數(shù)學真理是什么

社員同好，下面轉(zhuǎn)發(fā)的是新社員葉峰的見面

禮，分三部分發(fā)送。讓我們歡迎他多來聚聚。

一程煉

數(shù)學真理是什么？

葉峰（北京大學哲學系）

摘要

現(xiàn)代物理學告訴我們，宇宙可能是有窮的，

時空也可能是離散而非連續(xù)的，但在現(xiàn)代數(shù)

學中我們似乎有著非常確定的、關于某些無

窮和連續(xù)的數(shù)學對象和結構的真理。這些獨

立于物質(zhì)世界的數(shù)學對象和結構果真存在

嗎？數(shù)學定理果真是關于它們的客觀真

理？我們的物質(zhì)性的、有限的大腦又如何真

的可能認識那些獨立于物質(zhì)世界的、而且是

無窮的事物？也許不應該以這種方式理解

數(shù)學真理？這是令當代西方一些哲學家困

惑的一個問題。本文的目的是向哲學專業(yè)以

外的讀者介紹近代與當代一些哲學家對這

個問題的思考，并作一些評述。

關鍵詞：數(shù)學哲學、真理、數(shù)理邏輯、康德、

弗雷格、哥德爾、卡爾納普、蒯因

一、數(shù)學真理是什么？

如果問題是數(shù)學的內(nèi)容是什么，那么回答自

然是，數(shù)學包括分析、代數(shù)、幾何等等。但

我們這里關心的是，這些分析、代數(shù)、幾何

中的定理是什么性質(zhì)的真理，它們與我們所

認識到的其它真理，比如自然科學中的真

理，有什么共同點與差異？尤其是，數(shù)學真

理的基礎是什么？或者說，數(shù)學定理之為

真，是依賴于什么？

比如，自然科學中的一個論斷的真假，是依

賴于該論斷是否與現(xiàn)實的物質(zhì)世界的實情

相符合。大爆炸宇宙模型是真的，指的是這

個現(xiàn)實的宇宙確實是像這個模型所描述的,

或者說，這個模型符合這個現(xiàn)實的宇宙；同

樣，牛頓運動定律是近似地真的，指的是它

們近似準確地描述了現(xiàn)實世界中的物質(zhì)運

動的實情。這些都是常識，沒有什么特別深

奧的。那么，說一個數(shù)學命題是真的，也是

指該命題真實地描述了某個數(shù)學世界中真

實存在著的數(shù)學對象與結構嗎？比如，說一

個關于自然數(shù)的命題是真的，也是指該命題

真實地描述了真實存在著的自然數(shù)嗎？聽

起來這好象是顯然的，但是仔細分析一下我

們會看出，它實際上蘊含了一個謎。

首先，它蘊含了存在著一個獨立于物質(zhì)世界

的抽象的數(shù)學世界。因為現(xiàn)代物理學告訴我

們，我們生存于其中的這個物質(zhì)世界可能是

有窮的：在宏觀上，大爆炸宇宙模型提供了

一個宏觀上有窮的宇宙模型；在微觀上，有

關量子引力的一些現(xiàn)象，顯示著在微觀的普

朗克尺度上，時空的自由度可能是有限的，

這意味著，時空在微觀上可能是離散的而不

是連續(xù)的。而另一方面，數(shù)學中的許多對象

和結構是很確定地被描述成無窮的對象和

結構。最簡單的自然數(shù)也有無窮多個。雖然

宇宙是有窮還是無窮在現(xiàn)代物理學中沒有

定論，但我們可以假設，即使現(xiàn)實的物質(zhì)世

界果真是有窮的，數(shù)學定理的真理性應該還

是不變的。至少，“對任一自然數(shù)，都有一

個比它大的另外一個自然數(shù)”這樣一個命

題應該還是真的。這已經(jīng)意味著，數(shù)學中的

無窮的對象和結構，應該是與現(xiàn)實的物質(zhì)世

界無關的對象和結構。即使現(xiàn)實的物質(zhì)世界

果真是有窮的，我們還是有同樣的無窮多個

自然數(shù)、同樣的數(shù)學真理。我們甚至將數(shù)學

應用于明顯是有窮的領域，比如經(jīng)濟學中。

可見，即是整個宇宙是有窮的，那也不過就

像在經(jīng)濟學領域一樣，我們還是可以應用同

樣的數(shù)學。在那里，雖然無窮的數(shù)學模型只

是近似地描述了現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，但是數(shù)

