完全信息動(dòng)態(tài)博弈

完全信息動(dòng)態(tài)博弈博弈中的得益，是各參與人追求的根本目標(biāo)，關(guān)于得益的信息是博弈中最重要的信息之一。在一些博弈中參與人對(duì)自己的得益情況完全清楚，對(duì)其他參與人的得益也都很清楚如前面介紹過(guò)的囚徒困境，猜硬幣等；還有一些博弈中，參與人對(duì)其他參與人的得益情況并不了解，例如投標(biāo)、拍賣(mài)活動(dòng)中，各參與人對(duì)其他參與人的標(biāo)的的估價(jià)很難了解，即使最后的成交價(jià)是明確的，但各參與人仍然無(wú)法知道其他參與人中標(biāo)、拍得標(biāo)的的真正得益是多少。一般地，參與人完全了解所有參與人的得益情況的博弈稱(chēng)為“完全信息博弈”，不完全了解其他參與人的得益情況的博弈稱(chēng)為“不完全信息博弈”。博弈中的過(guò)程，是博弈結(jié)構(gòu)的重要部分，根據(jù)博弈過(guò)程的不同，可以將博弈分為：“靜態(tài)博弈”、“動(dòng)態(tài)博弈”和“重復(fù)博弈”。如果參與人選擇戰(zhàn)略時(shí)是同時(shí)或可以看作同時(shí)的博弈稱(chēng)為“靜態(tài)博弈”；若各參與人戰(zhàn)略的選擇和行動(dòng)不僅有先后順序，后選擇、后行動(dòng)的參與人在自己選擇行動(dòng)之前，可以看到前面的過(guò)程，這種博弈稱(chēng)為“動(dòng)態(tài)博弈”（也稱(chēng)為“多階段博弈”）。動(dòng)態(tài)博弈中在輪到行為時(shí)對(duì)博弈的進(jìn)程完全了解的參與人，稱(chēng)為具有“完美信息”的參與人，如果動(dòng)態(tài)博弈的所有參與人都有完美信息，稱(chēng)為“完美信息的動(dòng)態(tài)博弈”。相應(yīng)的輪到行為時(shí)對(duì)博弈的進(jìn)程不完全了解的參與人，稱(chēng)為具有“不完美信息”，這樣的動(dòng)態(tài)博弈稱(chēng)為“不完美信息的動(dòng)態(tài)博弈”。1完全且完美信息動(dòng)態(tài)博弈動(dòng)態(tài)博弈中一個(gè)參與人的一次行為稱(chēng)為一個(gè)“階段”。由于每個(gè)參與人在動(dòng)態(tài)博弈中可能不止一次行為，因此，每個(gè)參與人在一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈中就可能有數(shù)個(gè)甚至許多個(gè)博弈階段。動(dòng)態(tài)博弈一般用擴(kuò)展形表示，括弧中前一個(gè)數(shù)字代表乙的得益，后一個(gè)數(shù)字代表甲的得益。動(dòng)態(tài)博弈的一個(gè)中心問(wèn)題是“可信性”問(wèn)題。所謂可信性是指動(dòng)態(tài)博弈中先行為的參與人是否該相信后行為的參與人會(huì)采取對(duì)自己有利的或不利的行為。因?yàn)楹笮袨榉綄?lái)會(huì)采取對(duì)先行為方有利的行為相當(dāng)于一種“許諾”，而將來(lái)會(huì)采取對(duì)先行為方不利的行為相當(dāng)于一種“威脅”，因此我們可將可信性分為“許諾的可信性”和“威脅的可信性”。開(kāi)金礦博弈我們以“開(kāi)金礦博弈”為例來(lái)討論可信性問(wèn)題。甲要開(kāi)采一價(jià)值4萬(wàn)元的金礦，缺1萬(wàn)元的資金，向乙借1萬(wàn)元，許諾采到金子后與乙平分。乙是否借錢(qián)給甲呢？圖1<0,4>乙最需要關(guān)心的就是甲采至｝金子后是否會(huì)履行諾言跟自己平分，因?yàn)槿f(wàn)一甲采到金子后不但不跟乙平分，而且還賴(lài)帳或卷款潛逃，則乙連自己的本錢(qián)都收不回來(lái)。關(guān)鍵的是要判斷

