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..目錄第1講全等三角形的性質(zhì)與判定<P2----11>第2講角平分線的性質(zhì)與判定<P12----16>第3講軸對(duì)稱及軸對(duì)稱變換<P17----24>第4講等腰三角形<P25----36>第5講等邊三角形<P37----42>第6講實(shí)數(shù)<P43----49>第7講變量與函數(shù)<P50----54>第8講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)<P55----63>第9講一次函數(shù)與方程、不等式<P64----68>第10講一次函數(shù)的應(yīng)用<P69----80>第11講冪的運(yùn)算〔P81----86>第12講整式的乘除<<P87----93>第13講因式分解及其應(yīng)用<P94----100>第14講分式的概念?性質(zhì)與運(yùn)算<P101----108>第15講分式的化簡(jiǎn)求值與證明<P109----117>第16講分式方程及其應(yīng)用<P118----125>第17講反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)<P126----138>第18講反比例函數(shù)的應(yīng)用<P139----146>第19講勾股定理<P147-----157>第20講平行四邊形<P158-----166>第21講菱形矩形<P167-----178>第22講正方形<P179-----189>第23講梯形<P190-----198>第24講數(shù)據(jù)的分析<P199-----209>模擬測(cè)試一模擬測(cè)試二模擬測(cè)試三第01講全等三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1.能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同;2.全等三角形性質(zhì):①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等;②全等三角形對(duì)應(yīng)高、角平分線、中線相等;③全等三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)相等,面積相等;3.全等三角形判定方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,還有HL法;4.證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵,就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件,具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角,再根據(jù)選定的判定方法,確定還需要證明哪些相等的邊或角,再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明;5..證明兩個(gè)三角形全等,根據(jù)條件,有時(shí)能直接進(jìn)行證明,有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等,這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長(zhǎng)線中線、截取等等.經(jīng)典·考題·賞析[例1]如圖,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=CD,那么圖中有全等三角形〔BACDEFA.5對(duì) BBACDEF[解法指導(dǎo)]從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā),首先找到比較明顯的一對(duì)全等三角形,并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件,從而推出第二對(duì),第三對(duì)全等三角形.這種逐步推進(jìn)的方法常用到.解:⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC=90.∴∠DCB=90.在△ABC和△DCB中∴△ABC≌∴△DCB〔SAS∴∠A=∠D⑵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌∴△DCE∴BE=CE⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中∴Rt△EFB≌Rt△EFC〔HL故選C.[變式題組]01.〔天津下列判斷中錯(cuò)誤的是〔A.有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D.有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等AFCEDB02.〔XX已知命題:如圖,點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上,且AD=BE,∠A=∠FDE,則AFCEDB03.<上海>已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O,連接AB、DC,E為OB的中點(diǎn),F為OC的中點(diǎn),連接EF〔如圖所示.⑴添加條件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求證:AB=DC;ABCDOFE⑵分別將"∠A=∠D"記為①,"∠OEF=∠OFE"記為②,"AB=DC"記為③,添加①、③,以②為結(jié)論構(gòu)成命題1;添加條件ABCDOFE[例2]已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求證:AF=DE.[解法指導(dǎo)]想證AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中,而DE在△CDE和△DEF中,因而只需證明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根據(jù)已知條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件.ACEFBD證明:∵FB=CE∴FB+EF=CE+ACEFBD在△ABE和△DCF中,∴△ABE≌△DCF〔SSS∴∠B=∠C在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE∴AF=DE[變式題組]01.如圖,AD、BE是銳角△ABC的高,相交于點(diǎn)O,若BO=AC,BC=7,CD=2,則AO的長(zhǎng)為〔A.2 B.3 C.4 D.5AAE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖02.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE是過A點(diǎn)的一條直線,AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE=4cm,CE=2cm,則BD=__________.\03.〔北京已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上,CE=BC,過點(diǎn)E作AC的垂線,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:AB=FC.AAFECBD[例3]如圖①,△ABC≌△DEF,將△ABC和△DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合,把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.⑴當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置,點(diǎn)B〔E、C、D在同一直線上時(shí),∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是________________;⑵當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí),⑴中的結(jié)論成立嗎?請(qǐng)說明理由_____________.BB〔EOCF圖③FABCDEFAB<E>CDDA圖②圖①[解法指導(dǎo)]⑴∠AFD=∠DCA⑵∠AFD=∠DCA理由如下:由△ABC≌△DEF,∴AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF,∴∠ABF=∠DEC在△ABF和△DEC中,∴△ABF≌△DEC∠BAF=∠DEC∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,∴∠FAC=∠CDF∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA∴∠AFD=∠DCA[變式題組]01.〔XX如圖,D、E分別為△ABC的AC、BC邊的中點(diǎn),將此三角形沿DE折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若∠CDE=48°,則∠APD等于〔A.42°B.48°C.52°D.58°02.如圖,Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是〔A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90°C.AC=DFD.EC=CFEEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖03.一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開,得到兩種三角形紙片,再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式,使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上.⑴求證:AB⊥ED;⑵若PB=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形,并證明.BBFACENMPDDACBFE[例4]〔第21屆XX競(jìng)賽試題已知,如圖,BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB邊上的高,點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB.求證:⑴AP=AQ;⑵AP⊥AQ[解法指導(dǎo)]證明線段或角相等,也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經(jīng)觀察,證AP=AQ,也就是證△APD和△AQE,或△APB和△QAC全等,由已知條件BP=AC,CQ=AB,應(yīng)該證△APB≌△QAC,已具備兩組邊對(duì)應(yīng)相等,于是再證夾角∠1=∠2即可.證AP⊥AQ,即證∠PAQ=90°,∠PAD+∠QAC=90°就可以.221ABCPQEFD證明:⑴∵BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,∴∠BDA=∠CEA=90°,∴∠1+∠BAD=90°,∠2+∠BAD=90°,∴∠1=∠2.