高等數(shù)學(xué)微分方程試題

第十二章微分方程§12-1微分方程的基本概念一、推斷題1(c的隨意常數(shù))是=2x的特解。()2()是二階微分方程。()3.微分方程的通解包含了全部特解。()4.若微分方程的解中含有隨意常數(shù)，則這個解稱為通解。（）5.微分方程的通解中隨意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)。（）二、填空題微分方程.(76y)0的階數(shù)是。函數(shù)34微分方程的解。積分曲線()e中滿意0=0,0=1的曲線是。三、選擇題1．下列方程中是常微分方程（A）、x222(B)、(C)、0（D）、222.下列方程中是二階微分方程（A）（）22=0(B)()2+3x23(C)+30(D)23.微分方程20的通解是其中12均為隨意常數(shù)（A）(B)(C)12(D)C是隨意常數(shù)，則微分方程=的一個特解是（A）(2)3(B)3+1(C)()3(D)(1)3四、試求以下述函數(shù)為通解的微分方程。1．（其中為隨意常數(shù)）2.（其中為隨意常數(shù)）五、質(zhì)量為m的物體自液面上方高為h處由靜止起先自由落下，已知物體在液體中受的阻力與運動的速度成正比。用微分方程表示物體，在液體中運動速度與時間的關(guān)系并寫出初始條件?？煞謩e變量的微分方程一、求下列微分方程的通解220(2)(x2)0()()0().(提示令)二、求下列微分方程滿意所給初始條件的特解(1)0.0=2.三、設(shè)f(x)(u)(x)是可微函數(shù)，求f(x)四、求一曲線的方程，曲線通過點（0.1）,且曲線上任一點處的切線垂直于此點與原點的連線。五、船從初速v0=6米/秒而起先運動，5秒后速度減至一半。已知阻力與速度成正比，試求船速隨時間改變的規(guī)律。齊次方程一、求下列齊次方程的通解12(0二求下列齊次方程滿意所給初始條件的特解1．222e22(2)01=1三、求方程：（1）(1)的通解四、設(shè)有連結(jié)點O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲線孤對于上任一點P（x，y）,曲線孤與直線段所圍圖形的面積為x2，求曲線孤的方程。12.4一階線性微分方程一、求下列微分方程的通解122x34.二、求下列微分方程滿意初始條件的特解1．y2.(21)24y三、已知f(),曲線積分與路徑無關(guān)，求函數(shù)f(x).四、質(zhì)量為M0克的雨滴在下落過程中，由于不斷蒸發(fā)，使雨滴的質(zhì)量以每秒m克的速率削減，且所受空氣阻力和下落速度成正比，若起先下落時雨滴速度為零，試求雨滴下落的速度與時間的關(guān)系。求下列伯努利方程的通解1．y′+2y52.′20全微分方程一、求下列方程通解1．[(2)+3y][2(2)+3x]02.()03(2y)0二、利用視察法求出下列方程的積分因子，并求其通解1202y(2)0三、[()(x)y][f(x)2y]0為全微分方程，其中函數(shù)f(x)連續(xù)可微，f(0)=0,試求函數(shù)f(x)，并求該方程的通解。12-7可降階的高階微分方程一、求下列各微分方程的通解1．2.3()2=4.(1)0二、求下列各微分方程滿意所給初始條件的特解1．22yy2.0y三、函數(shù)f(x)在x>0內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)且f(1)=2，以與(x)-,求f(x).四、一物體質(zhì)量為m,以初速度從一斜面上滑下，若斜面的傾角為，摩擦系數(shù)為u,試求物體在斜面上滑動的距離與時間的函數(shù)關(guān)系。12-8高階線性的微分方程一、選擇題1．下列方程中為線性微分方程（A）（）(B)y(C)(D)2.已知函數(shù)y1=，y1=，y3(則（A）僅y1與y2線性相關(guān)（B）僅y2與y3線性相關(guān)（C）僅y1與y3線性相關(guān)（D）它們兩兩線性相關(guān)3．若y1和y2是二階齊次線性方程，(x)+4(x)0兩個特解，c1c2為隨意常數(shù)，則1y12y2(A)肯定是該方程的通解（B）是該方程的特解（C）是該方程的解（D）不肯定是方程的解4．下列函數(shù)中哪組是線性無關(guān)的（A）,2(B)1，(C)x,2x(D),2二、證明：下列函數(shù)是微分方程的通解11x22x2(c1c2是隨意常數(shù))是方程x2-340的通解212e(c1c2是隨意常數(shù))是方程2的通解三、設(shè)y1(x)y2(x)是某個二階線齊次線性微分方程的三個解，且y1(x)y2(x)3(x).