的許諾是否可信！以自身利益最大化原則，甲必然選擇不分！乙清楚甲的行為準(zhǔn)則，最好的選擇是不借！對(duì)乙來(lái)說(shuō)，甲的許諾是不可信的！要想使甲的許諾成為可信的，加上第三階段，讓乙在甲違約時(shí)采用法律手段---“打官司”，乙的利益受到法律保護(hù)，甲的許諾是可信的。乙在第一階段選擇借，甲在第二階段選擇分。圖2可信的諾言和威脅圖3法律保障不足的開(kāi)金礦博弈圖2可信的諾言和威脅圖3法律保障不足的開(kāi)金礦博弈在第三階段乙打官司不能收回本錢(qián)，還要承受1萬(wàn)元的損失，這時(shí)乙打官司的威脅是不可信的。本博弈的分析可以看出，在一個(gè)個(gè)體都有私心，都只注重自身的利益的社會(huì)里，完善公正的法律制度不淡能夠保障社會(huì)的公平，還能提高社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的效率，是實(shí)現(xiàn)最有效率的社會(huì)分工的重要保障。可信性是動(dòng)態(tài)博弈分析的一個(gè)中心問(wèn)題。逆推歸納法分析動(dòng)態(tài)博弈的方法是從最后一個(gè)階段參與人的行為開(kāi)始分析，逐步倒退回前一個(gè)階段相應(yīng)參與人的行為選擇，一直到第一階段的方法，稱(chēng)為“逆推歸納法”。逆推歸納法實(shí)際上是重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略方法在擴(kuò)展式博弈中的應(yīng)用。我們從最后一個(gè)決策結(jié)開(kāi)始往回倒推，每一步剔除在該決策結(jié)上參與人的劣選擇，因此，在均衡路徑，每一個(gè)參與人在每一個(gè)信息集上的選擇都是占優(yōu)選擇。逆推歸納法可以用于許多動(dòng)態(tài)博弈的分析求解，除了有些不完美信息動(dòng)態(tài)博弈以外，是解析動(dòng)態(tài)博弈的基本方法。在分析動(dòng)態(tài)博弈問(wèn)題時(shí)，我們必須發(fā)展新的均衡概念。2子博弈完美納什均衡動(dòng)態(tài)博弈中存在不可信的行為選擇，納什均衡具有不穩(wěn)定性。為了排除不可信的威脅或承諾因素，博弈理論又一次得到了發(fā)展，澤爾騰（1965）提出了“子博弈完美納什均衡”，用來(lái)分析動(dòng)態(tài)博弈。子博弈完美納什均衡要求均衡戰(zhàn)略的行為在每一個(gè)信息集上都是最優(yōu)的。為此，我們首先引進(jìn)“子博弈”的概念。簡(jiǎn)單的說(shuō)，子博弈是原博弈的一個(gè)局部構(gòu)成的次級(jí)博弈，它本身可以作為一個(gè)獨(dú)立的博弈進(jìn)行分析。

2.1子博弈定義8.1由一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈第一階段以外的某個(gè)階段開(kāi)始的后續(xù)博弈階段構(gòu)成，它必須有初始信息集，具備進(jìn)行博弈所需要的各種信息，能夠自成一個(gè)博弈的原博弈的一部分，稱(chēng)為原動(dòng)態(tài)博弈的一個(gè)“子博弈”。以三階段開(kāi)金礦博弈為例，如果乙在第一階段選擇了“借”，動(dòng)態(tài)博弈進(jìn)行到第二階段甲作選擇。這時(shí)甲選擇是否分成，然后輪到乙作選擇是否打官司。這本身構(gòu)成了一個(gè)兩階段的動(dòng)態(tài)博弈，是原博弈的一個(gè)“子博弈”。當(dāng)甲選擇不分，博弈進(jìn)行到乙選擇打官司還是不打的第三階段，是子博弈的子博弈，稱(chēng)后面的子博弈是原博弈“的二級(jí)子博弈”。