在△APB和△QAC中,∴△APB≌△QAC,∴AP=AQ⑵∵△APB≌△QAC,∴∠P=∠CAQ,∴∠P+∠PAD=90°∵∠CAQ+∠PAD=90°,∴AP⊥AQ[變式題組]ABCDFE01.如圖,已知AB=AE,∠B=∠E,BA=ED,點(diǎn)F是CDABCDFE02.〔XX市競(jìng)賽試題如圖,在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上,梯子頂端距地面的垂直距離MA為am,此時(shí)梯子的傾斜角為75°,如果梯子底端不動(dòng),頂端靠在對(duì)面的墻上,此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm,梯子傾斜角為45°,這間房子的寬度是〔A.B.C.bmD.a(chǎn)mAAECBA75°C45°BNM第2題圖第3題圖D03.如圖,已知五邊形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,則五邊形ABCDE的面積為__________演練鞏固·反饋提高01.〔XX已知圖中的兩個(gè)三角形全等,則∠α度數(shù)是〔A.72°B.60°C.58°D.50°第3題圖第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/aαcca50°b72°58°02.如圖,△ACB≌△A/C/B/,∠BCB/=30°,則∠ACA/的度數(shù)是〔A.20°B.30°C.35°D.40°03.〔XX尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下:以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OA、OB于C、D,再分別以點(diǎn)C、D為圓心,以大于長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線OP,由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是〔A.SASB.ASAC.AASD.SSS04.〔XX如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定△ABC≌△ADC的是〔A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°EE21NABDC第5題圖ABCDEABCD第4題圖第6題圖M05.有兩塊不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE,將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起,將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起,如圖,當(dāng)A、B、D不在一條直線上時(shí),下面的結(jié)論不正確的是〔A.△ABE≌△CBDB.∠ABE=∠CBDC.∠ABC=∠EBD=45°D.AC∥BE06.如圖,△ABC和共頂點(diǎn)A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.BC交AD于M,DE交AC于N,小華說:"一定有△ABC≌△AED."小明說:"△ABM≌△AEN."那么〔A.小華、小明都對(duì)B.小華、小明都不對(duì)C.小華對(duì)、小明不對(duì)D.小華不對(duì)、小明對(duì)07.如圖,已知AC=EC,BC=CD,AB=ED,如果∠BCA=119°,∠ACD=98°,那么∠ECA的度數(shù)是___________.08.如圖,△ABC≌△ADE,BC延長(zhǎng)線交DE于F,∠B=25°,∠ACB=105°,∠DAC=10°,則∠DFB的度數(shù)為_______.09.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD.AC=3,那么AE+DE=______第10題圖第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10.如圖,BA⊥AC,CD∥AB.BC=DE,且BC⊥DE,若AB=2,CD=6,則AE=_____.11.如圖,AB=CD,AB∥CD.BC=12cm,同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā),沿CB方向爬行,P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行時(shí)間t為多少時(shí),△APB≌△QDC.DDAC.QP.BDBACEF12.如圖,△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線,過C作CF⊥AE,垂足為F,過B作BD⊥BCDBACEF⑴求證:AE=CD;⑵若AC=12cm,求BD的長(zhǎng).AEBFDC13.〔XX如圖,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,AD等于AE,AB平分∠DAEAEBFDC14.如圖,將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上,從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線,垂足分別為D、E.BDEBDEClA⑵若DE=a,求梯形DABE的面積.〔溫馨提示:補(bǔ)形法AEFBDC15.如圖,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別是E、FAEFBDC16.我們知道,兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等,那么在什么情況下,它們會(huì)全等?⑴閱讀與證明:對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形,顯然它們?nèi)?;?duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形,可證明它們?nèi)取沧C明略;對(duì)于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形,它們也全等,可證明如下;已知△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.求證:△ABC≌△A1B1C1.〔請(qǐng)你將下列證明過程補(bǔ)充完整AABCDA1B1C1D1⑵歸納與敘述:由⑴可得一個(gè)正確結(jié)論,請(qǐng)你寫出這個(gè)結(jié)論.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01.如圖,在△ABC中,AB=AC,E、F分別是AB、AC上的點(diǎn),且AE=AF,BF、CE相交于點(diǎn)O,連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則圖中全等三角形有〔A.4對(duì) B.5對(duì) C.6對(duì) D.7對(duì)FF第6題圖21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1題圖B第2題圖第3題圖02.如圖,在△ABC中,AB=AC,OC=OD,下列結(jié)論中:①∠A=∠B②DE=CE,③連接DE,則OE平分∠AOB,正確的是〔A.①②B.②③C.①③D.①②③03.如圖,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,則DE的長(zhǎng)等于〔A.DCB.BCC.ABD.AE+AC04.下面有四個(gè)命題,其中真命題是〔A.兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等B.兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D.兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等05.在△ABC中,高AD和BE所在直線相交于H點(diǎn),且BH=AC,則∠ABC=_______.06.如圖,EB交AC于點(diǎn)M,交FC于點(diǎn)D,AB交FC于點(diǎn)N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.給出下列結(jié)論:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DB,其中正確的結(jié)論有___________.〔填序號(hào)07.如圖,AD為在△ABC的高,E為AC上一點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,且有BF=AC,FD=CD.⑴求證:BE⊥AC;AEFCDB⑵若把條件"BF=ACAEFCDB08.如圖,D為在△ABC的邊BC上一點(diǎn),且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中線.求證:AC=2AE.AABEDC09.如圖,在凸四邊形ABCD中,E為△ACD內(nèi)一點(diǎn),滿足AC=AD,AB=AE,∠BAE+∠BCE=90°,∠BAC=∠EAD.求證:∠CED=90°.AAEBDC10.〔XX將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,點(diǎn)E落在AB上,DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.⑴求證:AF+EF=DE;⑵若將圖①中△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α,且0°<α<60°,其他條件不變,請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出變換后的圖形,并直接寫出〔1中結(jié)論是否仍然成立;⑶若將圖①中△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角β,且60°<β<180°,其他條件不變,如圖③你認(rèn)為〔1中結(jié)論還成立嗎?若成立,寫出證明過程;若不成立,請(qǐng)寫出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系,并說明AFAFDFCBEDACBEACB圖①圖②圖③ABCDE11.〔嵊州市高中提前招生考試⑴閱讀理解:課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問題:在△ABC中,AB=5,AC=13,求ABCDE小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長(zhǎng)AD到E,使得DE=AD,再連接BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則1<AD<4.感悟:解題時(shí),條件中若出現(xiàn)"中點(diǎn)""中線"等條件,可以考慮中線加倍,構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.ABEFCD⑵問題解決:受到⑴的啟發(fā),請(qǐng)你證明下面命題:如圖,在△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交ACABEFCD求證:BE+CF>EF;AEBFCD⑶問題拓展:如圖,在四邊形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn),連接EF,探索線段BEAEBFCD12.