《高等數學(下冊)》教案 第24課 格林公式及其應用

24第24第課格林公式及其應用格林公式及其應用格林公式及其應用第課24PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7格林公式及其應用格林公式及其應用第課24

課題格林公式及其應用課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）理解格林公式是聯(lián)系曲線積分與二重積分的橋梁（2）掌握格林公式的應用（3）理解平面上曲線積分與路徑無關的等價條件思政育人目標：通過講解格林公式及其應用，培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神教學重難點教學重點：格林公式及其證明教學難點：格林公式的應用教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（30min）→課堂小結（5min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解格林公式的相關定義、定理，及其應用定義設為平面區(qū)域，如果內任意一條閉曲線所圍成的部分都屬于，則稱為平面單連通區(qū)域（即內部不含有“洞”），否則稱為復連通區(qū)域．例如，區(qū)域和是單連通區(qū)域；環(huán)狀區(qū)域是復連通區(qū)域．關于平面區(qū)域邊界曲線的正負向規(guī)定如下：設平面區(qū)域的邊界曲線為，當沿著邊界曲線運動時，平面區(qū)域總在其左側，此運動方向即為的正向，此時的反向即為的負向．對于單連通區(qū)域來說，逆時針方向為正向．對于如圖12-7所示的復連通區(qū)域來說，圖中的箭頭指向即為邊界正向．圖12-7定理1（格林公式）設函數，在閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導數，則有，（12-4）其中為的正向邊界曲線．證將區(qū)域分為單連通區(qū)域和復連通區(qū)域兩種情形來證明．論．①平行于坐標軸的直線和最多有兩個交點．如圖12-8所示，若將區(qū)域表示為型區(qū)域，則．圖12-8因為連續(xù)，所以根據二重積分的計算方法有根據對坐標的曲線積分計算方法及性質，有由此可得．（12-5）若將區(qū)域表示為型區(qū)域，同理可得．（12-6）由于式（12-5）和式（12-6）同時成立，兩式相加即得式（12-4）．②平行于坐標軸的直線和曲線有兩個以上的交點．對于這種情況，可引入輔助曲線，把區(qū)域分成有限個小區(qū)域，使每個小區(qū)域都滿足①的條件．例如，如圖12-9所示，對于閉區(qū)域，它的邊界曲線為，引進一條輔助線，把分成三個部分．對于每個部分應用公式（12-4），得，，．圖12-9把以上三個等式相加，注意相加時沿輔助線來回的曲線積分相互抵消，便得，其中是的正向邊界曲線．（2）如果是復連通區(qū)域，則可用輔助線把區(qū)域劃分成單連通區(qū)域．如圖12-10所示，在復連通區(qū)域引入直線段，則是以，為邊界曲線的單連通區(qū)域，從而圖12-10通過格林公式，我們可得到曲線積分的另一種計算方法，即將曲線積分轉化為二重積分進行計算．通過格林公式，曲線積分還可以用來計算平面圖形的面積．在格林公式中取，，得平面圖形的面積為．（12-7）例1求橢圓所圍成圖形的面積．解根據式（12-7）得橢圓面積為．例2計算，其中為和所圍成區(qū)域的正向邊界曲線．解應用格林公式得（例3、例4詳見教材）【學生】掌握格林公式的相關定義、定理，及其應用學習格林公式。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（30min）【教師】講解平面上曲線積分與路徑無關的等價條件設在平面區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數．是內任意給定的兩點，如果對于內從起點到終點的任意兩條曲線與，等式恒成立，則稱曲線積分在區(qū)域內與路徑無關，否則稱與路徑有關．在內，若起點為、終點為，則與路徑無關的曲線積分可簡記為．定理2設是單連通區(qū)域，若函數在內具有一階連續(xù)偏導數，則以下四個命題等價：（1）對于內任意光滑閉曲線，有；（2）在區(qū)域內與路徑無關，只與起止點有關；（3）為某二元函數的全微分，即；（4）在內每一點處有成立．證要證明以上四個命題等價，只需按照（1）（2）（3）（4）（1）的模式，分四步證明即可．（1）（2）．設和為內任意兩條從A點到B點的有向分段光滑曲線，此時形成一條閉曲線，則，因為所以，即在區(qū)域內與路徑無關，只與起止點有關．（2）（3）．在內取定點和任一動點，如圖12-13所示，因積分與路徑無關，故該曲線的積分可記為，圖12-13當起點固定時，該積分的值取決于終點，即該積分與構成函數關系，把該函數記為，則，取從點B沿著平行于x軸的直線段到點C，則，因為直線段的方程為，根據對坐標的曲線積分的計算法，上式成為，應用定積分中值定理，得，于是．同理可證，從而有．（3）（4）．設存在函數使得，則，，由于P，Q在內具有一階連續(xù)偏導數，因此在內每一點處有．（4）（1）．設為中任一分段光滑閉曲線，所圍區(qū)域為，則由格林公式，得．例5計算曲線積分，其中為上從點到點的曲線弧，如圖12-15所示．解由于，因此原積分與路徑無關．為了計算簡便，選取平行于坐標軸的折線為積分路徑，則有．圖12-14圖12-15（例6、例7詳見教材）【學生】掌握平面上曲線積分與路徑無關的等價條件學習平面上曲線積分與路徑無關的等價條件。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結

（5min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課主要介紹了格林公式及其證明、格林公式的應用，平面上曲線積分與路徑無關的等價條件。課后要多加練習，鞏固認知?！緦W生