如圖中兩層虛線(xiàn)框出。圖4開(kāi)金礦博弈的兩級(jí)子博弈例如，開(kāi)金礦博弈，兩個(gè)虛線(xiàn)框代表兩個(gè)“子博弈”。應(yīng)用逆推歸納法分析，在最后的子博弈中，乙在“打官司”和“不打”中選擇“打官司”，因?yàn)?>0，成為圖5；這時(shí)甲在分與不分中選擇分，因?yàn)?>1，成為圖6；第一階段乙的選擇是借。圖5開(kāi)金礦（守信）--逆推第一步圖6開(kāi)金礦（守信）--逆推第二步上面用逆推歸納法導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)博弈的結(jié)果是由各階段輪到行為的參與人的一種行為依次構(gòu)成的，在開(kāi)金礦博弈中結(jié)果為（借，分），是由乙在第一階段的借和甲在第二階段的分構(gòu)成。當(dāng)然該博弈本來(lái)應(yīng)該有三個(gè)階段，但當(dāng)甲在第二階段選擇分時(shí)第三階段就沒(méi)有必要進(jìn)行下去了，因此結(jié)果中只有兩個(gè)階段的行為。需要注意的是乙的第三階段雖然沒(méi)有進(jìn)行，但是它是保證第二階段甲選擇分的關(guān)鍵，所以乙的戰(zhàn)略中必須包含這個(gè)選擇。子博弈完美納什均衡有了子博弈的概念，我們引進(jìn)適合動(dòng)態(tài)博弈的新的均衡概念，它必須滿(mǎn)足(1)既是納什均衡，從而具有戰(zhàn)略穩(wěn)定性，(2)又不能包含任何的不會(huì)信守的許諾或威脅。這樣的動(dòng)態(tài)博弈的戰(zhàn)略組合稱(chēng)為“子博弈完美納什均衡”。定義8.2如果動(dòng)態(tài)博弈中各參與人的策略在動(dòng)態(tài)博弈本身和所有子博弈中都構(gòu)成一個(gè)納什均衡，則稱(chēng)該策略組合為一個(gè)“子博弈完美納什均衡”?！白硬┺耐昝兰{什均衡”是分析動(dòng)態(tài)博弈，或者說(shuō)完全且完美信息動(dòng)態(tài)博弈的關(guān)鍵概念而逆推歸納法正是(至少在完美信息動(dòng)態(tài)博弈范圍之內(nèi))尋找動(dòng)態(tài)博弈的子博弈完美納什均衡的基本方法。子博弈完美納什均衡能夠排除均衡策略中不可信的威脅或許諾，就意味著每階段各參與人的選擇都是按最大利益原則決策的，因此在每個(gè)子博弈中都只能采用納什均衡的策略或行為選擇。3應(yīng)用舉例3?1寡占的斯塔克博格(Stackelberg)模型斯塔克博格模型是一種動(dòng)態(tài)的寡頭市場(chǎng)博弈模型。該模型假設(shè)寡頭市場(chǎng)上的兩個(gè)廠(chǎng)商中一方較強(qiáng)一方較弱。較強(qiáng)的一方領(lǐng)先行動(dòng)，而較弱的一方則跟在較強(qiáng)的一方之后行動(dòng)。由于該模型中兩廠(chǎng)商的選擇是有先后的，且后一廠(chǎng)商(跟隨者看著前一廠(chǎng)商的選擇的，因此這是一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈。但是，因?yàn)閮蓞⑴c人的決策內(nèi)容是產(chǎn)量水平，而可能的產(chǎn)量水平有無(wú)限多個(gè)，因此這是一個(gè)雙方都有無(wú)限多種可能的選擇的無(wú)限策略博弈。斯塔克博格模型與古諾模型相比，唯一的不同是前者有一個(gè)選擇的次序問(wèn)題，其他如參與人、策略空間和得益函數(shù)等完全都是相同的。價(jià)格函數(shù)：P=P(Q)=8-Q；產(chǎn)品完全相同(沒(méi)有固定成本，邊際成本相等)c=c=2；12總產(chǎn)量(連續(xù)產(chǎn)量)Q=q+q；總成本分別為：2q和2q。