〔北京如圖,已知△ABC.⑴請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E〔BC的中點(diǎn)除外,連接AD、AE,寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件,并表示出面積相等的三角形;CBA⑵請(qǐng)你根據(jù)使⑴成立的相應(yīng)條件,證明:AB+AC>AD+CBAADEGCHB13.如圖,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=180°.AH⊥AH于H,HA的延長(zhǎng)線交DE于ADEGCHB14.已知,四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,BA=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD、DC〔或它們的延長(zhǎng)線于E、F.當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí),如圖1,易證:AE+CF=EF;〔不需證明當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí),如圖2和圖3中這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明.DDABCFNEMD圖1ABCFNEMDABCFNEM圖2圖3第02講角平分線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1.角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2.角平分線的判定定理:角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.3.有角平分線時(shí)常常通過下列幾種情況構(gòu)造全等三角形.經(jīng)典·考題·賞析[例1]如圖,已知OD平分∠AOB,在OA、OB邊上截取OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD.求證:PM=PN[解法指導(dǎo)]由于PM⊥BD,PN⊥AD.欲證PM=PN只需∠3=∠4,證∠3=∠4,只需∠3和∠4所在的△OBD與△OAD全等即可.證明:∵OD平分∠AOB∴∠1=∠2在△OBD與△OAD中,∴△OBD≌△OAD∴∠3=∠4∵PM⊥BD,PN⊥AD所以PM=PN[變式題組]01.如圖,CP、BP分別平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求證:點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.02.如圖,BD平分∠ABC,AB=BC,點(diǎn)P是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),PM⊥AD,PN⊥CD.求證:PM=PN[例2]〔天津競(jìng)賽題如圖,已知四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于點(diǎn)E,且AE=<AB+AD>,如果∠D=120°,求∠B的度數(shù)[解法指導(dǎo)]由已知∠1=∠2,CE⊥AB,聯(lián)想到可作CF⊥AD于F,得CE=CF,AF=AE,又由AE=<AB+AD>得DF=EB,于是可證△CFD≌△CEB,則∠B=∠CDF=60°.或者在AE上截取AM=AD從而構(gòu)造全等三角形.解:過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F.∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,點(diǎn)C是AC上一點(diǎn),∴CE=CF在Rt△CFA和Rt△CEA中,∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF=AE又∵AE=<AE+BE+AF-DF>,2AE=AE+AF+BE-DF,∴BE=DF∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠F=∠CEB=90°在△CEB和△CFD中,,∴△CEB≌△CFD∴∠B=∠CDF又∵∠ADC=120°,∴∠CDF=60°,即∠B=60°.[變式題組]01.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB,AC=5,BC=3.求02.<XX競(jìng)賽>在四邊形ABCD中,已知AB=a,AD=b.且BC=DC,對(duì)角線AC平分∠BAD,問a與b的大小符合什么條件時(shí),有∠B+∠D=180°,請(qǐng)畫圖并證明你的結(jié)論.[例3]如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.求證:CE=BD[解法指導(dǎo)]由于BE平分∠ABC,因而可以考慮過點(diǎn)D作BC的垂線或延長(zhǎng)CE從而構(gòu)造全等三角形.證明:延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于F,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC<ASA>∴CE=EF,∴CE=CF∵∠1+∠F=∠3+∠F=90°,∴∠1=∠3在△ABD和△ACF中,,∴△ABD≌△ACF∴BD=CF∴CE=BD[變式題組]01.如圖,已知AC∥BD,EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA,CD過點(diǎn)E,求證:AB=AC+BD.02.如圖,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.⑴請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;⑵求證:AE+CD=AC.演練鞏固·反饋提高01.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,若CD=n,AB=m,則△ABD的面積是〔A.mnB.mnC.mnD.2mn02.如圖,已知AB=AC,BE=CE,下面四個(gè)結(jié)論:=1\*GB3①BP=CP;=2\*GB3②AD⊥BC;=3\*GB3③AE平分∠BAC;=4\*GB3④∠PBC=∠PCB.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有〔個(gè)A. 1 B.2 C.3 D.403.如圖,在△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn),作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別是R、S.若AQ=PQ,PR=PS,下列結(jié)論:=1\*GB3①AS=AR;=2\*GB3②PQ∥AR;=3\*GB3③△BRP≌△CSP.其中正確的是〔A. =1\*GB3①=3\*GB3③B.=2\*GB3②=3\*GB3③C.=1\*GB3①=2\*GB3②D.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③04.如圖,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F,則下列四個(gè)結(jié)論中:=1\*GB3①AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等;=2\*GB3②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等;=3\*GB3③AD⊥BC且BD=CD;=4\*GB3④∠BDE=∠CDF.其中正確的是〔A.=2\*GB3②=3\*GB3③B.=2\*GB3②=4\*GB3④C.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④D.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④05.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點(diǎn),則∠AEB的度數(shù)為〔A.50°B.45°C.40°D.35°06.如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,且PD=PE=PF,給出下列結(jié)論:=1\*GB3①AD=AF;=2\*GB3②AB+EC=AC+BE;=3\*GB3③BC+CF=AB+AF;=4\*GB3④點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號(hào)是〔A.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④B.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③C.=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④D.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④07.如圖,點(diǎn)P是△ABC兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn),則下列說法中不正確的是〔A.點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等 B.點(diǎn)P在∠ABC的平分線上C.∠P與∠B的關(guān)系是:∠P+∠B=90°D.∠P與∠B的關(guān)系是:∠B=∠P08.如圖,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,BD與CD相交于D.給出下列結(jié)論:=1\*GB3①點(diǎn)D到AB、AC的距離相等;=2\*GB3②∠BAC=2∠BDC;=3\*GB3③DA=DC;=4\*GB3④DB平分∠ADC.其中正確的個(gè)數(shù)是〔A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)09.如圖,△ABC中,∠C=90°AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于E,下列結(jié)論中:=1\*GB3①AD平分∠CDE;=2\*GB3②∠BAC=∠BDE;=3\*GB3③DE平分∠ADB;=4\*GB3④AB=AC+BE.其中正確的個(gè)數(shù)有〔A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.4個(gè)10.如圖,已知BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線,CQ是∠ACB的外角平分線,由Q出發(fā),作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK,垂足分別為M、N、K,則QM、QN、QK的關(guān)系是_________11.如圖,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC.求證:BE=CF12.