學定理對于那些無窮數(shù)學模型來說，應該是

嚴格準確地真的。所以，那些無窮數(shù)學模型

中的數(shù)學對象和結構，只能是存在于一個獨

立于現(xiàn)實的物質(zhì)世界的數(shù)學世界中。換句話

說，數(shù)學世界只能是一個獨立于現(xiàn)實的物質(zhì)

世界的獨立王國。

是否果真存在著這樣一個獨立的數(shù)學王國，

當然會引起我們的懷疑。更重要的是，我們

人類應該是這個現(xiàn)實的物質(zhì)世界中的一個

部分。我們的大腦，應該是這個現(xiàn)實的物質(zhì)

世界長期進化的產(chǎn)物。我們的知識應該來源

于我們的大腦通過我們的感覺器官與物質(zhì)

世界的相互作用。所以，一個哲學上的謎就

是：這樣一個有限的大腦與有限的物質(zhì)世界

的相互作用，如何能夠產(chǎn)生對那個獨立王國

中的無窮、甚至超無窮的數(shù)學對象和結構的

知識？這是否意味著我們有著獨立于物質(zhì)

性的大腦的某種心靈，而且我們的心靈有著

某種神秘的直覺，可以認識超出有限的物質(zhì)

世界之外的無窮、甚至超無窮的數(shù)學對象和

結構？這是否意味著神秘主義？換句話說，

它是這樣一個謎：一方面，直觀上我們似乎

確實有著關于無窮、甚至超無窮的數(shù)學對象

和結構的知識；另一方面，如果它們真的是

獨立于現(xiàn)實的物質(zhì)世界的對象和結構，我們

究竟是如何得到關于它們的知識的？究竟

是依據(jù)什么來斷定一個數(shù)學定理或公理是

真的？我們不能觀察到那些無窮的對象和

結構，不能像對牛頓力學那樣，用觀察來驗

證它是近似地真的，用觀察來驗證它不如相

對論更準確等等。所以，一個數(shù)學命題之為

真的依據(jù)究竟是什么？

也許，并沒有這樣一個獨立于現(xiàn)實的物質(zhì)世

界的數(shù)學上的獨立王國。那么，數(shù)學真理又

是什么？數(shù)學定理還是客觀真理嗎？一種

自然的想法是，數(shù)學公理只是假設。它們本

身不是客觀真理。數(shù)學家們只是從那些假設

推導出定理。但是，數(shù)學家們顯然不是在隨

意地作假設?？茖W家們作一些科學假說，是

因為他們揣測那些假說可能是真的，然后他

們用實驗去驗證或反駁那些假設。同樣地，

數(shù)學家們接受了一些公理，從那些公理推導

出定理，是因為他們確實直覺到那些公理的

自明性。他們不會任意地選擇一些命題作為

公理，然后就去推導定理。比如，假設用現(xiàn)

有的公理可以證明哥德巴赫猜想，而用另外

一些公理可以推導出哥德巴赫猜想的否定。

假如公理僅僅是一些任意的假設，那么是不

是說哥德巴赫猜想本身也無所謂真假了？

將數(shù)學公理僅僅看成假設，可能是因為混淆

了兩類不同意義上的公理。一種是像一些數(shù)

學結構的定義公理，比如群的定義公理。這

些公理確實只是假設。群的定義只刻畫了群

這一類結構，它們本身不蘊涵群存在。要證

明群存在，需要一些更基本的更實質(zhì)性的公

理，也就是集合論中的公理，它們斷言空集

存在，兩個集合的并集存在等等。特別地，

要證明無窮群存在，需要集合論中的所謂無

窮公理，即至少存在一個無窮集。無窮公理

似乎不僅僅是假設。它直接地斷定無窮集存

在。如果它是假的，如果無窮集不存在，那

么很大一部分數(shù)學似乎就無意義了。而且，

從另一方面看，既然像無窮公理、選擇公理

這樣的假設，使得所推導出的數(shù)學定理在科

學中有著廣泛的應用，我們能否說科學就證

明了這些假設不僅僅是隨意的假設，而是蘊

含著真正的真理？

這些問題，是關于數(shù)學真理是什么的主要問

題。概括起來是：數(shù)學真理是什么性質(zhì)的真

理？一個數(shù)學命題之為真是依賴于什么？

我們是依據(jù)什么來認識數(shù)學真理和判斷一

個數(shù)學命題（包括公理）為真的？我們將稱

之為數(shù)學的真理性問題，或關于數(shù)學真理性

的困惑。

本文的目的不是回答這些問題。本文的目的

是簡要地介紹歷史上哲學家們對數(shù)學真理

的本質(zhì)的思考，考察它們是否提供了對這個

問題的答案。同時我們還想從中尋找一些發(fā)