1212得益函數(shù)：u=qP(Q)一cq=q[8一(q+q)]一2q=6q一qq一q2111111 211121u=qP(Q)一cq=q[8一(q+q)]一2q=6q一qq一q2222221222122根據(jù)逆推歸納法的思路，我們首先要分析第二階段廠(chǎng)商2的決策，為此，我們先假設(shè)廠(chǎng)商1的選擇為q是已經(jīng)確定的。這實(shí)際上就是在q定的情況下求使u實(shí)現(xiàn)最大值的q，它必1122須滿(mǎn)足：6—q—2q=0121qq= (6—q)=3——1 8.12212實(shí)際上它就是廠(chǎng)商2對(duì)廠(chǎng)商1的策略的一個(gè)反應(yīng)函數(shù)。廠(chǎng)商1知道廠(chǎng)商2的這種決策思路，因此他在選擇q的時(shí)就知道q*是根據(jù)(1)式確定的，因此可將(1)式代入他自己的得益12函數(shù)，然后再求其最大值。q

u(q,q*)二6q-qq*-q2二6q-q(3_」)-q2

11211211121128.2二3q—q2二u(q)12111上式對(duì)q的導(dǎo)數(shù)為0可得3—q*=0,q*=3,此時(shí)，q*=3—1.5=1.5，雙方的得益11 12分別為4.5和2.25與兩寡頭同時(shí)選擇的古諾模型的結(jié)果相比，斯塔克博格模型的結(jié)果有很大的不同。它的產(chǎn)量大于古諾模型，價(jià)格低于古諾模型，總利潤(rùn)(兩廠(chǎng)商得益之和)小于古諾模型。但是，廠(chǎng)商1的得益卻大于古諾模型中廠(chǎng)商1的得益，更大于廠(chǎng)商2的得益。這是因?yàn)樵撃Ｐ椭袃蓮S(chǎng)商所處地位不同，廠(chǎng)商1具有先行的主動(dòng)，且他又把握住了理性的廠(chǎng)商2總歸會(huì)根據(jù)自己的選擇而合理抉擇的心理，選擇較大的產(chǎn)量得到了好處。結(jié)論：本博弈也揭示了這樣一個(gè)事實(shí)，即在信息不對(duì)稱(chēng)的博弈中，信息較多的參與人(如本博弈中的廠(chǎng)商2，他在決策之前可先知道廠(chǎng)商1的實(shí)際選擇，因此他擁有較多的信息)不一定能得到較多的得益。這一點(diǎn)也正是多人博弈與單人博弈的不同之處。工會(huì)和廠(chǎng)商的博弈里昂惕夫(Leontief)1946年提出了一個(gè)工會(huì)和廠(chǎng)商之間關(guān)于工資和雇傭的博弈模型。假設(shè)完全由工會(huì)決定工資，而廠(chǎng)商則根據(jù)工資的高低決定雇傭工人的數(shù)量。假設(shè)工會(huì)和廠(chǎng)商之間關(guān)于工資率和雇傭數(shù)的博弈過(guò)程是這樣的：首先由工會(huì)決定工資率，然后廠(chǎng)商根據(jù)工會(huì)決定的工資率決定雇傭多少勞動(dòng)，工會(huì)和廠(chǎng)商選擇的內(nèi)容分別是工資率和雇傭數(shù)。工會(huì)的效用必然是工資W和雇傭數(shù)人L兩者的函數(shù)，即u(W,L)；假設(shè)收益是勞動(dòng)雇傭數(shù)L的函數(shù)R(L)，廠(chǎng)商的利潤(rùn)也是工資率和勞動(dòng)雇傭數(shù)的函數(shù)兀二兀(W,L)二R(L)—WL得益：效用u(W,L)和利潤(rùn)兀(W,L)我們用逆推歸納法來(lái)解這個(gè)博弈，第一步我們先求第二階段(最后一階段)廠(chǎng)商對(duì)工會(huì)的工資率u的反應(yīng)函數(shù)L(W)，應(yīng)該是下面最大值問(wèn)題的解。max兀(W,L)=max[R(L)—WL],對(duì)L的導(dǎo)數(shù)為零，R'(L)—W=0L>0 L>0經(jīng)濟(jì)意義是廠(chǎng)商增加雇傭的邊際收益(雇傭最后一個(gè)單位勞動(dòng)所能增加的收益)要等于工資率(邊際成本)。LW)處R(L)與胚的距離最大，而這距離當(dāng)然就是廠(chǎng)商的利潤(rùn)了。