如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F.求證:AD⊥EF.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01.如圖,直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可選擇的地址有〔A.一處B.二處C.三處D.四處02.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,則D到AB邊的距離為〔A.18B.16C.14D.1203.如圖,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的平分線,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng).已知:DC=3cm,DB=4cm,AD=8cm.DP的長(zhǎng)為x<cm>,那么x的范圍是__________04.如圖,已知AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分別為E、F、G,且PF=PG=PE,則∠BPD=__________05.如圖,已知AB∥CD,O為∠CAB、∠ACD的平分線的交點(diǎn),OE⊥AC,且OE=2,則兩平行線AB、CD間的距離等于__________06.如圖,AD平分∠BAC,EF⊥AD,垂足為P,EF的延長(zhǎng)線于BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.求證:∠G=<∠ACB-∠B>07.如圖,在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分線,P為AC上任意一點(diǎn).求證:AB-AC>DB-DC08.如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分別在BC、AC上,并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線上.求證:BQ+AQ=AB+BP第3講軸對(duì)稱及軸對(duì)稱變換考點(diǎn)·方法·破譯1.軸對(duì)稱及其性質(zhì)把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱,這條直線叫對(duì)稱軸.軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì):①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形;②對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線;③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.2.線段垂直平分線線段垂直平分線也叫線段中垂線,它反映了與線段的兩種關(guān)系:①位置關(guān)系——垂直;②數(shù)量關(guān)系——平分.性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定定理:與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.3.當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高〔或垂線、或求幾條折線段的最小值等情況時(shí),通??紤]作軸對(duì)稱變換,以"補(bǔ)齊"圖形,集中條件.經(jīng)典·考題·賞析[例1]〔XX如圖所示,將一張正方形紙片對(duì)折兩次,然后在上面打3個(gè)洞,則紙片展開后是〔[解法指導(dǎo)]對(duì)折問題即是軸對(duì)稱問題,折痕就是對(duì)稱軸.故選D.[變式題組]01.將正方形紙片兩次對(duì)折,并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平,得到的圖形是〔02.〔荊州如圖,將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)G上,點(diǎn)D落在點(diǎn)H上;然后再沿虛線GH折疊,使B落在點(diǎn)E上,點(diǎn)C落在點(diǎn)F上,疊完后,剪一個(gè)直徑在BC上的半圓,再展開,則展開后的圖形為〔[例2]〔襄樊如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,將△ABC向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A’B’C’,則與點(diǎn)B’關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是〔A.〔0,-1B.〔1,1C.〔2,-1D.〔1,-1[解法指導(dǎo)]在△ABC中,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔-1,1,將△ABC向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A’B’C’,由點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律可得B’〔-1+2,1,即B’〔1,1.由關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律可得點(diǎn)B’關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是〔1,-1,故應(yīng)選D.[變式題組]01.若點(diǎn)P〔-2,3與點(diǎn)Q〔a,b關(guān)于x軸對(duì)稱,則a、b的值分別是〔A.-2,3B.2,3C.-2,-3D.2,-302.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P〔-3,2,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)R,則點(diǎn)R的坐標(biāo)是___________.03.〔荊州已知點(diǎn)P〔a+1,2a-1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限,則a的取值范圍為___________.[例3]如圖,將一個(gè)直角三角形紙片ABC〔∠ACB=90°,沿線段CD折疊,使點(diǎn)B落在B1處,若∠ACB1=70°,則∠ACD=〔A.30°B.20°C.15°D.10°[解法指導(dǎo)]由折疊知∠BCD=∠B1CD.設(shè)∠ACD=x,則∠BCD=∠B1CD=∠ACB1+∠ACD=70°+x.又∠ACD+∠BCD=∠ACB,即x+〔70°+x=90°,故x=10°.故選D.[變式題組]01.〔東營(yíng)如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后,點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D’、C’的位置.若∠EFB=65°,則∠AED’等于〔A.70°B.65°C.50°D.25°02.如圖,△ABC中,∠A=30°,以BE為邊,將此三角形對(duì)折,其次,又以BA為邊,再一次對(duì)折,C點(diǎn)落在BE上,此時(shí)∠CDB=82°,則原三角形中∠B=___________.03.〔XX⑴觀察與發(fā)現(xiàn):小明將三角形紙片ABC〔AB>AC沿過點(diǎn)A的直線折疊,使得AC落在AB邊上,折痕為AD,展平紙片〔如圖①;再次折疊該三角形紙片,使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合,折痕為EF,展平紙片后得到△AEF〔如圖②.小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形,你同意嗎?請(qǐng)說明理由.⑵實(shí)踐與運(yùn)用:將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,折痕為BE〔如圖③;再沿過點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D’處,折痕為EG〔如圖④;再展平紙片〔如圖⑤.求圖⑤中∠α的大小.[例4]如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,EF是AD的垂直平分線,E為垂足,EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:∠B=∠CAF.[解法指導(dǎo)]∵EF是AD的中垂線,則可得△AEF≌△DEF,∴∠EAF=∠EDF.從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉(zhuǎn)化即可.證明:∵EF是AD的中垂線,∴AE=DE,∠AEF=∠DEF,EF=EF,∴△AEF≌△DEF,∴∠2+∠4=∠3,∴∠3=∠B+∠1,∴∠2+∠4=∠B+∠1,∵∠1=∠2,∴∠B=∠4[變式題組]01.如圖,點(diǎn)D在△ABC的BC邊上,且BC=BD+AD,則點(diǎn)D在__________的垂直平分線上.02.如圖,△ABC中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC于E,且AE=EC,若AB=3cm,則DC=___________cm.03.如圖,△ABC中,∠BAC=126°,DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線,則∠EAG=___________.04.△ABC中,AB=AC,AB邊的垂直平分線交AC于F,若AB=12cm,△BCF的周長(zhǎng)為20cm,則△ABC的周長(zhǎng)是___________cm.[例5]〔眉山如圖,在3×3的正方形格點(diǎn)圖中,有格點(diǎn)△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對(duì)稱,請(qǐng)?jiān)谙旅娴膫溆脠D中畫出所有這樣的△DEF.[解法指導(dǎo)]在正方形格點(diǎn)圖中,如果已知條件中沒有給對(duì)稱軸,在找對(duì)稱軸時(shí),通常找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為對(duì)稱軸.若以圖案居中的水平直線為對(duì)稱軸,所作的△DEF如圖①②③所示;若以圖案居中的豎直直線為對(duì)稱軸,所作的△DEF如圖④所示;若以圖案居中的斜線為對(duì)稱軸,所作的△DEF如圖⑤⑥所示.[變式題組]01.〔XX如圖,在2×2的正方形格點(diǎn)圖中,有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC,請(qǐng)你找出格點(diǎn)圖中所有與△ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,這樣的三角形共有___________個(gè).02.〔XX如圖甲,正方形被劃分成16個(gè)全等的三角形,將其中若干個(gè)三角形涂黑,且滿足下列條件:⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半;⑵涂黑部分成軸對(duì)稱圖形.如圖乙是一種涂法,請(qǐng)?jiān)趫D1-3中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法.