高等數(shù)學課程第13章復習

第一~三章復習極限與連續(xù)函數(shù)有定義、連續(xù)、可導、可微之間的關系有定義連續(xù)可導可微有極限常用等價無窮小:5/13

數(shù)列極限，函數(shù)極限的求法（1）四則運算（無窮小分離，消零因子，有理化，通分等）（2）單側極限與極限的關系（3）夾逼定理（4）兩個重要極限（5）等價無窮小代換（6）羅必達法則（7）有界變量與無窮小相乘還是無窮小。（8）用定積分定義計算極限幾個常用的極限

連續(xù)：一點處的連續(xù)性與單側連續(xù)性——局部性質;閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質——整體性質.有界性定理、最值定理、零點定理、介值定理，注意定理成立的條件：

1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．f(x)在x0連續(xù)意味著：（1）函數(shù)f在某U（x0）內有定義（包含x0點），且（2）函數(shù)f在x0有極限（左右極限存在且相等），且（3）函數(shù)f在x0點的極限值等于函數(shù)f(x0)。間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.1、設f(x)在x0處不連續(xù)，則f(x)在x0處必定（）（A）無定義；（B）左、右極限不相等；（C）不可微；（D）不一定可導.

2、設f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0處可導的（）.（A）必要非充分條件；（B）充分非必要條件；（C）充分必要條件；（D）無關條件.

CA二、2二、4解：二、6間斷點：x=1,x=-1∴間斷點為x=0,-6,1.∴x=0,-6,1分別為無窮間斷點，無窮間斷點，可去間斷點。二、7解解由夾逼定理得3/17解：因為解11解C-1-2例3證由零點定理,證畢6/9三、4.求解:原式=函數(shù)在一點可導的定義導數(shù)與微分導數(shù)與微分的計算方法：1）用定義；2）用導數(shù)與單側導數(shù)的關系（求分段函數(shù)的導數(shù)）；3）用基本函數(shù)的導數(shù)（微分）公式、運算法則（四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則（微分的形式不變性）

、反函數(shù)的求導法則）；4）用導數(shù)與微分的關系；5）用隱函數(shù)的求導法；6）對數(shù)求導法(適合冪指函數(shù)、連乘、連除、連續(xù)開方)；7）用參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法（特別注意二階導數(shù)）；8）用乘積的高階導數(shù)公式（萊布尼茨公式）。B解已知解解:求解:

方法1

利用導數(shù)定義.方法2利用求導公式.二、2

設其中在解:求處連續(xù),由于f(a)=0，故二、3解解二、9解解解法一二、10解法二兩邊對x求導數(shù)：兩邊求微分：解解二、8解y是一個5次多項式，最高次冪的系數(shù)為解解導數(shù)的應用

拉格朗日中值定理1.微分中值定理及其相互關系

羅爾定理

泰勒中值定理

柯西中值定理

常用函數(shù)的麥克勞林公式（皮亞諾余項）定理1（極值的必要條件）：定理2(極值的第一充分條件)5/18定理3(極值的第二充分條件)定理4(極值的第三充分條件)拐點的判定拐點只能是f的零點或f不存在的點。定理4（拐點的第一充分條件）14/21拐點就是的單調性改變的點。*定理5（拐點的第二充分條件）15/21注意:

當在內只有一個極值可疑點時,

當在上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)二、1二、3解二、7二、1012.二、14解求證存在使*例.

設可導，且在連續(xù)，證:設輔助函數(shù)因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即使得已知f(x)在[a,b]連續(xù)，(a,b)可導，證明例13.

證明：則滿足拉格朗日中值定理，即例11.

設在內可導,且證明至少存在一點使上連續(xù),在證:

問題轉化為證設輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點作業(yè)3-2中的二、2一、5水平漸近線。鉛垂?jié)u近線。解7/202作業(yè)3-2中的二、502-0+++0---