圖8工會(huì)的無(wú)差異曲線(xiàn)第二步回到第一階段工會(huì)面臨的選擇。由于工會(huì)了解廠(chǎng)商的決策規(guī)則和方法，因此它完全清楚對(duì)應(yīng)自己的每種工資率W，廠(chǎng)商將會(huì)選擇的雇傭數(shù)一定是L*(W)。工會(huì)需要解決的決策問(wèn)題就變成如下的最大值問(wèn)題，即如何選擇W*使它滿(mǎn)足：max[W,L*(W)]W0該博弈的均衡解就是[W*,L*(W*)]，因?yàn)樵撀窂街胁话魏尾粫?huì)信守的威脅或諾言，因此它是一個(gè)子博弈完美納什均衡。根據(jù)工會(huì)的效用函數(shù)作出它在W和L之間的無(wú)差異曲線(xiàn)，如圖8，則越是位置高的無(wú)差異曲線(xiàn)越代表工會(huì)的效用較高。討價(jià)還價(jià)博弈假設(shè)有兩人就如何分割1萬(wàn)元進(jìn)行談判，并且已經(jīng)定下了這樣的規(guī)則：首先由參與人1提出一個(gè)分割比例，對(duì)此，參與人2可以接受也可以拒絕；如果參與人2拒絕參與人1的方案，則他自己應(yīng)提出另一個(gè)方案，讓參與人1選擇接受與否。如此循環(huán)。在上述循環(huán)過(guò)程中，只要有任何一方接受對(duì)方的方案博弈就告結(jié)束，而如果方案被拒絕，則被拒絕的方案就與以后的討價(jià)還價(jià)過(guò)程不再有關(guān)系。由于談判費(fèi)用和利息損失等，雙方的得益都要打一次折扣，折扣率為§(0<§<1)，我們稱(chēng)它為消耗系數(shù)。如果限制討價(jià)還價(jià)最多只能進(jìn)行三個(gè)階段，到第三階段乙必須接受甲的方案，這就是一個(gè)三階段的討價(jià)還價(jià)博弈。出&圖9三階段討價(jià)還價(jià)本博弈有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):第一是第三階段參與人1的方案是有強(qiáng)制力的，即進(jìn)行到這一階段，參與人1提出的分割S:(S,1-S)是雙方必須接受的，并且對(duì)這一點(diǎn)兩參與人都非常清楚。第二是多進(jìn)行一個(gè)階段總得益就會(huì)減少一個(gè)比例，因此對(duì)雙方來(lái)說(shuō)都是讓談判拖得太長(zhǎng)是不利的，必須讓對(duì)方得的數(shù)額，不如早點(diǎn)讓他得到，免得自己的得益每況愈下。下面是對(duì)三階段談判博弈時(shí)序的更為詳細(xì)的描述:在第一階段開(kāi)始時(shí)，參與人1建議他分走1萬(wàn)元的S］，留給參與人2的份額為1-S］；參與人2或者接受這一條件(這種情況下，博弈結(jié)束，參與人1的收益為S，參與人2的收1益為1-氣)，或者拒絕這一條件(這種情況下，博弈將繼續(xù)進(jìn)行，進(jìn)入第二階段)；在第二階段的開(kāi)始，參與人2提議參與人1分得1萬(wàn)元的S，留給參與人2的份額為21-S(請(qǐng)注意在階段t，S總是表示分給參與人1的，而不論是誰(shuí)先提出的條件)；參與人2t1或者接受條件(這種情況下，博弈結(jié)束，參與人1的收益S和參與人2的收益1-S)，或22者拒絕這一條件(這種情況下，博弈繼續(xù)進(jìn)行，進(jìn)入第三階段)；在第三階段的開(kāi)始，參與人1得到1萬(wàn)元的S，參與人2得到1-S，這里0<S<1。