〔在所設(shè)計(jì)的圖案中,若涂黑部分全等,則認(rèn)為是同一種不同涂法,如圖乙與圖丙[例6]如圖,牧童在A處放牛,其家在B處,若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家,試問在何處飲水,所求路程最短?[解法指導(dǎo)]⑴所求問題可轉(zhuǎn)化為CD上取一點(diǎn)M,使其AM+BM為最??;⑵本題利用軸對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行解答.解:先作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A’,連接A’B交CD于點(diǎn)M,則點(diǎn)M為所求,下面證明此時(shí)的AM+BM最?。C明:在CD上任取與M不重合的點(diǎn)M’,∵AA’關(guān)于CD對(duì)稱,∴CD為線段AA’的中垂線,∴AM=A’M,M’=A’M’,在△A’M’B中,有A’B<A’M’+BM’,∴A’M+BM<A’M’+BM’,∴AM+BM<AM’+BM’,即AM+BM最?。甗變式題組]01.〔XX設(shè)直線l是一條河,P、Q兩地相距8千米,P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米,欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站向P、Q兩地供水.現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案,圖中的實(shí)線表示輔設(shè)的管道,則鋪設(shè)的管道最短的是〔02.若點(diǎn)A、B是銳角∠MON內(nèi)兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)贠M、ON上確定點(diǎn)C、點(diǎn)D,使四邊形ABCD周長(zhǎng)最小,寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點(diǎn).演練鞏固·反饋提高01.〔黃岡如圖,△ABC與△A’B’C’關(guān)于直線l對(duì)稱,且∠A=78°,∠C’=48°,則∠B的度數(shù)是〔.A.48°B.54°C.74°D.78°02.〔XX如圖,把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折,折痕為AB,再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分線折疊,將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是〔A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形03.圖1是四邊形紙片ABCD,其中∠B=120°,∠D=50°,若將其右下角向內(nèi)折出△PCR,恰使CP∥AB,RC∥AD,如圖2所示,則∠C=〔A.80°B.85°C.95°D.110°04.如圖,陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的圖形又是關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的圖形,若點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔1,3,則點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是〔A.M〔1,-3,N〔-1,-3B.M〔-1,-3,N〔-1,3C.M〔-1,-3,N〔1,-3D.M〔-1,3,N〔1,-305.點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)P’的坐標(biāo)是〔-3,5,則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是〔A.〔3,-5B.〔-5,3C.〔3,5D.〔5,306.已知M〔1-a,2a+2關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)在第二象限,則a的取值范圍是〔A.-1<a<1B.-1≤a≤1C.a(chǎn)>1D.a(chǎn)>-107.〔XX如圖,鏡子中號(hào)碼的實(shí)際號(hào)碼是___________.08.〔XX如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,則圖中陰影部分的面積為___________cm2.09.已知點(diǎn)A〔2a+3b,-2和B〔8,3a+2b關(guān)于x軸對(duì)稱,則a+b=___________.10.如圖,在△ABC中,OE、OF分別是AB、AC中垂線,且∠ABO=20°,∠ABC=45°,求∠BAC和∠ACB的度數(shù).11.如圖,C、D、E、F是一個(gè)長(zhǎng)方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn),A、B是桌面上的兩個(gè)球,怎樣擊打A球,才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球?請(qǐng)畫出A球經(jīng)過的路線,并寫出作法.12.如圖,P為∠ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn),PM⊥BC于M,PN⊥BA的延長(zhǎng)線于N.求證:AN=MC.13.〔荊州有如圖""的8張紙條,用每4張拼成一個(gè)正方形圖案,拼成的正方形的每一行和每一列中,同色的小正方形僅為2個(gè),且使每個(gè)正方形圖案都是軸對(duì)稱圖形,在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖.〔畫出的兩個(gè)圖案不能全等培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01.〔XX競(jìng)賽試題如圖,直線l1與直線l2相交,∠α=60°,點(diǎn)P在∠α內(nèi)〔不在l1l2上.小明用下面的方法作P的對(duì)稱點(diǎn):先以l1為對(duì)稱軸作點(diǎn)P關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P1,再以l2為對(duì)稱軸作P1關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P2,然后再以l1為對(duì)稱軸作P2關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P3,以l2為對(duì)稱軸作P3關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P4,……如此繼續(xù),得到一系列P1、P2、P3……Pn與P重合,則n的最小值是〔A.5B.6C.7D.802.在平面直角坐標(biāo)系中,直線l過點(diǎn)M〔3,0,且平行于y軸.⑴如果△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A〔-2,0,B〔-1,0,C〔-1,2,△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1,△A1B1C1關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形是△A2B2C2,寫出△A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);⑵如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔-a,0,其中a>0,點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P1,點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是P2,求PP2的長(zhǎng).03.〔荊州某住宅小區(qū)擬栽種12棵風(fēng)景樹,若想栽成6行,每行4棵,且6行樹所處位置連成線后能組成精美的對(duì)稱圖案,請(qǐng)你仿照舉例在下面方框中再設(shè)計(jì)兩種不同的栽樹方案.04.〔XX已知:如圖,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足為E,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,PB分別與線段CF、AF相交于P、M.⑴求證:AB=CD;⑵若∠BAC=2∠MPC,請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.05.在△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)A關(guān)于BC邊的對(duì)稱點(diǎn)為A’,點(diǎn)B關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為B’,點(diǎn)C關(guān)于AB邊的對(duì)稱點(diǎn)為C’,若S△ABC=1,求S△A’B’C’.06.〔XX市競(jìng)賽試題小王同學(xué)在小組數(shù)學(xué)活動(dòng)中,給本小組出了這樣一道"對(duì)稱跳棋"題:如圖,在作業(yè)本上畫一條直線l,在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B,使線段AB長(zhǎng)a厘米,并關(guān)于直線l對(duì)稱,在圖中P1處有一粒跳棋子,P1距A點(diǎn)b厘米、與直線l的距離C厘米,按以下程序起跳:第1次,從P1點(diǎn)以A為對(duì)稱中心跳至P2點(diǎn);第2次,從P2點(diǎn)以l為對(duì)稱軸跳至P3點(diǎn);第3次,從P3點(diǎn)以B為對(duì)稱中心跳至P4點(diǎn);第4次,從P4以l為對(duì)稱軸跳至P1點(diǎn);⑴畫出跳棋子這4次跳過的路徑并標(biāo)注出各點(diǎn)字母;〔畫圖工具不限⑵棋子按上述程序跳躍2011次后停下,假設(shè)a=8,b=6,c=3,計(jì)算這時(shí)它與A的距離是多少?07.〔XX如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A〔2,-3,B〔4,-1.⑴若P〔p,0是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)p=___________時(shí),△PAB的周長(zhǎng)最短;⑵若C〔a,0,D〔a+3,0是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)a=___________時(shí),四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短;⑶設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)問:是否存在這樣的點(diǎn)M〔m,0、N〔0,n,使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短?若存在,請(qǐng)求出m=___________,n=___________〔不必寫解答過程;若不存在,請(qǐng)說明理由.第4講等腰三角形考點(diǎn)·方法·破譯1.