幾何學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史講義

幾何學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史目前一頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)前言：

幾何學(xué)是一門古老而實(shí)用的科學(xué),是自然科學(xué)的重要組成部分。在史學(xué)中,幾何學(xué)的確立和統(tǒng)一經(jīng)歷了二千多年,數(shù)百位數(shù)學(xué)家做出了不懈的努力。目前二頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

幾何這個(gè)詞最早來(lái)自于希臘語(yǔ)“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε

?ν”（測(cè)量）兩個(gè)詞合成而來(lái)，指土地的測(cè)量，即測(cè)地術(shù)。后來(lái)拉丁語(yǔ)化為“geometria”。中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時(shí)，由徐光啟所創(chuàng)。當(dāng)時(shí)并未給出所依根據(jù)，后世多認(rèn)為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語(yǔ)GEO的音譯，另一方面由于《幾何原本》中也有利用幾何方式來(lái)闡述數(shù)論的內(nèi)容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認(rèn)為幾何是geometria的音、意并譯。

1607年出版的《幾何原本》中關(guān)于幾何的譯法在當(dāng)時(shí)并未通行，同時(shí)代也存在著另一種譯名——形學(xué)，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學(xué)備旨》，在當(dāng)時(shí)也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續(xù)譯的《幾何原本》后9卷出版后，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀(jì)初的時(shí)候才有了較明顯的取代形學(xué)一詞的趨勢(shì)，如1910年《形學(xué)備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續(xù)幾何》。直至20世紀(jì)中期，已鮮有“形學(xué)”一詞的使用出現(xiàn)

目前三頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)古希臘的幾何學(xué)發(fā)展解析幾何投影幾何非歐幾何微分幾何幾何的公理化目前四頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)歐氏幾何的創(chuàng)始

公認(rèn)的幾何學(xué)的確立源自公元300多年前,希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得著作《原本》。歐幾里得在《原本》中創(chuàng)造性地用公理法對(duì)當(dāng)時(shí)所了解的數(shù)學(xué)知識(shí)作了總結(jié)。全書共有13卷,包括5條公理,5條公設(shè),119個(gè)定義和465條命題。這些公設(shè)和公理及基本定義成為《原本》的推理的基礎(chǔ)。

歐幾里得的《原本》是數(shù)學(xué)史上的一座里程碑,在數(shù)學(xué)中確立了推理的范式。他的思想被稱作“公理化思想”。

目前五頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)萌芽期實(shí)驗(yàn)幾何目前六頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)目前七頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)目前八頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

古希臘天文學(xué)與幾何學(xué)之父,他曾正確的預(yù)測(cè)日蝕的時(shí)間.對(duì)一些幾何圖形做有系統(tǒng)的研究.啟蒙期

泰利斯目前九頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)啟蒙期

首創(chuàng)集體創(chuàng)作,稱為畢式學(xué)派.也是一位音樂(lè)家,發(fā)明畢式音階.畢式定理為幾何學(xué)中的重要定理.這個(gè)學(xué)派認(rèn)為"數(shù)"是宇宙萬(wàn)物的基礎(chǔ).

畢達(dá)哥拉斯目前十頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)啟蒙期

尤多拉斯：創(chuàng)立窮盡法(exhaustionmethod),所謂窮盡法就是"無(wú)窮的逼近"的觀念,主要構(gòu)想是為了求取圓周率π的近似值.所予理論上說(shuō)尤多拉斯是微積分的開山祖師.

尤多拉斯的另一貢獻(xiàn)為對(duì)比例問(wèn)題做有系統(tǒng)的研究目前十一頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)歐幾里得巔峰期目前十二頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)《原本》的簡(jiǎn)介

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得把至希臘時(shí)代為止所得到的數(shù)學(xué)知識(shí)集其大成，編成十三卷的《原本》，這就是直到今天仍廣泛地作為幾何學(xué)的教科書使用下來(lái)的歐幾里得幾何學(xué)（簡(jiǎn)稱歐氏幾何）。

《原本》是一部劃時(shí)代的著作，是最早用公理法建立起演繹數(shù)學(xué)體系的典范。古希臘數(shù)學(xué)的基本精神，是從少數(shù)的幾個(gè)原始假定（定義、公設(shè)、公理）出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，得到一系列命題。這種精神，充分體現(xiàn)在歐幾里得的《原本》中。

