||.

答案：(1)見(jiàn)圖.(2)由題意，易知方向相反，故與共線(xiàn)，又，

∴在四邊形ABCD中，ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∴，

∴=200公里.

點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).

例5一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100米到達(dá)B點(diǎn)．后改變方向沿南偏東15°又走了100米到達(dá)C點(diǎn)，求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移．

解：如圖，根據(jù)題意知ΔABC為等邊三角形，故∠a=15°，||=100，∴此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移，大小為100米，方向?yàn)槲髌?5°．

檢測(cè)題

1.在下列各命題中，為真命題的有（

）

（1）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線(xiàn)向量

（2）溫度有零上溫度和零下溫度．因此溫度也是向量

（3）方向?yàn)槟掀?0°的向量與方向?yàn)楸逼珫|60°的向量是共線(xiàn)向量

（4）坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

2.已知a、b、c是三個(gè)非零向量，則|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要條件是（

）

A．a(chǎn)、b同方向

B．b、c同方向

C．a(chǎn)、c同方向

D．a(chǎn)、b、c同方向

3.下列命題中，正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

4．下列各命題中假命題的個(gè)數(shù)為（

）

①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等．

②向量與向量平行，則與的方向相同或相反．

③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同．

④兩個(gè)有共同終