等腰三角形及其性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形,等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,因此它的性質(zhì)有:⑴等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔即等邊對(duì)等角;⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合〔即等腰三角形三線合一2.等腰三角形的判定證明一個(gè)三角形是等腰三角形的基本方法是:⑴從定義入手,證明一個(gè)三角形有兩條邊相等;⑵從角入手,證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,依據(jù)是等腰三角形判定定理;等角對(duì)等邊.3.構(gòu)造等腰三角形的常用方法⑴角平分線+平行線=等腰三角形⑵角平分線+垂線〔或高=等腰三角形⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形經(jīng)典·考題·賞析等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400,則這個(gè)等腰三角形的底角為________________.[解法指導(dǎo)]若問題中涉及到三角形的高,則要分別考慮三角形的高是在三角形的外,三角形內(nèi)的情況.解:如圖1,當(dāng)一腰上的高在三角形內(nèi)時(shí),∠ACD=400,∴∠A=500∴∠B=∠ACB=QUOTE如圖2,當(dāng)一腰上的高在三角形外時(shí),∠ACD=400,∠DAC=500∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B∴∠B=∠ACB=250,故填650或250.[變式題組]01.〔呼和浩特在等腰⊿ABC中,AB=AC,一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分,則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為〔A.7B.11C.7或11D.7或1002.〔黃岡在⊿ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500,則∠B=___________度.03.〔襄樊在⊿ABC中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D為BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,那么當(dāng)t=_________秒時(shí),過D、P兩點(diǎn)的直線將⊿ABC的周長(zhǎng)分成兩個(gè)部分,使其中一部分是另一部分的2倍.[例2]如圖,在⊿ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,AD=BD=BC,求∠A的度數(shù).[解法指導(dǎo)]圖中的等腰三角形多,可利用等腰三角形的性質(zhì),用方程的思想求角的度數(shù).解:設(shè)∠A=x,
∵BD=AD,∴∠A=∠ABD=x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=2x,∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴x+2x+2x=180°,x=36°,∴∠A=36°.[變式題組]01.如圖,在⊿ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A的度數(shù).02.如圖,在⊿ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的大?。甗例3]已知坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A〔2,-2,B是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn).若⊿AOB是等腰三角形,則這樣的點(diǎn)B一共有〔個(gè)A.4B.5C.6D.8[解法指導(dǎo)]⊿AOB是等腰三角形,但不能確定哪條邊是等腰三角形的底,因而要分三種情況進(jìn)行說明①AO=OB,②OA=AB,③BA=BO,又∵B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn).要考慮x軸與y軸兩種情況.解:①如圖1,當(dāng)OA是底邊時(shí),B在OA的中垂線上,又B在坐標(biāo)軸上,因而B是OA中垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn);②如圖2,當(dāng)OA為腰時(shí),若O為頂點(diǎn),則B在以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓上,又B在坐標(biāo)軸上,因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn);③如圖3,當(dāng)OA為腰時(shí),若A為頂點(diǎn),則B在以A為圓心,OA為半徑的圓上,又B在坐標(biāo)軸上,因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).故選D.[變式題組]01.<XX競(jìng)賽試題>在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),已知A〔3,-3,點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),則使⊿AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有〔A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)02.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是<1,0>,點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔0,QUOTE,點(diǎn)C在坐標(biāo)平面內(nèi).若以A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形,且底角為30度,則滿足條件的點(diǎn)C有_________個(gè).ABABCDPE第2題圖第4題圖第3題圖第2題圖第4題圖第3題圖03.〔XX如圖,已知長(zhǎng)方形紙片ABCD,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是BC上一點(diǎn),∠BEG>600,現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊,使點(diǎn)B落在紙片中的點(diǎn)H處,連接AH,則與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為〔A.4B.3C.2D.1ACBMDE<例4題圖>04.〔XX如圖所示,矩形ABCD中,AB=4,BC=QUOTE,點(diǎn)E是折線段A-D-C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合,點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn).在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)EACBMDE<例4題圖>A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)[例4]〔棗莊兩個(gè)全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置,E,A,C三點(diǎn)在一條直線上,連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,MC.試判斷△EMC的形狀,并說明理由.[解法指導(dǎo)]判斷⊿MEC為等腰直角三角形,M為直角頂點(diǎn),即想證∠EMC=900,而⊿ABD為等腰三角形,M是BD的中點(diǎn),若連接AM則有∠AMD=900,因而只需證∠DME=∠AMC,利用全等三角形即可.解:的形狀是等腰直角三角形,理由如下:連接,由題意得:..又,....又,..所以的形狀是等腰直角三角形.[變式題組]01.如圖,在等腰直角三角形ABC中,P是斜邊BC的中點(diǎn),以P為直角頂點(diǎn)的兩邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F,當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)<點(diǎn)E不與A、B重合>,⊿PEF也始終是等腰三角形,請(qǐng)你說明理由.02.如圖,在等腰三角形ABC中,∠ACB=900,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB垂足為E,過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF交AD于G.⑴求證:AD⊥CF;⑵連接AF,試判斷⊿ACF的形狀,并說明理由.03.如圖,⊿ABC中,∠ACB=900,AC=BC,CO為中線.現(xiàn)將一直角三角板頂點(diǎn)放在點(diǎn)O上并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),若三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H.⑴試寫出圖中除AC=BC,OA=OB=OC外其他所有相等的線段;⑵請(qǐng)選一組你寫出的相等線段給予證明.[例5]我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形.⑴請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱;⑵如圖,在中,點(diǎn)分別在上,設(shè)相交于點(diǎn),若,.請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角,并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形;⑶在中,如果是不等于的銳角,點(diǎn)分別在上,且.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形,并證明你的結(jié)論.[解法指導(dǎo)]證明兩條線段相等時(shí),若兩條線段在同一三角形中,可證明它們所對(duì)的角相等.若兩條線段在不同的三角形中,則證它們所在的兩個(gè)三角形全等,若三角形不全等,即可通過構(gòu)造全等三角形或等腰三角形解決問題.解:⑴如:平行四邊形、等腰梯形等⑵答:與∠A相等的角是∠BOD〔或∠COE,四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形;圖1⑶答:此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形,是四邊形DBCE.圖1證法一:如圖1,作CG⊥BE于G點(diǎn),作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn).∵∠DCB=∠EBC=QUOTE∠A,BC為公共邊,∴△BCF≌△CBG,∴BF=CG,∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC=∠ABE+∠A,∴∠BDF=∠BEC,可證△BDF≌△CEG,∴BD=CE∴四邊形DBCE是等邊四邊形.圖2證法二:如圖2,以C為頂點(diǎn)作∠FCB=∠DBC,CF交BE于F點(diǎn).圖2∵∠DCB=∠EBC=QUOTE∠A,BC為公共邊,∴△BDC≌△CFB,∴BD=CF,∠BDC=∠CFB,∴∠ADC=∠CFE,∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE,∠FEC=∠A+∠ABE,∴∠ADC=∠FEC,∴∠FEC=∠CFE,∴CF=CE,∴BD=CE,∴四邊形DBCE是等邊四邊形.[變式題組]01.如圖,在QUOTEABC中,∠B=2∠C,AD為∠BAC的平分線.求證:AC=AB+BD.02.<天津初賽試題>如圖,在四邊形ABCD中,∠ACB=∠BAD=1050,∠ABC=∠ADC=450,若AB=2,求CD的長(zhǎng).03.如圖,在QUOTEABC中,AB=AC,D在AB上,F在AC延長(zhǎng)線上,BD=CF.求證DE=EF.[變式題組]01.<XX>已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為〔A.200B.1200C.200或1200D.360002.〔XX已知等腰三角形的兩邊分別為6和3,則此等腰三角形周長(zhǎng)為〔A.9B.15C.15D.12或1503.〔XX如圖,等腰QUOTEABC的周長(zhǎng)為21,底邊BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,則QUOTEBEC的周長(zhǎng)為〔A.13B.14C.15D.1604.如圖,C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上,且AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=180,則∠GEF的度數(shù)是〔A.800B.900C.1000D.108005.如圖,RtQUOTEABC中,CD是斜邊AB上的高,角平分線AE交CD于H,EF⊥AB于F,則下列結(jié)論中不正確的是〔A.∠ACD=∠BB.CH=CE=EFC.CH=HDD.AC=AF06.如圖,QUOTEABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論:①Q(mào)UOTEBDF和QUOTECEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③QUOTEADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和;④BF=CF.其中正確的有〔A.①②③B.①②③④C.①②D.①07.〔XX如圖,已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=700,則∠DAO+∠DCO的大小是〔A.700B.1100C.1400D.150008.〔濱州已知等腰QUOTEABC的周長(zhǎng)為10,若設(shè)腰長(zhǎng)為x,則x的取值范圍是____________.09.如圖所示,在QUOTEABC中,已知AB=AC,∠A=360,BC=2,BD是QUOTEABC的角平分線,則AD=___________.10.<威海>如圖,AB=AC,BD=BC,若∠A=400,則∠ABD的度數(shù)是_________.11.<烏魯木齊>在一次數(shù)學(xué)課上,王老師在黑板上畫出圖6,并寫下了四個(gè)等式:①,②,③,④.要求同學(xué)從這四個(gè)等式中選出兩個(gè)作為條件,推出是等腰三角形.請(qǐng)你試著完成王老師提出的要求,并說明理由.〔寫出一種即可已知:BEDABEDAC證明:12.〔XX兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,在同一條直線上,連結(jié).⑴請(qǐng)找出圖2中的全等三角形,并給予證明〔說明:結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母;⑵證明:.圖1圖1圖2DCEAB13.〔XX如圖,已知中,厘米,厘米,點(diǎn)為的中點(diǎn).⑴如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過1秒后,與是否全等,請(qǐng)說明理由;②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使與全等?⑵若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇?AAQCDBP14.〔XX如圖1,已知中,,,把一塊含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在的中點(diǎn)上〔直角三角板的短直角邊為,長(zhǎng)直角邊為,將直角三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).⑴在圖1中,交于,交于.①證明;②在這一旋轉(zhuǎn)過程中,直角三角板與的重疊部分為四邊形,請(qǐng)說明四邊形的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積;⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于,是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;圖1圖2圖3⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置,延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于,是否仍然成立?請(qǐng)寫出結(jié)論,不用證明.圖1圖2圖3培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01.如圖,∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P,BE=BC,PB與CE交于點(diǎn)H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列結(jié)論:①GA=GP;②QUOTE③BP垂直平分CE;④FP=FC;其中正確的判斷有〔A.只有①②B.只有③④C.只有①③④D.只有①②③④02.如圖,點(diǎn)A是QUOTE網(wǎng)格圖形中的一個(gè)網(wǎng)格圖形中的一個(gè)格點(diǎn)〔小正方形的頂點(diǎn),圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,以A為其中的一個(gè)頂點(diǎn),面積等于2.5的格點(diǎn)等腰直角三角形〔三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的個(gè)數(shù)是〔A.10個(gè)B.12個(gè)C.14個(gè)D.16個(gè)03.如圖,在QUOTEABC中,AB=BC,MN=NA,∠BAM=∠NAC,則∠MAC=_________.04.如圖,AA’、BB’分別是∠EAB、∠DBC的平分線,若AA’=BB’=AB.則∠BAC的度數(shù)為______________.05.<全國(guó)聯(lián)賽>在等腰RtQUOTEABC中,AC=BC=1,M是BC的中點(diǎn),CE⊥AM于E,交AB于F.則QUOTE=_____________06.如圖,在QUOTEABC中,AB=AC,EF為過點(diǎn)A的任意一條直線,CF⊥BC,BE⊥BC.求證:AE=AF.07.〔XX市競(jìng)賽試題如圖,在RtQUOTEABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一點(diǎn),且BF=CE,求證:FK∥AB08.<XX省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題>有一等腰鈍角三角形紙片,若能從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片,求等腰三角形紙片的頂角的度數(shù).09.如圖,在QUOTEABC中,∠ABC=460,D是邊BC上一點(diǎn),DC=AB,∠DAB=210,求∠CAD的度數(shù).10.〔XX省XX市中考試題如圖,在等腰△中,是底邊上的高線,點(diǎn)是線段上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接交于點(diǎn).<1>證明:;<2>證明:;<3>以線段和為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形〔點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn),記△和△的面積分別為和,如果存在點(diǎn),能使得,求∠的取值范圍.11.如圖,已知在△中,AB=AC,∠BAC=900,AD=AE,AF⊥BE交BC于F,過F作FG⊥CD交BE的延長(zhǎng)線于G.求證:BG=AF+FG第五講等邊三角形考點(diǎn)方法破譯1.等邊三角形及其性質(zhì):三邊都相等的三角形叫做等邊三角形,等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都等于60.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是頂角平分線或底邊上的高、中線所在直線;2.等邊三角形的判定:三邊都相等的三角形是等邊三角形;三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形;3.在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,反之也成立.經(jīng)典考題賞析[例1]如圖,△DAC和△EBC均是等邊三角形,A、C、B三點(diǎn)在一條直線上.AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N.<1>求證:△ACE≌△DCB;<2>求∠AFD的度數(shù);<3>判斷△CMN的形狀[解法指導(dǎo)]根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),利用全等三角形中邊角的關(guān)系可解決問題.解:<1>∵等邊三角形DAC與等邊三角形EBC∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB∴在△ACE和△DCB中,,∴△ACE≌△DCB<2>∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1=∠2又∵∠1+∠DFA==∠2+∠ACD∴∠AFD=∠ACD=60°<3>在△ACM和△DCN中,∴△ACM≌△DCN∴CM=CN又∵∠DCN=60°∴△CMN是等邊三角形.[變式題組]01.<天津>如圖,P、Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn),且BP=PQ=QC=AP=AQ,則∠BAC的大小等于__________度02.<荊州>如圖,D是等邊△ABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn),以CD為一邊向上作等邊△EDC,連接AE,找出圖中的一組全等三角形,并說明理由.03.