展脈絡，尤其是考察，種種困難如何迫使哲

學家們對數(shù)學真理的定位搖擺于邏輯真理

與經(jīng)驗科學的真理之間。這里，我們是從現(xiàn)

代數(shù)學的角度提出這些疑問的。現(xiàn)代數(shù)學產(chǎn)

生之前的對數(shù)學真理的本質(zhì)的哲學思考，不

可避免地有著它們的時代局限性，但是它們

在今天還是會有一些啟發(fā)性的意義。所以本

文將從考察恩格斯對數(shù)學的定義和康德對

數(shù)學真理的定位開始。但我們將主要考察最

近一百年來西方哲學家對這些問題的思考，

并對之作出一些評價。另外，本文的目的不

是要完整地描述數(shù)學哲學的歷史，所以我們

將只考察那些與數(shù)學真理的本質(zhì)與定位有

關的哲學思想。

我們將側(cè)重于這些哲學問題，但是本文將不

假設讀者具備任何哲學史或現(xiàn)代數(shù)理邏輯

的知識。關于數(shù)學真理的本質(zhì)的問題，應該

是任何具備了一些現(xiàn)代數(shù)學和自然科學常

識的人都可以認真思考的問題。本文的目的

之一，是希望能引起非哲學專業(yè)的讀者們對

這一問題的興趣。因此，我們將不繁瑣地引

證我們對一些哲學家的思想的闡釋的正確

性，而將側(cè)重于用非專業(yè)性的語言，勾畫出

歷史上哲學家們對這些問題的思考的脈絡。

另一方面，對數(shù)學真理的本質(zhì)的思考，確實

又是西方哲學的主要動力之一。從畢達哥拉

斯和柏拉圖，到康德，又到二十世紀以來的

西方分析哲學，哲學家們都想為數(shù)學真理在

我們的知識大廈中找到一個合適的位置。而

這種努力所遭遇到的困難，使得一些哲學家

們提出了一些深刻的見解，也迫使一些哲學

家提出了一些從常識看來似乎是荒謬的世

界觀。理解這一點，也有助于理解西方哲學。

二、數(shù)學與自然科學

最常聽到的對數(shù)學的定義也許是恩格斯的

定義：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與

空間形式的科學”。許多人已經(jīng)正確地指

出，現(xiàn)代數(shù)學的內(nèi)容已經(jīng)遠遠超出“現(xiàn)實世

界的數(shù)量關系與空間形式”所能概括的范

圍?，F(xiàn)代代數(shù)學中所研究的代數(shù)結構，和現(xiàn)

代分析中所研究的函數(shù)空間等等，很難用

“數(shù)量關系”來概括；現(xiàn)代幾何學所研究

的，也遠遠超出了“現(xiàn)實世界的”空間形

式。尤其是，現(xiàn)代數(shù)學中研究的許多對象是

無窮的對象，包括無窮的代數(shù)結構，無窮的

幾何空間等等，而現(xiàn)代物理學告訴我們，我

們生存的這個物理世界有可能是有窮的。所

以數(shù)學中研究的許多對象，已經(jīng)遠遠超出了

“現(xiàn)實世界”?；谶@一點，特別是由于布

爾巴基學派的影響，有人提出，恩格斯的定

義可以修改為：“數(shù)學是關于抽象模式或抽

象結構的科學”。

但是，這種簡單草率的推廣忽略了一個非常

嚴重的問題。在恩格斯原來的定義中，“現(xiàn)

實世界”這個限制與“科學”這個概括其

實是密切相關的。自然科學探索關于現(xiàn)實世

界的真理。自然科學中的論斷的真理性依賴

于現(xiàn)實世界的實際構成，是對現(xiàn)實世界的反

映。大爆炸宇宙模型如果是真的，那是由于

現(xiàn)實的宇宙恰好是如此。牛頓引力理論是近

似地正確的，那也是由于現(xiàn)實的物質(zhì)世界恰

好是如此。自然科學可能會發(fā)現(xiàn)一些一般性

的定律，獨立于我們在這個現(xiàn)實世界中觀察

到的偶然的初始條件，但是它們也是關于現(xiàn)

實世界的一般性定律。我們也許可以想象另

外一種物質(zhì)世界，在其中，物理定律與這個

真實的世界中的物理定律完全不同。但這不

是自然科學所關心的。自然科學關心的是這

個真實的世界。對自然科學真理的驗證，依

賴于我們對現(xiàn)實世界的觀察，來源于我們的

經(jīng)驗。如果數(shù)學研究的也是現(xiàn)實世界中的數(shù)