線性無關(guān)，證明：微分方程的通解為：四、試求以2)+(c12是隨意常數(shù))為通解的二階線性微分方程。12-9二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、選擇題1以y12為特解的方程是（A）(B)(C)(D)2．微分方程2的通解是（A）（B）（C）(D)3．常微分方程，（其中是不等的系數(shù)），在初始條件y10=特解是（A）0(B)(C)（D）4．是微分方程的一個特解，則此方程的通解是（A）（B）（C）（D）5．是微分方程的通解（A）（B）（C）（D）二、求下列微分方程的通解1．2．3．4．5．5.三、求下列微分方程滿意初始條件的特解1．2．四、一質(zhì)量為m的質(zhì)點由靜止（00）起先滑入液體，下滑時液體阻力的大小與下沉速度的大小成正比（比例系數(shù)為k），求此質(zhì)點的運動規(guī)律。12-10二階常數(shù)非齊次線性微分方程一、選擇題1微分方程，(A)(B)(C)(D)2.微分方程（A）（B）（C）（D）3．微分方程的特解y*形式為（A）（B）（C）（D）4．微分方程的特解y*形式為（A）2x(B)2x(C)x(22x)(D)22x微分方程的特解形式為y*=（A）（）2x(B)()2()2x（C）()2()2x（D）()2()2微分方程的特解形式為（A）(B)（C）（D）二、求下列各方程的通解1．2．3．4．三、求微分方程滿意的特解四、已知二階常系數(shù)微分方程有特解，求的值，并求該方程的通解五、為常數(shù)。試求的通解。六、設(shè)，其中f(x)為連續(xù)的數(shù)，求f(x)。七、一鏈長18，掛在光滑的圓釘上，一邊垂下8，另一邊垂下10，問整個鏈子滑過釘子須要多少時間？第十二章自測題一填空題1．已知曲線(x)過點（0，）且其上任一點（）處的切線斜率為(12)，則f(x)=2．以為通解的微分方程是（其中為隨意常數(shù)）3。微分方程(c2-4x)0的通解為4．微分方程的通解為]5．已知某四階線性齊次方程有四個線性無關(guān)的解,則該微分方程為二、選擇題１．已知函數(shù)(x)在隨意點x處的增量且當(dāng)時，是比x更高階的無窮小量，y(o)=，則y(1)等于（A）2（B）（C）（D）2(x)是微分方程的解，且，則f(x)在x０的某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加（B）x０的某個鄰域內(nèi)單調(diào)削減（C）x０處的取微小值（D）x０處取極大值3．一曲線通過點m(4.3),且該曲線上隨意一點p處的切線在y軸上的截距等于原點到p的距離，則此曲線方程為（A）（B）（C）（D）4．下列方程中可利用,降為p的一階微分方程的是（Ａ）（Ｂ）（C）(D)三、求解下列微分方程1.求(x2)0，滿意的特解，2.求的通解四、求的通解。五、已知，，是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求此微分方程。六、已知函數(shù)f(x)可微，且對隨意實數(shù)滿意：f()=,求此函數(shù)f(x).七、火車沿水平直線軌道運動，設(shè)火車質(zhì)量為m,機車牽引力為F,阻力為,其中為常數(shù)，v為火車的速度，若已知火車的初速度與初位移均為零，求火車的運動規(guī)律(t).第十二章自測題二一、單項選擇題１．設(shè)是方程的解，若則在點（A）取得極大值；（B）取得微小值；（C）某鄰域內(nèi)單調(diào)遞增；（D）某鄰域內(nèi)單調(diào)遞減；２．函數(shù)是方程的（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不對３．微分方程的特解應(yīng)具有形式（其中，為常數(shù)）（A）（B）（C）2x;(D)222x4.微分方程特解應(yīng)具有形式（A）（）e3x(B)x()e3x（C）x2()e3x（D）3e3x5.設(shè)一動點以等加速度a作直線運動，且其初速度為v0,初始位移為s0，則此質(zhì)點規(guī)律是（A）00;(B)(C)(D)6函數(shù)f(x)滿意關(guān)系式（A）1n2·;（B）1n2·e2x;（C）2;（D）

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