用逆推向歸納法解出此三階段博弈的解。首先分析博弈的第三階段。參與人1提出的條件,參與人2必須接受,通常他會(huì)獨(dú)得1萬(wàn)元!假定參與人1得到S，參與人2得到1-S，這時(shí)的得益分別為§2S,§2(1-S)。逆推到博弈的第二階段，參與人2怎樣提出最優(yōu)條件，才能使自己的得益最大？如果參與人2提出條件使參與人1的得益小于第三階段的得益，那么參與人l一定會(huì)拒絕參與人2在這一階段的條件，博弈進(jìn)行到第三階段。參與人2提出的條件S既要滿(mǎn)足參與人接受，2又要使自己的得益比在第三階段的得益大，才是最優(yōu)的條件。S應(yīng)滿(mǎn)足參與人1的得益2§S 2S，即S=5S。這時(shí)參與人2的得益為§(1—&S)= 2S。因?yàn)?<§<1，22該得益比第三階段的得益52(1-S)要大一些?；氐降谝浑A段參與人1的情況，他在一開(kāi)始就知道第三階段的得益是52S,也知道第二階段參與人2的戰(zhàn)略，他在第一階段的最優(yōu)條件就是:1-S=5-52S，即S=1-5+62S，是這個(gè)博弈的子博弈完美納什均衡。1這個(gè)博弈的問(wèn)題和結(jié)果，在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中有很多現(xiàn)實(shí)的例子，如利益的分配，債務(wù)糾紛，財(cái)產(chǎn)繼承權(quán)的爭(zhēng)執(zhí)等。3.4國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)和最優(yōu)關(guān)稅現(xiàn)在我們對(duì)前面所討論的博弈型加以豐富。在完全且完美信息動(dòng)態(tài)博弈中，我們繼續(xù)假定博弈的進(jìn)行分為一系列的階段，下一階段開(kāi)始前參與者可觀察到前面所有階段的行動(dòng)。不同之處在于，這種模型中在某個(gè)階段中存在著同時(shí)行動(dòng)。我們主要討論兩階段各有兩個(gè)參與人同時(shí)選擇的動(dòng)態(tài)博弈，更多階段和更多參與人不過(guò)是兩階段的簡(jiǎn)單推廣。一般地，我們假設(shè)：博弈中有四個(gè)參與人l，2，3，4。參與人I和參與人2在第一階段同時(shí)在各自的可選戰(zhàn)略集合A1和A2中分別選擇al和a2。參與人3和參與人4在看到參與人1和參與人2的選擇(al,a2)以后，在第二階段中，同時(shí)在各自的可選戰(zhàn)略集合A3和A4中分別選擇a3和a4。4.所有參與人的得益都取決于a1,a2，a3和a4,參與人i的得益為ui(a1,a2，a3，a4)，是各參與人戰(zhàn)略的函數(shù)。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題都符合以上的特點(diǎn)，經(jīng)典的例子如，銀行的擠兌，國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)和最優(yōu)關(guān)稅，工作競(jìng)爭(zhēng)。很多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題可以在上述條件稍加變動(dòng)后建立模型。解決這類(lèi)問(wèn)題的方法仍然是逆向歸納的思想。下面我們以國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)和最優(yōu)關(guān)稅博弈為例來(lái)討論這種具有同時(shí)選擇的動(dòng)態(tài)博弈，這是博弈理論在國(guó)際經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。