量關系與空間形式，那么數(shù)學與自然科學在

本質(zhì)上是相同的，因此數(shù)學可以被歸類在科

學之下。比如，也許與物理學相比，數(shù)學只

是考慮現(xiàn)實世界中物體的一些更簡單、更一

般的屬性。比如只考慮物體的個數(shù)、形狀等

“數(shù)量與幾何屬性”，而不考慮它們的質(zhì)

量、顏色等物理屬性。也許m+n=n+m與物理

定律一樣，是對現(xiàn)實世界中物體的個數(shù)的真

實描述，只不過它比物理定律更簡單，已經(jīng)

經(jīng)過了無數(shù)次的經(jīng)驗驗證。同樣地，也許平

面幾何中的定理，是對現(xiàn)實世界中物體的形

狀的真實描述，雖然在幾何學中我們可以通

過證明來得到許多這些真理，而不必去直接

地測量，因為只要那些公理是對現(xiàn)實世界中

物體的形狀的真實描述，由公理嚴格推導出

的定理也一定是對現(xiàn)實世界中物體的形狀

的真實描述。所以恩格斯的定義雖然不能概

括現(xiàn)代數(shù)學，但至少在邏輯上是自洽的，在

概念上是清晰的，而且用于初等數(shù)學時，有

明顯的合理性。

但是，如前所述，現(xiàn)代數(shù)學研究的是所謂抽

象結構，包括與現(xiàn)實物質(zhì)世界毫不相干的結

構，比如與現(xiàn)實的宇宙毫不相干的一些幾何

空間，因此現(xiàn)代數(shù)學應該在本質(zhì)上不同于自

然科學。將研究抽象結構的數(shù)學稱為“科

學”，掩蓋了一些根本性的問題：比如，所

謂的抽象結構，尤其是超出這個現(xiàn)實世界的

結構，究竟是什么？它們果真存在嗎？數(shù)學

真理的基礎又是什么？比如集合論中的所

謂無窮公理，即至少存在一個無窮集，假如

現(xiàn)實的物理世界在微觀和宏觀上都是有限

的，那么無窮公理的真理性的基礎又是什

么？還有，現(xiàn)代數(shù)學中廣泛地用到選擇公

理，它的真理性的基礎又是什么？顯然它們

不能像自然科學中的真理一樣，是基于它們

與現(xiàn)實的物質(zhì)世界相符合，因為現(xiàn)實的物質(zhì)

世界中可能根本不存在無窮。如果它們的真

理性依賴于它們與所謂的抽象結構相符合，

那么就有了上一節(jié)所提到的那些謎：既然我

們不能用眼睛，甚至不能用望遠鏡去觀察它

們是否符合，我們究竟是如何認識那些公理

的真理性的？

這些都顯示著現(xiàn)代數(shù)學與自然科學的差異，

以及將現(xiàn)代數(shù)學描述為關于抽象模式或抽

象結構的科學所帶來的問題。所以，對現(xiàn)代

數(shù)學而言，關于數(shù)學真理的基礎究竟是什么

這一問題，恩格斯的定義沒有提示明確的答

案。

三、康德：數(shù)學真理是先驗綜合判斷

其實，即使限于初等數(shù)學，而且限于將初等

數(shù)學定理看作是關于現(xiàn)實世界中的數(shù)量關

系與空間幾何形式的真理，將數(shù)學視為同物

理學一樣的經(jīng)驗科學，也有著一些難點。所

以，與之相對應的，有哲學家康德對數(shù)學的

定位：數(shù)學真理是所謂先驗綜合判斷。下面

我們將簡要地解釋一下這意味著什么。

首先，我們可以想象一個有著不同的物理規(guī)

律的世界，但我們似乎無法想象一個2+3不

等于5的世界。所以2+3=5似乎有著與物理

規(guī)律不同的普遍性與必然性。兒童們可能是

通過數(shù)石子、積木等物體來學習2+3=5,但

這與科學家們通過觀測來發(fā)現(xiàn)或驗證物體

間萬有引力的平方反比定律，似乎有著實質(zhì)

