2021版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)（浙江版）知識(shí)梳理第十章第七節(jié)空間中的角(一)

第七節(jié)空間中的角(一)復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.利用空間向量解決線面關(guān)系.2.利用空間向量求異面直線所成的角、線面角.1.弄清楚空間向量法判斷線、面等位置關(guān)系的基本原理.2.會(huì)求直線的方向向量,平面的法向量.3.能夠利用方向向量或法向量解決異面直線所成角或線面角問(wèn)題.一、利用直線方向向量、平面法向量判定線面關(guān)系1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量.直線l上的向量e或與e共線的向量叫做直線l的方向向量,顯然一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè).(2)平面的法向量.如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面α,則稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,此時(shí)向量n叫做平面α的法向量.顯然一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè),且它們是共線向量.2.判定直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c(2)線面垂直l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3+b2b3+c2c1.概念理解(1)直線的方向向量與直線上的向量是共線向量,它只有方向沒(méi)有大小之分,因此與l上的向量共線的向量都可以稱為直線l的方向向量.(2)向量n與平面α內(nèi)的任意向量a,只要有n·a=0,那么n就稱為α的法向量,一個(gè)平面的法向量沒(méi)有大小之分.(3)利用方向向量與α的法向量判定線、面關(guān)系時(shí),不要忽略立體幾何中定理原有的條件要求.2.與方向向量及法向量相關(guān)聯(lián)的結(jié)論設(shè)直線l1的方向向量v1=(a1,b1,c1),l2的方向向量v2=(a2,b2,c2),則l1∥l2?v1∥v2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R);l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2+b1b2+c1c二、異面直線所成角、線面角的空間向量法1.求兩條異面直線所成的角設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,a與b的夾角為,l1與l2所成的角為θ,則cosθ=|cos|=QUOTE|a·b||a||b2.求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,a,n的夾角為,則sinθ=|cos|=QUOTE|a·n||a||n1.概念理解(1)求異面直線所成角時(shí),易求出余弦值為負(fù)值而盲目得出答案而忽視了夾角范圍為(0,].(2)求直線與平面所成角時(shí),注意求出夾角的余弦值的絕對(duì)值應(yīng)為線面角的正弦值.2.與異面直線所成角、線面角空間向量法相關(guān)聯(lián)結(jié)論(1)當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),就是異面直線所成的角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí),其補(bǔ)角才是異面直線所成的角.(2)求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角),取其余角即為所求線面角.(3)若求線面角的余弦值,要注意利用平方關(guān)系sin2θ+cos2θ=1求出其值.不要誤認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值為所求線面角的余弦值.1.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=QUOTE14,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為(C)(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°解析:設(shè)c=(x,y,z),a與c的夾角為θ,由(a+b)·c=7得x+2y+3z=-7,所以a·c=x+2y+3z=-7,所以cosθ=QUOTEa·c|a||c|=QUOTE-714·14=-QUOTE12,所以θ=120°.故選C.2.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=QUOTE3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(C)(A) (B)QUOTE56 (C)QUOTE55 (D)QUOTE22解析:法一如圖,連接BD1,交DB1于O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM,易知O為BD1的中點(diǎn),所以AD1∥OM,則∠MOD或其補(bǔ)角為異面直線AD1與DB1所成角.因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=QUOTE3,所以AD1=QUOTEAD2+DD1DM=QUOTEAD2+(12AB)

2=QUOTE52DB1=QUOTEAB2+AD2+DD12=QUOTE所以O(shè)M=QUOTE12AD1=1,OD=QUOTE12DB1=QUOTE52,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD=QUOTE12+(52)

2-(52)