《原本》全書共分13卷，包括有5條公理、5條公設(shè)、119個(gè)定義和465條命題。目前十三頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)《原本》的優(yōu)缺點(diǎn)歐幾里德《原本》可以說(shuō)是數(shù)學(xué)史上的第一座理論豐碑。它最大的功績(jī)，是在于數(shù)學(xué)中演繹范式的確立，這種范式要求一門學(xué)科中的每個(gè)命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結(jié)論，而所有這樣的推理鏈的共同出發(fā)點(diǎn)，是一些基本定義和被認(rèn)為是不證自明的基本原理——公設(shè)或公理。這就是后來(lái)所謂的公理化思想。目前十四頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

首先使用了重合法來(lái)證明圖形的全等。這方法有兩點(diǎn)值得懷疑：

第一，它用了運(yùn)動(dòng)的概念，而這是沒(méi)有邏輯依據(jù)的；

第二，重合法默認(rèn)圖形從一處移動(dòng)到另一處時(shí)所有性質(zhì)保持不變。要假定移動(dòng)圖形而不致改變它的性質(zhì)，那就要對(duì)物理空間假定很多的條件。

其次是公理系統(tǒng)不完備，例如沒(méi)有運(yùn)動(dòng)、連續(xù)性、順序等公理，因此許多證明不得不借助于直觀，利用今天的認(rèn)識(shí)可以發(fā)現(xiàn)歐幾里德用了數(shù)十個(gè)他所從未提出而且無(wú)疑并未發(fā)覺(jué)的假定，包括關(guān)于直線和圓的連續(xù)性的假定。目前十五頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)衰退期自阿基米德及阿波羅尼阿斯之后,希臘數(shù)學(xué)已漸漸走入衰退期.在這中間,仍有幾位值得一提的人物.托勒密:將三角函數(shù)發(fā)揚(yáng)光大,并由此將天文學(xué)炒熱.帕布斯:可說(shuō)是末代時(shí)期的代表人物.目前十六頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)古希臘幾何發(fā)展的原因目前十七頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

畢學(xué)派首先提出下列觀念:"將神秘性,不確定性從自然活動(dòng)中抹去,并將表面看似紛亂不堪的自然現(xiàn)象,重新整理成可理解的次序和型式,并決定性的關(guān)鍵就在於數(shù)學(xué)的應(yīng)用."繼承畢式學(xué)派觀念的就是柏拉圖:

柏拉圖主張:"只有循數(shù)學(xué)一途,才能了解實(shí)體世界的真面目,而科學(xué)之成為科學(xué),在於它含有數(shù)學(xué)的份."就是因?yàn)橄ＥD時(shí)代的一些學(xué)者對(duì)於自然的這種看法和確立了依循數(shù)學(xué)研究自然的做法,給食臘時(shí)代本身及后來(lái)世世代代的數(shù)學(xué)創(chuàng)見(jiàn)提供了莫大的誘因.而在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中,幾何學(xué)是最接近實(shí)際的描述.對(duì)希臘人而言,幾何學(xué)的原則是宇宙結(jié)構(gòu)的具體表現(xiàn),本身正一門實(shí)際空間的科學(xué).幾何學(xué)就是數(shù)學(xué),研究的中心.目前十八頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)希臘數(shù)學(xué)中的著名問(wèn)題目前十九頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)方圓問(wèn)題:是否能將一個(gè)已知的圓,變成一個(gè)正方形,而使得兩者面積相等

這個(gè)問(wèn)題在由尤多拉斯時(shí)代,就有許多人在這方面的研究,直到十九世紀(jì)才證明其為不可能,但是研究期間,已經(jīng)另外產(chǎn)生了許多數(shù)學(xué)的支.目前二十頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)倍積問(wèn)題:對(duì)一個(gè)已知的正立方體,長(zhǎng),寬,高應(yīng)該擴(kuò)大,才可使新的立方體為原來(lái)立方體體積的兩倍.等分角問(wèn)題:對(duì)任意的一個(gè)角,如何將其三等分.問(wèn)題2,3到十九世紀(jì)才被解決,證明為不可能.目前二十一頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)平行公設(shè):

有人認(rèn)為平行公設(shè)不為一公設(shè),所以有人將平行公設(shè)這個(gè)去除,結(jié)果造出一套新的幾何學(xué)出來(lái),而又不會(huì)違背原來(lái)的歐式幾何,這也就是非歐幾何學(xué).也就是愛(ài)因斯坦相對(duì)論的基礎(chǔ).