性的區(qū)別。我們有著關于引力的概念，有著

關于距離的概念，但這些概念本身并不必然

地蘊涵著物體間的引力與距離的平方成反

比。這個定律的真實性依賴于這個世界的偶

然的構成；同時，要認識和驗證這個定律，

我們必須實際地去觀測這個世界中的物體。

可是，一旦我們掌握了數(shù)與加法的概念，我

們并不再用數(shù)石子去驗證關于加法的真理，

比如1234+5678=6912,或者m+n=n+m。假如

有人真的找了那么兩堆石子來數(shù)，然后聲稱

得出的結果是1234+5678不等于6912,我們

不會認為他找到了一個反例。這與科學家通

過觀測光線通過太陽附近的彎曲來尋找牛

頓力學的反例不同。我們也不能通過數(shù)石子

來驗證像m+n=n+m這樣一般性的結論。對于

非常大的兩個數(shù)的和，有限的宇宙間也許根

本沒有那么多物體來數(shù)。我們認為

1234+5678=6912與m+n=n+m的正確性是依賴

于數(shù)與加法的概念，而不是依賴于這個物質(zhì)

世界的偶然構成。在現(xiàn)實世界中，2升的酒

精加到3升的水中，由于溶解作用，可能我

們并不得到5升的溶液，但我們認為這與

2+3=5的真理性不相干。在這些意義上，像

2+3=5與m+n=n+m這樣的數(shù)學真理，是所謂

先驗真理：它們是必然的，它們的普遍性超

出我們?nèi)魏慰赡艿慕?jīng)驗；雖然我們可能是通

過經(jīng)驗才意識到它們的真理性，但它們的真

理性不依賴于我們的經(jīng)驗。

另一方面，有一種類型的判斷，其為真確實

不依賴于我們具體的經(jīng)驗，而是僅僅依賴于

其中的邏輯連接詞的含義或概念的定義。這

些是所謂分析真理。通常所說的邏輯真理是

分析真理中簡單的一種。邏輯真理指的是那

些僅僅依邏輯連接詞的含義就為真的判斷，

比如“今天下雨或者今天不下雨”，“如果

今天下雨而且今天打雷，那么今天下雨”。

他們之為真，僅僅依賴于其中的邏輯連接詞

的意義，也就是“或者”，“而且”，

“不”，“如果，那么”這些詞的意義，甚

至與“下雨”等這些概念無關，更不用說與

今天是否真的下雨無關。另外一種類型的分

析真理，是依概念的定義為真的真理，比如,

“植物是生物”。這個判斷為真，僅僅依賴

于“植物”與“生物”這兩個概念的定義，

其中“植物”的定義，就包含著植物是某種

生物，而不論宇宙中是否真有植物或生物。

要認識這個真理，我們也不需要去觀測宇宙

中是否真有植物或生物，或者宇宙中的植物

或生物是怎樣的。對于一個像“植物是生

物”這樣的分析真理，如果將其中相關的概

念的定義明確地表達出來作為一些前提，那

么這個分析真理就是這些前提的邏輯推論。

例如，“植物”的定義也許是“植物是……

的生物”，以此為前提，就可以邏輯地推導

出“植物是生物”。換句話說，一個命題P

是分析真理，當且僅當“如果P*,那么P"

是純粹邏輯上的真理，其中P*是表達P中的

相關概念的定義的命題。如果P本身就是像

上面所說的“A或者并非A”那樣的邏輯真

理，那么它是這個分析真理的定義的一個特

例，因為在這種情形下，“如果P*,那么P"