2即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為QUOTE55,故選C.法二如圖,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,QUOTE3),B1(1,1,QUOTE3),所以QUOTEAD1→=(-1,0,QUOTE3),QUOTEDB1→=(1,1,QUOTE3),所以QUOTEAD1→·QUOTEDB1→=-1×1+0×1+(QUOTE3)2=2,|QUOTEAD1→|=2,|QUOTEDB1→|=QUOTE5,所以cos<QUOTEAD1→,QUOTEDB1→>=QUOTEAD1→·DB1→|AD1→|·|DB故選C.3.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,E,F,G分別為AB,AA1,A1C1的中點(diǎn),則B(A)QUOTE35 (B)QUOTE56 (C) (D)QUOTE3610解析:設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2,取AC的中點(diǎn)D,連接DG,DB,分別以DA,DB,DG所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B1(0,QUOTE3,2),F(1,0,1),E(QUOTE12,QUOTE32,0),G(0,0,2),QUOTEB1F→=(1,-,-1),QUOTEEF→=(QUOTE12,-QUOTE32,1),QUOTEGF→=(1,0,-1).設(shè)平面GEF的法向量n=(x,y,z),則QUOTEEF→·n=0,即QUOTE12x-32取x=1,則z=1,y=QUOTE3,故n=(1,QUOTE3,1)為平面GEF的一個(gè)法向量,所以cos<n,QUOTEB1F→>=QUOTE1-3-15×5=-所以B1F與平面GEF所成角的正弦值為QUOTE35.故選A.考點(diǎn)一利用空間向量解決線面關(guān)系[例1]如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).求證:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).(1)因?yàn)镼UOTEPB→=(2,0,-2),QUOTEEH→=(1,0,-1),所以QUOTEPB→=2QUOTEEH→,所以PB∥EH.因?yàn)镻B?平面EFH,且EH?平面EFH,所以PB∥平面EFH.證明:(2)QUOTEPD→=(0,2,-2),QUOTEAH→=(1,0,0),QUOTEAF→=(0,1,1),所以QUOTEPD→·QUOTEAF→=0×0+2×1+(-2)×1=0,QUOTEPD→·QUOTEAH→=0×1+2×0+(-2)×0=0,所以PD⊥AF,PD⊥AH,又因?yàn)锳F∩AH=A,所以PD⊥平面AHF.(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.(2)證明直線與平面平行,只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,然后說(shuō)明直線在平面外即可.這樣就把幾何證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.(3)證明線線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直;證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可.當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面的法向量平行;證明面面垂直:①證明兩平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可.如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖,在直觀圖中,點(diǎn)M是BD的中點(diǎn),AE=QUOTE12CD,側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.(1)求證:EM∥平面ABC;(2)試問(wèn)在棱CD上是否存在一點(diǎn)N,使MN⊥平面BDE?若存在,確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1,1,2),QUOTEAE→=(0,0,2),QUOTEDB→=(2,2,-4),QUOTEDE→=(2,0,-2),QUOTEDC→=(0,0,-4),QUOTEDM→=(1,1,-2),QUOTEEM→=(-1,1,0).(1)由圖易知QUOTEAE→為平面ABC的一個(gè)法向量,因?yàn)镼UOTEAE→·QUOTEEM→=0×(-1)+0×1+2×0=0,所以QUOTEAE→⊥QUOTEEM→,即AE⊥EM,又EM?平面ABC,故EM∥平面ABC.解:(2)假設(shè)在DC上存在一點(diǎn)N滿足題意,設(shè)QUOTEDN→=λQUOTEDC→=(0,0,-4λ),λ∈[0,1],則QUOTENM→=QUOTEDM→-QUOTEDN→=(1,1,-2)-(0,0,-4λ)=(1,1,-2+4λ),所以QUOTENM→·DB→=0,NM→·DE→=0,解得λ=QUOTE34∈[0,1].所以棱DC上存在一點(diǎn)N,滿足NM⊥平面BDE,此時(shí),DN=QUOTE34DC.考點(diǎn)二利用空間向量求異面直線所成角、線面角[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).已知AB=2,AD=2QUOTE2,PA=2.求:(1)△PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.解:(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,從而CD⊥PD.因?yàn)镻D=QUOTE22+(22)2=2QUOTE3,CD=2,所以△PCD的面積為QUOTE12×2×2QUOTE3=2QUOTE3.解:(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2QUOTE2,0),P(0,0,2),E(1,QUOTE2,1),QUOTEAE→=(1,QUOTE2,1),QUOTEBC→=(0,2QUOTE2,0).設(shè)AE與BC的夾角為θ,則cosθ=|QUOTEAE→·BC→|AE→||BC→||=QUOTE42×22=QUOTE所以θ=QUOTEπ4.由此可知,異面直線BC與AE所成的角的大小是QUOTEπ4.