設(shè)我們討論的是兩個(gè)相似的國(guó)家，我們分別稱(chēng)它們?yōu)閲?guó)家1和國(guó)家2，國(guó)家1和國(guó)家2在本博弈中作為參與人是確定對(duì)進(jìn)口商品征收關(guān)稅的稅率。假設(shè)兩國(guó)各有一個(gè)企業(yè)(可看作是國(guó)內(nèi)所有企業(yè)的集合體)生產(chǎn)既內(nèi)銷(xiāo)又出口的相互競(jìng)爭(zhēng)的商品，我們稱(chēng)它們?yōu)槠髽I(yè)1和企業(yè)2。兩國(guó)的消費(fèi)者在各自的國(guó)內(nèi)市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)國(guó)貨或進(jìn)口貨。國(guó)家i市場(chǎng)上的商品總量：Q，則市場(chǎng)出清價(jià)格：P(Q)=a-Q,i=1,2。TOC\o"1-5"\h\zi ii i企業(yè)i生產(chǎn)h供內(nèi)銷(xiāo)和e供出口，因此Q=h+e，i,j二1,2，當(dāng)i=1時(shí)j=2，i i iij當(dāng)i=2時(shí)j=1。再設(shè)兩企業(yè)的邊際生產(chǎn)成本同為常數(shù)c，且都無(wú)固定成本，則企業(yè)i的生產(chǎn)總成本為c(h+e)。當(dāng)企業(yè)出口時(shí)，因?yàn)檫M(jìn)口國(guó)征收的關(guān)稅也是它的成本，設(shè)國(guó)家j的關(guān)稅率為t，ii j企業(yè)i的出口成本為ce+1e，國(guó)內(nèi)銷(xiāo)售成本仍為ch。假設(shè)首先由兩國(guó)政府同時(shí)制訂關(guān)稅率t和t；然后企業(yè)1和企業(yè)2根據(jù)t和t，同時(shí)1212決定內(nèi)銷(xiāo)和出口產(chǎn)量h、e和h、e。1122企業(yè)的利潤(rùn)：兀=兀(t,t,h,h,e,e)=Ph+Pe一c(h+e)一teTOC\o"1-5"\h\ziiij ijij i iji i i ji=[a—(h+e)]h+[a—(e+h)]e—c(h+e)—tei ji iji i i ji國(guó)家作為參與人的得益則是它們所關(guān)心的社會(huì)總福利，包括消費(fèi)者剩余，本國(guó)企業(yè)的利潤(rùn)和國(guó)家的關(guān)稅收入三部分：w=w(t,t,h,h,e,e)=(h+e)2+兀+1eiiijijij2ij iij

從第二階段開(kāi)始，假設(shè)兩國(guó)已選擇關(guān)稅率分別為t和t，則如果(h*,e*,h*,e*)是在設(shè)121122定t和t情況下兩企業(yè)之間的一個(gè)納什均衡，那么(h*,e*)必須是下列最大值問(wèn)題的解：12iimax兀(t,t,h,h*,e,e*)h,e>0iijijijii由于利潤(rùn)可以分成企業(yè)在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的利潤(rùn)和國(guó)外市場(chǎng)的利潤(rùn)兩部分之和，且國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的利潤(rùn)取決于h和口e*，國(guó)外市場(chǎng)的利潤(rùn)取決于e和h*，因此上述最大值問(wèn)題就可分解為下列ij兩個(gè)最大值問(wèn)題：ijj[a-ijj[a-(h+e*)-cjiij[a-(e+h*)-c]-1eiimaxh>0i

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