自然也是邏輯真理。分析真理的真理性基礎

應該是清楚的。它們之為真，是依賴于相關

的概念的涵義。它們近于所謂的同語反復，

是空洞地真的。給定了相關的概念的涵義

后，一個分析真理，不含任何超出概念的涵

義之外的事實內(nèi)容，不對現(xiàn)實世界中的事實

作任何肯定或否定。就像“今天下雨或者今

天不下雨”，對現(xiàn)實世界中的事實作沒有作

任何肯定或否定。

但是康德認為，2+3=5不是分析真理，因為

“2”、“3”和“+”的概念中似乎不包含

“5”這個概念?！?”、“3”、“5”和

“+”這些概念必然地蘊含著2+3=5為真，

但是康德認為這不能僅僅由分析這些概念

得出。同時，這樣的真理似乎不是同語反復,

不像“植物是生物”或者“今天下雨或者

今天不下雨”那樣，對現(xiàn)實世界中的事實作

不作任何肯定或否定。它們似乎有著一些真

實的內(nèi)容。

與分析真理相對立的就是所謂綜合真理。所

以康德的結論是，數(shù)學真理是先驗綜合真

理。一方面，它們有著與普通的經(jīng)驗真理不

同的必然性，它們之為真，不依賴于我們有

意識地觀測到的關于這個世界的一些偶然

事實，而且，對它們的認識和驗證，也不依

賴于對現(xiàn)實世界的觀測；另一方面，它們之

為真，也不僅僅依賴于我們的概念的定義，

它們不是簡單的同語反復。從這后一結論我

們可能會得出，既然它們不僅僅依賴于我們

的概念的定義，它們就一定依賴于關于這個

世界的一些實際的事實。比如，既然它們不

像“今天下雨或者今天不下雨”那樣是一

個空洞的真理，那么它們就應該像“今天不

下雨”那樣，是一個有事實內(nèi)容的真理，因

此這似乎就與前一結論，即與它們的必然性

與先驗性相矛盾。同樣地，從它們的必然性

與先驗性我們可能會得出，既然對它們的認

識和驗證不依賴于對現(xiàn)實世界的觀測，它們

應該就沒有對現(xiàn)實世界中的事實作作任何

肯定或否定，因此應該就是像“今天下雨或

者今天不下雨”那樣，是一個空洞的分析真

理。這個困惑，就是康德的哲學所要回答的。

他要回答，先驗綜合真理是如何可能的，我

們關于先驗綜合真理的知識又是如何可能

的。由此也就回答了，數(shù)學真理是什么以及

我們是如何得到數(shù)學真理的。

康德的回答，用通俗的語言極其簡單地概括

起來是：我們用于認識世界的認知官能本身

有一些結構和功能（又叫先天認知形式）；

我們的認知官能，用這樣一些“先天”的結

構和功能，來組織我們的感官所接受到的、

從外部世界來的感覺材料；而先驗綜合真

理，就是由我們的認知官能的這些先天的結

構和功能決定了的真理。換句話說，我們認

識世界的器官，不是簡單地反映外部世界。

它對我們的感官所接受到的原始的感覺材

料，如視覺形象、聲音等等，作了一些組織

和處理，使得感官所接受到的感覺材料不是

無秩序的、無結構的。比如，將相關的感覺

材料組合成關于一個物體的印象，將它們排

列成時間空間上的順序和關系，排列成因果

關系上的關聯(lián)順序等等。這樣組織的結果，

自然使得我們得到的對外部世界的印象，符

合某些規(guī)律。這些規(guī)律，實際上是我們的認

知官能加在外部世界上的。因此，有些真理,

比如幾何學中關于空間關系的一些最基本

的真理，是我們認識世界的器官的這種運作

的結果，是由我們認識世界的器官的這種功

能本身決定的。換句話說，也許并非外部世

界是真正地如此，而是我們認識世界的器官

的一些內(nèi)在的結構，決定了我們只能以某種

方式來認識這個世界，所以使得我們所認識

的世界只能符合某些真理，也就是說，使得

一些關于這個世界的判斷對我們來說是必

然地真的。同時，對這些真理的驗證，也并

不真的依賴于對這個世界的實際的觀察，因

為所有可以觀察到的東西，由于我們本身用

于觀察和認知的器官的一些內(nèi)在的結構，都

已經(jīng)必然地符合這些真理了。所以它們是先

驗的真理。另一方面，既然我們的認知官能

確實對我們的感官所接受到的原始的感覺

材料作了組織和處理，那么反映組織和處理

的結果的真理，就不會僅僅是空洞的同語反

復，而是有著確實的內(nèi)容。因此它們不是分

析的真理。先驗綜合真理就是這樣一些對我

們來說必然的，絕對普遍的，不真正地依賴

于經(jīng)驗的，但又是有內(nèi)容的，有所肯定的，

不僅僅是同語反復的真理。

康德的哲學非常復雜，我們不可能在這里做

深入的討論。這里，我們只想指出它的兩個

難點。首先，如果僅僅限于對現(xiàn)實世界中我