(1)可從兩個(gè)不同角度求異面直線所成的角,一是幾何法:作—證—算;二是向量法:把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,應(yīng)注意體會(huì)兩種方法的特點(diǎn),“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵,一般地,異面直線AC,BD的夾角β的余弦值為cosβ=QUOTE|AC→·BD→||(2)利用向量求線面角的方法:①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);②通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.(2019·臺(tái)州模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中,PC垂直平面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,PD=AB=2AD=2CD=2,E為PB的中點(diǎn).(1)證明:平面EAC⊥平面PBC;(2)求直線PD與平面AEC所成角的正弦值.(1)證明:因?yàn)镻C⊥平面ABCD,故PC⊥AC.又AB=2,CD=1,AD⊥AB,所以AC=BC=QUOTE2.故AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.所以AC⊥平面PBC,所以平面EAC⊥平面PBC.(2)解:法一因?yàn)镻C⊥平面ABCD,故PC⊥CD.又PD=2,所以PC=QUOTE3.過(guò)點(diǎn)P作PF垂直CE,垂足為F.由(1)知平面ACE⊥平面PBC,所以PF⊥平面ACE.由面積法得CE·PF=QUOTE12PC·BC.又點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),CE=PB=QUOTE52.所以PF=QUOTE305.又點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),所以點(diǎn)P到平面ACE的距離與點(diǎn)B到平面ACE的距離相等.連接BD交AC于點(diǎn)G,則GB=2DG.所以點(diǎn)D到平面ACE的距離是點(diǎn)B到平面ACE的距離的一半,即PF.所以直線PD與平面AEC所成角的正弦值為QUOTE12PFPD=QUOTE3020.法二如圖,取AB的中點(diǎn)F,如圖建立坐標(biāo)系.因?yàn)镻D=2,所以CP=QUOTE3.所以有C(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,QUOTE3),A(1,1,0),B(1,-1,0),E(QUOTE12,-QUOTE12,QUOTE32).QUOTEPD→=(0,1,-QUOTE3),QUOTECA→=(1,1,0),QUOTECE→=(QUOTE12,-QUOTE12,QUOTE32).設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則QUOTEx+y=0,x取x=1,得y=-1,z=-QUOTE233.即n=(1,-1,-QUOTE233).設(shè)直線PD與平面AEC所成角為θ,則sinθ=|cos<n,QUOTEPD→>|=QUOTE122+43=QUOTE3020.考點(diǎn)三易錯(cuò)辨析[例3]如圖所示,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的QUOTE2倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說(shuō)明理由.(1)證明:連接BD,設(shè)BD交AC于O,則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),QUOTEOB→,QUOTEOC→,QUOTEOS→分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高SO=QUOTE62a,于是S(0,0,QUOTE62a),D(-QUOTE22a,0,0),B(QUOTE22a,0,0),C(0,QUOTE22a,0),QUOTEOC→=(0,QUOTE22a,0),QUOTESD→=(-QUOTE22a,0,-QUOTE62a),則QUOTEOC→·QUOTESD→=0.故OC⊥SD.從而AC⊥SD.(2)解:棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC.理由如下:由已知條件知QUOTEDS→是平面PAC的一個(gè)法向量,且QUOTEDS→=(QUOTE22a,0,QUOTE62a),QUOTECS→=(0,-a,QUOTE62a),QUOTEBC→=(-QUOTE22a,QUOTE22a,0).設(shè)QUOTECE→=tQUOTECS→(0<t<1),則QUOTEBE→=QUOTEBC→+QUOTECE→=QUOTEBC→+tQUOTECS→=(-QUOTE22a,QUOTE22a(1-t),QUOTE62at),由QUOTEBE→·QUOTEDS→=0?t=QUOTE13.即當(dāng)SE∶EC=2∶1時(shí),QUOTEBE→⊥QUOTEDS→.又BE不在平面PAC內(nèi),故BE∥平面PAC.對(duì)于“是否存在”型問(wèn)題的探索方式有兩種(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,然后再加以證明,得出結(jié)論.(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng),則直線D1E與A1D所成角的大小是,若D1E⊥EC,則AE=.解析:長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,又AD=AA1則D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0),設(shè)E(1,m,0),0≤m≤2,則QUOTED1E→=(1,m,-1),QUOTEA1D→=(-1,0,-1),所以QUOTED1E→·QUOTEA1D→=-1+0+1=0,所以直線D1E與A1D所成角的大小是90°.因?yàn)镼UOTED1E→=(1,m,-1),QUOTEEC→=(-1,2-m,0),D1E⊥EC,所以QUOTED1E→·QUOTEEC→=-1+m(2-m)+0=0,解得m=1,所以AE=1.