也許有人認(rèn)為希臘人不切實(shí)際,這三個(gè)問(wèn)題在當(dāng)時(shí),可說(shuō)完全無(wú)實(shí)用性,只可說(shuō)是一些有閑階級(jí)的人磨練腦力之用.但是就是因?yàn)橛心屈N多人投下心力去研究,才會(huì)間接帶動(dòng)幾何學(xué)研究的風(fēng)潮.而因此產(chǎn)生以后數(shù)學(xué)蓬勃的發(fā)展.目前二十二頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)解析幾何的誕生

解析幾何是變量數(shù)學(xué)最重要的體現(xiàn)。解析幾何的基本思想是在平面上引入“坐標(biāo)”的概念,并借助這種坐標(biāo)在平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,于是幾何問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

解析幾何的真正創(chuàng)立者應(yīng)該是法國(guó)數(shù)學(xué)家迪卡兒和費(fèi)馬。1637年迪卡兒在《更好的指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》的附錄《幾何學(xué)》中清晰的體現(xiàn)了解析幾何的思想。而費(fèi)馬則是在論平面和立體的軌跡引論中闡述了解析幾何的原理,他在書中提出并使用了坐標(biāo)的概念,同時(shí)建立了斜坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系。

目前二十三頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國(guó)天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)時(shí)，物體沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。目前二十四頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)1637年，法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。當(dāng)時(shí)的這個(gè)“幾何學(xué)”實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國(guó)古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個(gè)意思一樣。目前二十五頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)笛卡爾的《幾何學(xué)》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問(wèn)題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的《幾何學(xué)》作為解析幾何的起點(diǎn)。目前二十六頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來(lái)。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，在把任何代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。

目前二十七頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。目前二十八頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)具體地說(shuō)，平面解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對(duì)相對(duì)應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變數(shù)的一個(gè)代數(shù)方程來(lái)表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來(lái)。

目前二十九頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學(xué)》以前，就有許多學(xué)者研究過(guò)用兩條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時(shí)候，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè)“坐標(biāo)”（經(jīng)度和緯度）來(lái)確定。這些都對(duì)解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。目前三十頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時(shí)代的法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽(yù)。

目前三十一頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)費(fèi)爾馬是一個(gè)業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對(duì)數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要貢獻(xiàn)。他性情謙和，好靜成癖，對(duì)自己所寫的“書”無(wú)意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表《幾何學(xué)》以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費(fèi)爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。目前三十二頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)笛卡爾的《幾何學(xué)》，作為一本解析幾何的書來(lái)看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻(xiàn)。目前三十三頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

恩格斯對(duì)此曾經(jīng)作過(guò)評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了?！蹦壳叭捻?yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)解析幾何的基本內(nèi)容

在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。目前三十五頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

坐標(biāo)系將幾何對(duì)象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對(duì)空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對(duì)于解析幾何是重要的，就是對(duì)于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的。目前三十六頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)解析幾何的應(yīng)用

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。目前三十七頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。目前三十八頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)總的來(lái)說(shuō)，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問(wèn)題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過(guò)坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過(guò)方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。目前三十九頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)運(yùn)用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對(duì)方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語(yǔ)言敘述，從而得到原先幾何問(wèn)題的答案。目前四十頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無(wú)奇了。坐標(biāo)法對(duì)近代數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。目前四十一頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

解析幾何在方法論上是一個(gè)了不起的創(chuàng)見(jiàn)：①笛卡兒希望通過(guò)解析幾何給幾何引進(jìn)一個(gè)新的方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)他的希望，在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實(shí)，而且這個(gè)探索問(wèn)題的方式，幾乎成為自動(dòng)的了。②解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，把數(shù)學(xué)造成一個(gè)雙面工具。③解析幾何的顯著優(yōu)點(diǎn)在于它是數(shù)量的工具。④為數(shù)學(xué)思想的發(fā)展開拓了新的天地。⑤揭示了數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性。目前四十二頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)非歐幾何的誕生與發(fā)展

非歐幾何的誕生源于人們長(zhǎng)久以來(lái)對(duì)歐幾里得《原本》中第五公設(shè)即平行公設(shè)的探討,但一直未得到公設(shè)的結(jié)論。直到數(shù)學(xué)家高斯、波約和俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基在自己的論著中都描述了這樣一種幾何,以“從直線外一點(diǎn)可以引不止一條直線平行于已知直線”作為替代公式,進(jìn)行推理而得出的新的一套幾何學(xué)定理,并將它命名為非歐幾何,一般稱為“羅氏幾何”。

目前四十三頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)目前四十四頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)歐式幾何五條公設(shè)和五條公理公設(shè)1、任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過(guò)一條直線連接。2、任意線段能無(wú)限延伸成一條直線。3、給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓。4、所有直角都全等。5、若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。公理1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量減等量，其差仍相等。4、彼此能夠重合的物體是全等的。5、整體大于部分。目前四十五頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)第五公設(shè)的疑問(wèn)