們所能直接觀察到的數(shù)量關系與空間形式

的判斷，康德的解釋，似乎確實比簡單地將

數(shù)學等同于其它經(jīng)驗科學更合理、更深刻。

從現(xiàn)代科學的角度看，由現(xiàn)代語言學與現(xiàn)代

認知科學所揭示的，我們的大腦顯然有著某

種先天結構。并非我們所有的知識都是對我

們的感官所接收到信息的簡單記錄或簡單

概括。我們的一些知識可能是由我們的大腦

的先天結構決定的。比如，一個能夠?qū)W習的

人工智能系統(tǒng)或機器人，在開始學習之前，

必定是先掌握了一些最基本的知識，它們是

由系統(tǒng)的程序的結構所決定的。所以，即使

是從現(xiàn)代科學的角度看，康德的解釋也有它

的合理性，雖然康德是從所謂超驗的角度來

考察這個問題，不是像現(xiàn)代認知科學那樣，

是從經(jīng)驗的角度研究人如何獲得知識。

但問題是，現(xiàn)代數(shù)學似乎有它自己的獨立于

現(xiàn)實世界的對象。因此，現(xiàn)代數(shù)學的真理是

否也是由我們的認知官能的先天結構決定

的，有很大的疑問。如果我們的認知官能的

功能，是對我們的感官所接受到的感覺材料

進行組織和處理，那么由于我們的感官所接

受到的感覺材料都是有窮的，這種認知官能

的先天的結構如何能夠決定現(xiàn)代數(shù)學中關

于無窮數(shù)學對象和結構的真理？包括關于

超窮的集合的真理？康德本人對無窮所導

致的所謂二律背反的態(tài)度也說明了，要將現(xiàn)

代數(shù)學中對無窮數(shù)學對象和結構所肯定的

真理納入康德式的解釋，會有實質(zhì)性的困

難?，F(xiàn)代數(shù)學與初等數(shù)學不同。初等數(shù)學中

的基本公理，似乎是由我們最直接、最原始

的直觀就能認識到?，F(xiàn)代數(shù)學中對一些概念

和數(shù)學公理的認識，比如對超窮集合概念、

無窮基數(shù)概念，選擇公理等等的認識，是經(jīng)

歷了類似于科學中的嘗試、錯誤、再嘗試的

長期的經(jīng)驗過程，不是像學習數(shù)數(shù)那樣，僅

僅是伴隨著兒童的大腦發(fā)育過程的學習過

程。因此，很難認為我們對超窮集合、選擇

公理等等的知識，也是先天地由我們的認知

官能的先天結構決定的。

關于康德的數(shù)學觀的第二個難點是，康德沒

有對“2”、“3”，“5”和“+”這些概念

究竟是怎樣的概念作出足夠清晰的分析。比

如，“3”這個概念，是否就包含著“3是2

后面的那一個自然數(shù)”?如果是的話，這是

否意味著，2+1=3就是依概念的定義而為真

的？由此更進一步，我們能否通過更仔細的

分析得出，(2+1)+1=4,乃至2+2=4,2+3=5

等等都是依概念的定義而為真的？因此實

際上它們都是分析真理？

這兩個難點說明，康德對數(shù)學真理的解說是

不完全的，而且不適于現(xiàn)代數(shù)學，至少在未

經(jīng)改造之前不適于現(xiàn)代數(shù)學。但同時我們也

看到了康德的努力的動因：數(shù)學真理，一方

面似乎不像“今天下雨或者今天不下雨”

那樣是一些空洞的、與內(nèi)容無關的真理；另

一方面，它們也不像“今天不下雨”那樣是

一個直截了當?shù)氖聦嵉恼胬怼?/p>

四、弗雷格：數(shù)學真理就是分析真理

前面提到，康德沒有對數(shù)的概念作足夠

細致的分析。十九世紀末，邏輯學家與哲學

家弗雷格正是對包括“2”、“3”，“5”

和，，+，，等的算術概念作了更深刻的分析，

由此他試圖證明，算術中的真理實際上也是

由概念的定義而為真的，就像上面所提示的

那樣，因此也就是分析真理。作為這種分

析的工具，弗雷格發(fā)明了現(xiàn)代數(shù)理邏輯，成

為繼亞里士多德以來邏輯學中最偉大的成

就。康德之所以未能做到這一點，就是因為

他缺乏這種分析所需要的邏輯工具。

弗雷格對自然數(shù)概念的分析很容易通過集

合與集合之間的等勢關系來理解。兩個集合

等勢，指的是兩個集合的元素之間有一個一

一對應，也就是兩個集合的元素的個數(shù)相

等。這里很重要的是，“兩個集合的元素的

個數(shù)相等”這個概念并沒有真正依賴于

“數(shù)”這個概念，它只依賴于“一一對應”

這個概念。這個概念是可以用弗雷格所發(fā)明

的現(xiàn)代數(shù)理邏輯語言表達的。然后，一個自

然數(shù)，就可以定義為一個由所有兩兩等勢的

集合（也就是所有元素個數(shù)等于那個自然數(shù)

