高中數(shù)學(xué)8.3 《簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練習(xí)題目

第八章8.3第1課時(shí)A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4π B．3πC．2π D．π【答案】C【解析】底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C．2．(2020年上海徐匯區(qū)月考)一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截，截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是()A．1∶2 B．1∶8C．eq\r(2)∶2 D．eq\r(2)∶4【答案】C【解析】∵在棱錐中，平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面相似，相似比等于截得的小棱錐與原棱錐對(duì)應(yīng)棱長(zhǎng)之比．∵一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，∴相似比為1∶eq\r(2)＝eq\r(2)∶2.則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是eq\r(2)∶2.故選C．3．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．π B．2πC．4π D．8π【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長(zhǎng)為2r，由題意得S圓柱側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.故選B．4．(2020年赤峰期末)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．其含義是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面α所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1，V2，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為S1，S2，則()A．如果S1，S2總相等，則V1＝V2B．如果S1＝S2總相等，則V1與V2不一定相等C．如果V1＝V2，則S1，S2總相等D．存在這樣一個(gè)平面α使S1＝S2相等，則V1＝V2【答案】A【解析】由題意可知如果S1，S2總相等，則V1＝V2.故選A．5．(2020年赤峰期末)用邊長(zhǎng)分別為2與4的矩形作圓柱的側(cè)面，則這個(gè)圓柱的體積為()A．eq\f(4,π) B．eq\f(6,π)C．eq\f(6,π)或eq\f(8,π) D．eq\f(4,π)或eq\f(8,π)【答案】D【解析】圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形，當(dāng)母線為2時(shí)，圓柱的底面半徑是eq\f(4,2π)＝eq\f(2,π)，此時(shí)圓柱體積是π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π)))2×2＝eq\f(8,π)；當(dāng)母線為4時(shí)，圓柱的底面半徑是eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π)，此時(shí)圓柱的體積是π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))2×4＝eq\f(4,π).綜上，所求圓柱的體積是eq\f(4,π)或eq\f(8,π).故選D．6．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是________．【答案】eq\f(2,3)【解析】因?yàn)閂C-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，所以VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).7．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓面，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)_______．【答案】2【解析】設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl(wèi)＝2πr，解得r＝1，即直徑為2.8．圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_______．【答案】168π【解析】先畫(huà)軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長(zhǎng)為l＝eq\r(h2＋R－r2)＝eq\r(4r2＋3r2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.9．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r.又S錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝eq\f(25\r(3),7)π.10．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，截下一個(gè)棱錐C-A1DD1，求棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比．解：已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱，設(shè)它的底面ADD1A1的面積為S，高為h，則它的體積為V＝Sh.而棱錐C-A1DD1的底面積為eq\f(1,2)S，高為h，故三棱錐C-A1DD1的體積VC-A1DD1＝eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)S))h＝eq\f(1,6)Sh，余下部分體積為Sh-eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比1∶5.B級(jí)——能力提升練11．(2020年株洲期末)《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈－尺，文積幾何？”意思是：今有圓柱形土筑小城堡，底面周長(zhǎng)為4丈8尺，高1丈1尺，問(wèn)它的體積是多少立方尺？這個(gè)問(wèn)題的答案是(π≈3,1丈＝10尺)()A．2112 B．2111C．4224 D．4222【答案】A【解析】由已知，圓柱底面圓的周長(zhǎng)為48尺，圓柱的高為11尺，∴底面半徑r＝eq\f(48,2π)＝8(尺)，∴它的體積V＝11πr2＝2112(立方尺)．故選A．12．(2020年達(dá)州模擬)斗拱是中國(guó)古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一，并為中國(guó)所特有．圖1和圖2是斗拱實(shí)物圖，圖3是斗拱構(gòu)件之一的“斗”的幾何體．本圖中的斗是由棱臺(tái)與長(zhǎng)方體形凹槽(長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體)組成．若棱臺(tái)兩底面面積分別是400cm2，900cm2，高為9cm，長(zhǎng)方體形凹櫓的體積為4300cm3，那么這個(gè)斗的體積是()A．5700cm3 B．8100cm3C．10000cm3 D．9000cm3【答案】C【解析】由題意可知這個(gè)斗的體積V＝eq\f(1,3)×(400＋eq\r(400×900)＋900)×9＋4300＝10000(cm3)．故選C．13．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】26eq\r(2)－1【解析】依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面．設(shè)題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)－1.14．用一張正方形的紙把一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開(kāi)，則所需紙的最小面積是________．【答案】8【解析】如圖1為棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展開(kāi)成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖2所示，由圖知正方形的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，其面積為8.15．降水量是指水平平面上單位面積降水的深度，現(xiàn)用上口直徑為38cm、底面直徑為24cm、深度為35cm的圓臺(tái)形水桶(軸截面如圖所示)來(lái)測(cè)量降水量．如果在一次降雨過(guò)程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的eq\f(1,7)，求本次降雨的降水量是多少毫米？(精確到1mm)解：因?yàn)檫@次降雨的雨水正好是桶深的eq\f(1,7)，所以水深為eq\f(1,7)×35＝5(cm)．如圖，設(shè)水面半徑為rcm，在△ABC中，eq\f(AC,A′C)＝eq\f(CB,C′B)，所以eq\f(7,r－12)＝7，r＝13.所以V水＝eq\f(1,3)×(π×122＋eq\r(π×122×π×132)＋π×132)×5＝eq\f(2345,3)π(cm3)．水桶的上口面積是S＝π×192＝361π(cm2)，所以eq\f(V水,S)＝eq\f(\f(2345,3)π,361π)×10≈22(mm)．故此次降雨的降水量約是22mm.16．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內(nèi)部有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？解：(1)作圓錐的軸截面，如圖所示．設(shè)圓柱底面半徑為r，因?yàn)閑q\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)x.所以S圓柱側(cè)＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2(0<x<H)．(2)因?yàn)椋璭q\f(2πR,H)<0，所以當(dāng)x＝eq\f(2πR,\f(4πR,H))＝eq\f(H,2)時(shí)，S圓柱側(cè)最大．故當(dāng)x＝eq\f(H,2)時(shí)，即圓柱的高為圓錐高的一半時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．C級(jí)——探索創(chuàng)新練17．一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干(如圖1，底面處于水平狀態(tài))．將容器放倒(如圖2，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時(shí)水面所在的平面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖1中水面的高度為()A．eq\r(3) B．2