但長(zhǎng)期以來(lái)，人們一直對(duì)第五公設(shè)心存疑問(wèn)。首先，第五公設(shè)相較于其他公設(shè)晦澀而難懂，許多人第一眼看上去并不了解這說(shuō)的是什么。其次，即便稍稍弄明白了意思，數(shù)學(xué)家們也糾結(jié)于它的證明。但就是這樣一個(gè)小小的疑問(wèn)，在今后的數(shù)學(xué)界卻掀起了巨大的波瀾。第五公設(shè)的簡(jiǎn)化

因而蘇格蘭科學(xué)家普雷費(fèi)爾給出了它的等價(jià)命題：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，如何證明？目前四十六頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)非歐幾何發(fā)展的成熟期一是以俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基為首的羅巴切夫斯基幾何學(xué)派一是以德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼為首的黎曼幾何學(xué)派目前四十七頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)羅氏幾何

羅巴切夫斯基首先否定了第五公設(shè)并得出了他的觀點(diǎn)：過(guò)已知直線外一點(diǎn)至少可以作兩條直線與已知直線平行。

在羅氏幾何中，三角形的一個(gè)顯著特點(diǎn)是其內(nèi)角之和嚴(yán)格小于平角，不存在相似三角形。但最令人難以接受的是任意三角形的面積都是有界的。由此推導(dǎo)出的羅氏正弦定律、余弦定律甚至勾股定律都遠(yuǎn)復(fù)雜于歐式幾何。目前四十八頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)黎曼幾何

黎曼認(rèn)為：過(guò)直線外任意一點(diǎn)沒(méi)有一條直線與已知直線平行。在黎曼幾何中，得出了以下公設(shè)：任意兩條直線必相交；三角形內(nèi)角和大于180°。其證明是圍繞著一個(gè)球體進(jìn)行的。黎曼視該球體的一個(gè)大圓為非歐直線，則任意兩個(gè)大圓間必有至少兩個(gè)交點(diǎn)（大圓有限）。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，的確，是不存在平行這個(gè)概念的。目前四十九頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。在我們?nèi)粘Ｉ钪校瑲W式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。研究非歐幾何的發(fā)展歷程，對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展和人類的進(jìn)步有重大意義。目前五十頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何的比較項(xiàng)目歐氏幾何羅氏幾何黎曼幾何兩條不重合直線的相交情況至多一個(gè)點(diǎn)至多一個(gè)點(diǎn)一個(gè)（單點(diǎn)）兩個(gè)（雙點(diǎn)）給定一直線l，過(guò)l外一點(diǎn)與l的平行線唯一一條至少有兩條沒(méi)有兩條平行線等距不等距不存在如果一條直線與兩條平行線中之一相交，則與另一條必相交不一定——垂直于同一條直線的不同直線的關(guān)系彼此平行平行相交三角形的三內(nèi)角和等于180°小于180°大于180°三角形的面積與三角形內(nèi)角的關(guān)系無(wú)關(guān)反比正比對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形的關(guān)系相似全等全等目前五十一頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

文藝復(fù)興時(shí)期的幾何發(fā)展源于對(duì)宗教繪畫的更高追求。畫家在繪畫中對(duì)“同一物體的同一投影的不同截影有什么相同的性質(zhì)?”等問(wèn)題產(chǎn)生了興趣,這導(dǎo)致了透視學(xué)的興起,即催生了射影幾何學(xué)。法國(guó)人德沙格在1639年發(fā)表了《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》,這本書也是將數(shù)學(xué)方法引用于解決透射問(wèn)題的第一部發(fā)表的論著。另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡1640年完成了《圓錐曲線論》,提出了射影幾何學(xué)中的帕斯卡定理。他們對(duì)射影幾何作出了突出的貢獻(xiàn),但他們局限于將這種幾何學(xué)作為歐氏幾何的一部分來(lái)研究。

目前五十二頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)射影幾何的發(fā)展目前五十三頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)目前五十四頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)目前五十五頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)第四十二回蘅蕪君蘭言解疑癖瀟湘子雅謔補(bǔ)余香