如圖,在正△ABC中,D,E分別是BC、AC上的一點(diǎn),且AE=CD.AD與BE相交于點(diǎn)P,且BQ⊥AD于Q.求證BP=2PQ04.<黃岡>如圖,過邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PE⊥AC于E,Q是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),當(dāng)PA=CQ時(shí),連接PQ交AC于D,求DE的長(zhǎng).[例2]P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠PBC=30°,∠PBA=8°,且∠PAB=∠PAC=22°,求∠APC的度數(shù)[解法指導(dǎo)]由于∠PAB=∠PAC,因而PA平分∠BAC,根據(jù)角平分線的特點(diǎn)可構(gòu)造全等三角形,其方法一:在AB邊上截??;方法二:延長(zhǎng)AC邊,又由于∠BPA=150°是特殊角,考慮∠BPA的完整性,因而取方法二的可能性更大.解:延長(zhǎng)AC到D,使AD=AB,連接PD、BD,∵∠PBA=8°∠PAB=22°∴∠BPA=150°,在△ABP和△ADP中,∴△ABP≌△ADP∴∠APB=∠APD=150°,BP=DP,∠PBA=∠APD=8°∴∠BPD=60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC=30°∴∠PBC=∠DBC在△PBC和△DBC中,∴△PBC≌△DBC,∴PC=CD∴∠CPD=∠CDP=8°∴∠APC=∠APD一∠CPD=150°一8°=142°[變式題組]01.如圖,D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),E為ABC外部一點(diǎn),滿足DA=DB,BE=BA,∠DBE=∠DBC.求∠BED的度數(shù).02.如圖.D是△ABC外一點(diǎn).AB=AC=BD+CD,∠ABD=60°求∠ACD的度數(shù).[例3]如圖<1>,△ABC等邊三角形,△BDC是頂角120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作60°的角,它的兩邊分別與AB、AC交于點(diǎn)M和N,連接MN.<1>探究:MN、NC之間的關(guān)系,并加以證明;<2>若點(diǎn)M、N分別在射線AB、CA上,其他條件不變,再探究線段BM、MN、NC之間的關(guān)系,在圖<2>中畫出相應(yīng)的圖形.并就結(jié)論說明理由[解法指導(dǎo)]對(duì)于<1>,這時(shí)在△DMB中,有∠DBM=∠DBC+∠CBA=30°+60°=90°為了把BM,MN,NC集中到一個(gè)三角形中去,將△DMB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DGC.如圖<3>.從而有MB=GC.而此時(shí)恰又有△MND≌△GND·得MN=NG=NC+CG=NC+BM.對(duì)于<2>,此時(shí)的圖形<4>,仍作<1>中的旋轉(zhuǎn),類似地可以推得MN=CN一BM解<1>關(guān)系為MN=BM+NC證明:延長(zhǎng)AC到G,使CG=BM,連接DG,如圖<3>∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°十30°=90°同理也有∠ACD=90°在△DMB和△DGC中;DB=DC.BM=CG∴△DMB≌△DGC∴DM=DG.∠MDB=∠GDC.在△MND和△GND中,ND公用,DM=DG,∠MDN=60°∠GDN=∠GDC+∠DCN=∠MDB+∠CDN=60°∴△MND≌△GND∴MN=GN=GC十NC=BM+NC<2>此時(shí).圖形如圖<4>,有關(guān)系式MN=CN—BM理由如下:在CN上截取GG=BM.連接DG,如圖<4>與<1>中情況類似.可推得∠ABD=∠ACD=90°.且Rt△DMB≌△DGC,得DM=DG.∠MDB=∠GDC仍與<1>中情況婁似,可推得△MND≌△GND.就有MN=GN=NC—CG=NC—BM.[變式題組]01.用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成四邊形ABCD,把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合,使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合.兩邊分別與AB、AC重合,將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)<1>當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E,F時(shí),<如圖1>,通過觀察或測(cè)量BE,CF的長(zhǎng)度,你能得出什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論;<2>當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F時(shí)<如圖2>,你在<1>中得到的結(jié)論還成立嗎,簡(jiǎn)要說明理由.02.如圖.四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°求證:AC=BC+DC.鞏固練習(xí)反饋提高01.如圖.△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,點(diǎn)E在AC上,且AE=AD,則∠DEC=<>A105°B85°C95°D75°第1題圖第2題圖02.如圖,等邊△ABC,D在AC上,延長(zhǎng)BC到E.使CE=CD,若BD=DE,給出下列結(jié)論:①BD平分∠ABC②AD=AB③CE=BC④∠A=2∠E,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是<>A.4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)03.<XX>如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),將△ABC沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在A’處,且A’在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為__________cm第3題圖第4題圖第5題圖第3題圖第4題圖第5題圖04.在等邊△ABC中,AC=9,點(diǎn)O在AC上,且AO=3,點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段OD,要使點(diǎn)D恰好落在BC上,則AP=__________.05.如圖,△ABC是等邊三角形,D、E、F分別在AB、BC、AC上,且DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,試判斷△DEF是否為等邊三角形,并說明理由.06.請(qǐng)你用三種不同的分割方法,將圖中的三個(gè)正三角形分別分割成四個(gè)等腰三角形<在圖中畫出分割線,并標(biāo)出必要的角的度數(shù)>.07.如圖,點(diǎn)D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn).AB=3AD,DE⊥BC于點(diǎn)E,AE、CD相交于點(diǎn)F<1>求證:△ACD≌△BAE:<2>過點(diǎn)C作CG⊥AE,垂足為點(diǎn)G,探究CF與FG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.08.如圖:△ABC是等邊三角形,D是AB邊上的點(diǎn),將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE,延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F,連接DC,AE.求證:△ADE≌△DFC09.如圖:△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在CA、AB的延長(zhǎng)線上,AD=BE.DB的延長(zhǎng)線交EC于F.求證:<1>DB=EC;<2>∠BFC=60°10.<XX>如圖1,若△ABC與△ADE為等邊三角形,M、N分別是EB、CD的中點(diǎn),易證:CD=BE,△AMN是等邊三角形.<1>當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),CD=BE是否仍然成立?若成立請(qǐng)證明,若不成立請(qǐng)說明理由;<2>當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),△AMN是否還是等邊三角形?若成立請(qǐng)證明,若不成立請(qǐng)說明理由.第06講實(shí)數(shù)考點(diǎn)·方法·破譯1.平方根與立方根:若=a<a≥0>則x叫做a的平方根,記為:a的平方根為x=±,其中a的平方根為x=叫做a的算術(shù)平方根.若x3=a,則x叫做a的立方根.記為:a的立方根為x=.2.無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù),有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).任何有理數(shù)都可以表示為分?jǐn)?shù)〔p、q是兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù),且q≠0的形式.3非負(fù)數(shù):實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,實(shí)數(shù)的偶次冪,非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根〔或偶次方根都是非負(fù)數(shù).即>0,≥0〔n為正整數(shù),≥0<a≥0>.經(jīng)典·考題·賞析[例1]若2m-4與3m-1是同一個(gè)數(shù)的平方根,求m的值.[解法指導(dǎo)]一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),并且這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).∵2m?4與3m?l是同一個(gè)數(shù)的平方根,∴2m?4+3m?l=0,5m=5,m=l.[變式題組]01.一個(gè)數(shù)的立方根與它的算術(shù)平方根相等,則這個(gè)數(shù)是____.02.已知m是小于的最大整數(shù),則m的平方根是____.03.的立方根是____.04.如圖,有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)化器,當(dāng)輸入的x為64時(shí),輸出的y是____.輸入輸入x取算術(shù)平方根輸出y是無理數(shù)是有理數(shù)[例2]〔全國(guó)競(jìng)賽已知非零實(shí)數(shù)a、b滿足,則a+b等于<>A.-1B.0C.1D.2[解法指導(dǎo)]若有意義,∵a、b為非零實(shí)數(shù),∴b2>0∴a-3≥0a≥3∵∴,∴.∴,∴,故選C.[變式題組]0l.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),等
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