答案:90°1空間線面位置關(guān)系的證明及空間角的求解[例題]如圖,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1(1)證明:AC⊥B1D;(2)求直線B1C1與平面ACD1(1)證明:易知AB,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=t,t>0,則有A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).從而QUOTEB1D→=(-t,3,-3),QUOTEAC→=(t,1,0),=(-t,3,0).因?yàn)锳C⊥BD,所以QUOTEAC→·QUOTEBD→=-t2+3+0=0,解得t=QUOTE3或t=-QUOTE3(舍去).于是QUOTEB1D→=(-QUOTE3,3,-3),QUOTEAC→=(QUOTE3,1,0).因?yàn)镼UOTEAC→·QUOTEB1D→=-3+3+0=0,所以QUOTEAC→⊥QUOTEB1D→,即AC⊥B1D.(2)解:由(1)知,QUOTEAD1→=(0,3,3),QUOTEAC→=(QUOTE3,1,0),QUOTEB1C1→=(0,1,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD1的一個(gè)法向量,則QUOTEn·AC→=0,n·AD1→=0,令x=1,則n=(1,-QUOTE3,QUOTE3).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θsinθ=|cos<n,QUOTEB1C1→>|=|QUOTEn·B1C1→|n|·|B1C1→||=QUOTE37即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為QUOTE217.規(guī)范要求:(1)空間直角坐標(biāo)系的建立,關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)一定要一一列出.(2)探求直線的方向向量與平面的法向量要有具體的解答過(guò)程,尤其求法向量n的過(guò)程必不可少.溫馨提示:(1)對(duì)于本題中AB=t的設(shè)法很關(guān)鍵.(2)在法向量的探求中,因?yàn)榉ㄏ蛄康拇笮〔欢?我們會(huì)令x=1(或y=1或z=1),這是可取之處.(3)線面角與向量所成的夾角注意分清楚.類(lèi)型一利用空間向量解決線、面關(guān)系1.設(shè)l1的方向向量為a=(1,2,-2),l2的方向向量為b=(-2,3,m),若l1⊥l2,則m等于(B)(A)1 (B)2 (C)QUOTE12 (D)3解析:由l1⊥l2可得a·b=0,所以-2+2×3-2m=0,所以m=2.故選B.2.空間四點(diǎn)A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置關(guān)系為(C)(A)共線 (B)共面(C)不共面 (D)無(wú)法確定解析:QUOTEAB→=(2,0,-4),QUOTEAC→=(-2,-3,-5),QUOTEAD→=(0,-3,-4),由不存在實(shí)數(shù)λ,使QUOTEAB→=λQUOTEAC→成立知,A,B,C不共線,故A,B,C,D不共線;假設(shè)A,B,C,D共面,則可設(shè)QUOTEAD→=xQUOTEAB→+y(x,y為實(shí)數(shù)),即QUOTE0=2x-2y,-故A,B,C,D不共面,故選C.3.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,則λ等于(B)(A)9 (B)-9 (C)-3 (D)3解析:由題意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以QUOTE2x-y=7,解得λ=-9.故選B.4.已知平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,CD⊥AD,且AB=1,AD=CD=2,ADEF是正方形,在正方形ADEF內(nèi)部有一點(diǎn)M,滿足MB,MC與平面ADEF所成的角相等,則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為(C)(A)QUOTE43 (B)QUOTE163 (C)QUOTE49π (D)QUOTE83π解析:根據(jù)題意,以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖1所示,則B(2,1,0),C(0,2,0),設(shè)M(x,0,z),易知直線MB,MC與平面ADEF所成的角分別為∠AMB,∠DMC,均為銳角,且∠AMB=∠DMC,所以sin∠AMB=sin∠DMC?QUOTE|AB||MB|=QUOTE|CD||MC|即2|MB|=|MC|,因此2QUOTE(2-x)2+12+z2=QUOTE整理得(x-QUOTE83)2+z2=QUOTE169,由此可得,點(diǎn)M在正方形ADEF內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)O(QUOTE83,0,0)為圓心,半徑為QUOTE43的圓弧M1M2,如圖2所示,易知圓心角∠M1OM2=QUOTEπ3,所以QUOTEM1M2=QUOTEπ3×QUOTE43QUOTE43=QUOTE49QUOTE43π.故選C.類(lèi)型二利用空間向量求角問(wèn)題5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC(A)QUOTE110 (B)QUOTE25 (C)QUOTE3010 (D)QUOTE22解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,設(shè)BC=2,則B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以QUOTEBM→=(1,-1,2),QUOTEAN→=(-1,0,2),故BM與AN所成角θ的余弦值cosθ=QUOTE|BM→·AN→||BM→|·|AN→|=QUOTE36×56.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則BB1與平面AB1C1所成的角的大小為解析:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),以與BC垂直的直線為x軸,BC為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系