寶釵道：“我有一句公道話，你們聽(tīng)聽(tīng)．藕丫頭雖會(huì)畫，不過(guò)是幾筆寫意．如今畫這園子，非離了肚子里頭有幾幅丘壑的才能成畫．這園子卻是象畫兒一般，山石樹木，樓閣房屋，遠(yuǎn)近疏密，也不多，也不少，恰恰的是這樣．你就照樣兒往紙上一畫，是必不能討好的．這要看紙的地步遠(yuǎn)近，該多該少，分主分賓，該添的要添，該減的要減，該藏的要藏，該露的要露．這一起了稿子，再端詳斟酌，方成一幅圖樣．第二件，這些樓臺(tái)房舍，是必要用界劃的．一點(diǎn)不留神，欄桿也歪了，柱子也塌了，門窗也倒豎過(guò)來(lái)，階磯也離了縫，甚至于桌子擠到墻里去，花盆放在簾子上來(lái)，豈不倒成了一張笑`話'兒了．第三，要插人物，也要有疏密，有高低．衣折裙帶，手指足步，最是要緊，一筆不細(xì)，不是腫了手就是跏了腿，染臉?biāo)喊l(fā)倒是小事．依我看來(lái)竟難的很．如今一年的假也太多，一月的假也太少，竟給他半年的假，再派了寶兄弟幫著他．并不是為寶兄弟知道教著他畫，那就更誤了事，為的是有不知道的，或難安插的，寶兄弟好拿出去問(wèn)問(wèn)那會(huì)畫的相公，就容易了。”目前五十六頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)射影幾何的進(jìn)一步研究

1822年,龐思列發(fā)表了《論圖形的射影性質(zhì)》,他在書中提出了兩條重要的原理,即“連續(xù)性原理”和“對(duì)偶原理”。與前輩們不同的是,他討論的問(wèn)題不單單是在歐氏幾何的模式中進(jìn)行,而是一般性的問(wèn)題。與此同時(shí),德國(guó)數(shù)學(xué)家普呂可和莫比烏斯開創(chuàng)了研究射影幾何的解析方法,即應(yīng)用代數(shù)的方法來(lái)推導(dǎo)對(duì)偶原理等射影幾何原理的成立。

史陶特在1847年出版的《位置幾何學(xué)》中用坐標(biāo)概念來(lái)重新定義交比,使射影幾何擺脫了長(zhǎng)度等度量的限制。因此射影幾何比歐氏幾何更基本。在學(xué)者們的努力下,明確了歐氏幾何與非歐幾何都是射影幾何的特例。

目前五十七頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

到了1850年前后，數(shù)學(xué)家們對(duì)于射影幾何與歐氏幾何在一般概念與方法上已做出了區(qū)別，但對(duì)這兩種幾何的邏輯關(guān)系仍不甚了了。即使是綜合派的著作中也依然在使用長(zhǎng)度的概念，例如作為射影幾何中心概念之一的交比，就一直是用長(zhǎng)度來(lái)定義的，但長(zhǎng)度在射影變換下會(huì)發(fā)生改變，因而不是射影概念。目前五十八頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)幾何學(xué)的統(tǒng)一

非歐幾何的創(chuàng)立打破了長(zhǎng)久以來(lái)人們認(rèn)為只有歐氏幾何的觀念。人們開始探尋能否在一般的條件下統(tǒng)一幾何學(xué)。

目前五十九頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)幾何學(xué)的統(tǒng)一

1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在《艾兒朗根綱領(lǐng)》中提出了自己統(tǒng)一幾何學(xué)的基本構(gòu)想:“所謂幾何學(xué),就是研究幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問(wèn),或者說(shuō)任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量?！痹谒?希爾伯特為統(tǒng)一幾何學(xué)的提出了實(shí)施方法,即公理化方法。希爾伯特在他的《幾何基礎(chǔ)》中提出了包含20條公理的公理體系,并將它們分為五個(gè)組別。而且提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則為相容性、獨(dú)立性、完備性。這樣組織的公理系統(tǒng)中,通過(guò)否定或者替換其中一條或者幾條公理,就能構(gòu)造出某一種幾何。這種公理系統(tǒng)透徹的闡述了幾何學(xué)的邏輯關(guān)系和包含內(nèi)容,完整的統(tǒng)一了幾何學(xué)。

目前六十頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)近現(xiàn)代幾何學(xué)微分幾何微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面在它一點(diǎn)領(lǐng)域的性質(zhì)，換句話說(shuō)，微分幾何是研究一般的曲線或曲面在“小范圍”上的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。1731年18歲的法國(guó)青年數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的重要一步。歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念，即以曲線弧長(zhǎng)作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。目前六十一頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)研究幾何圖形的連續(xù)性質(zhì)，即在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)（允許拉伸、扭曲，但不能割斷和粘合）。目前六十二頁(yè)\總數(shù)七十頁(yè)\編于十二點(diǎn)

拓?fù)渌芯康氖菐缀螆D形的那樣一些性質(zhì)，它們?cè)趫D形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，