2021屆廣東省仲元中山等七校聯(lián)合體高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷、草稿紙或答題卡的非答題區(qū)上無效。4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷選擇題:本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合,則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是()A．1B．3C．4D．2.已知()A.B．C．D．3.設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)到圖象C的對(duì)稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是()A．B.C.D.4.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則()A．（）B．（）C．（）D．（）5.若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A．－540（B）－162C．162（D）6.已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)（）A．B．C．D．7．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為()A．1 B． C． D．28．有A、B、C、D、E、F共6個(gè)集裝箱，準(zhǔn)備用甲、乙、丙三輛卡車運(yùn)送，每臺(tái)卡車一次運(yùn)兩個(gè)。若卡車甲不能運(yùn)A箱，卡車乙不能運(yùn)D箱，此外無其它任何限制；要把這6個(gè)集裝箱分配給這3臺(tái)卡車運(yùn)送，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A．168B．84C．56D．42二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，漏選的得3分，錯(cuò)選或不選的得0分。9.下列四個(gè)條件中，是的充分條件的是（）Ａ．，B．為雙曲線， C．，Ｄ．，10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為11．如圖,在長(zhǎng)方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）四點(diǎn)共面平面直線與所成角的為平面平面12．四邊形內(nèi)接于圓，，下列結(jié)論正確的有（）A．四邊形為梯形B．四邊形的面積為 C．圓的直徑為7D．的三邊長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列第Ⅱ卷三、填空題:本題共4小題每小題5分，其中第16題共兩空答對(duì)一空得3分，答對(duì)兩空得5分13.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值為______14.若隨機(jī)變量______________15.設(shè)函數(shù).若是偶函數(shù)，則__________。16．已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AB=6，AC=8，BC=10，則球的半徑等于________,球的表面積等于__________．四、解答題:本題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的值；（2）若的等差中項(xiàng)為14，且滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（本小題滿分12分）BDCA如圖,是直角斜邊上一點(diǎn),,記BDCA求的值.若,求的值.19．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，點(diǎn)E是上的點(diǎn)，且（1）求證：對(duì)任意的，都有（2）設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值w.w.w..c.o.m20.（本小題滿分12分）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤(rùn)是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬元,取0、1、2時(shí),一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機(jī)變量、分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤(rùn).(1)求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、;(2)當(dāng)時(shí),求的取值范圍.21.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，離心率為。(1)求橢圓的方程；（2)直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍.題號(hào)123456789101112答案CACBADBDBCADCDABDⅡ13、，1415、.16、17、解析：本小題考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，對(duì)數(shù)與指數(shù)互相轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾榫C合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。滿分10分.解法：當(dāng)時(shí)，···········1分···········2分是等差數(shù)列,············4分(Ⅱ)解：,是等差數(shù)列,···········6分又··········8分即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前項(xiàng)和···········1018解：（1）···········3分··········6分(2)在中，根據(jù)正弦定理若AC=DC··········8分由（1）得··········10分又因?yàn)樵谥苯恰鰽BC中··········11分··········12分19證法：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），,B（，，0），C（0，，0），E（0，0），，即。·········4分（2）由（I）得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得·········6分易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為..·········10分.由于，解得，即為所求。·········12分（解法二）證明：如圖1，連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE·········4分（Ⅱ）如圖1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.連接AE、CE，過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=。在Rt△BDE中，BD=2a，DE=，， 在Rt△ADE中,從而在中，.由，解得，即為所求.20【(I)解法1:的概率分布為1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.·········2分由題設(shè)得,則的概率分布為012P故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學(xué)期望為E=++=.·········8分(II)由,得:因0<p<1,所以時(shí),p的取值范圍是0<p<0.3.·········12分解法2:的概率分布同解法一；的概率分布解法如下設(shè)表示事件”第i次調(diào)整,價(jià)格下降”(i=1,2),則P(=0)=;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學(xué)期望為E=++=.21解：設(shè)橢圓方程為（Ⅰ）由已知得∴所求橢圓方程為 .·········4分（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由，消去y得關(guān)于x的方程：由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，解得又由韋達(dá)定理得原點(diǎn)到直線的距離.解法1：令， 則 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)， 此時(shí). 所以，所求直線方程為········12分解法2：對(duì)兩邊平方整理得：（*） ∵， 整理得： 又， 從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得 所以，所求直線方程為：.解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點(diǎn)， 由解法一知且， 解法1： = . 下同解法一. 解法2：= 下同解法一.·········12分22【解析】（1）.①當(dāng)時(shí)，恒成立，所