的集合）所組成的一個類。比如2這個數(shù)，

就相當于所有恰好包含兩個元素的集合組

成的類。

這是用了現(xiàn)代集合論的術語來解釋弗雷格

的自然數(shù)概念。弗雷格本身是將“概念”作

為他的理論的初始概念，而將一個集合或類

看成一個概念的外延。對于概念，我們說某

個東西會“落在這個概念當中”，比如，弗

雷格落在“人”這個概念當中，因為弗雷

格是一個人。這相當于說，弗雷格屬于

“人”這個概念的外延，即所有的人組成

的集合。這樣，相應于將數(shù)看成一個由所有

兩兩等勢的集合所組成的一個類，弗雷格認

為一個自然數(shù)是一個所謂的二階概念，或一

個概念的概念。一個概念的概念的外延就是

一個由一些概念組成的集合或類。概念之間

也有等勢關系。兩個概念是等勢的，假如它

們的外延是等勢的集合。所以，一個自然數(shù)

是這樣一個概念的概念，它的外延是由所有

兩兩等勢的概念組成的一個類。比如，“2”

就是這樣一個概念的概念：一個概念P落在

“2”這個概念的概念之中，當且僅當P的

外延恰好包含兩個元素。更具體地說，自然

數(shù)。是這樣一個概念的概念：一個概念P落

在。中，當且僅當P的外延是空的，即P是

一個空概念；1是這樣一個概念的概念：一

個概念P落在1中，當且僅當對任何落在這

個概念P中的對象X,概念“是P但不等于

X”是落在0中的一個概念，即是一個空概

念。顯然地，一個概念P落在1中，當且僅

當P的外延恰好只有一個個體。但是，要特

別注意到的是，“0”和“意的定義中沒有

循環(huán)，尤其是，沒有用到自然數(shù)的概念。一

般地，當我們定義了自然數(shù)n以后，n后面

的那個自然數(shù)(n+1)就是這樣一個概念的概

念：一個概念P落在(n+1)中，當且僅當對

任何落在這個概念P中的對象x,概念“是

P但不等于X”是落在D中的一個概念。不

難看出，假如落在“n”這個概念的概念中

的概念的外延都恰好由n個個體組成，那么

落在“n+1”這個概念的概念中的概念的外

延也都恰好由n+1個個體組成。自然數(shù)的加

法運算，也是在這個基礎上定義的：假如m

和n都是自然數(shù)，那么m+n是這樣一個概念

的概念，它使得，假如概念P是落在m這個

概念的概念中，而且概念Q是落在n這個概

念的概念中，而且概念P與概念Q不相交，

那么概念“P或Q”就落在m+n這個概念的

概念中；而且反之，任何落在m+n中的概念

都等價于這樣的某個“P或Q”。

有了這樣一些明確的關于自然數(shù)與算術運

算的定義后，弗雷格試圖證明，算術中的定

理是依概念的定義而為真的分析真理。也就

是說，一旦將相關的概念的定義都明確地表

達出來，一個算術定理其實就是邏輯真理。

以m+n=n+m為例，由上面對m+n的定義不難

看出，它之為真，其實是基于“P或Q”在

邏輯上等價于“Q或P”這個事實。同樣，

如果將“2”，“3”，“5"，“+”等等都

按前面的定義展開，2+3=5將變成一個在句

法結構上非常復雜的命題。但是，弗雷格的

結論是，2+3=5本質(zhì)上就像“今天下雨或者

今天不下雨”一樣，是一個僅僅依“或

者”、“不”這樣的邏輯連接詞的含義就為

真的邏輯真理。當然，2+3=5展開后還會用

到很多其它的邏輯連接詞，比如“而且”，

“對任何”，“如果…，貝卜?"，“當且僅

當”等等。弗雷格的具體分析很復雜，我們

不能在這里詳細介紹，它需要現(xiàn)代數(shù)理邏輯

的專門知識。但如果成功的話，弗雷格的方

法可以很自然地推廣到實數(shù)理論或其它高

等數(shù)學中，由此說明，高等數(shù)學中的定理也

是概念上的真理，或邏輯真理。

我們看到，弗雷格的計劃是宏偉的。一方面,

他要通過更深入的概念分析，說明像2+3=5

這樣的判斷，也是依概念的意義就為真的，

可以由有關概念的定義，通過邏輯推理推導

出來。另一方面，他所要概括的不僅僅是這

樣的初等數(shù)學，原則上還要包括所有的數(shù)

學。他要根除康德的先驗綜合真理的必要

性，給我們一個關于我們的知識的更簡單的

圖畫。在這個圖畫中只有兩類真理：一類是

事實的真理，它們對現(xiàn)實世界有所肯定，它

們之為真，是依賴于現(xiàn)實世界的偶然的實際

構成，就像“今天不下雨”那樣；另一類就

是邏輯真理或分析真理，它們之為真，是由

概念的含義本身決定的，與現(xiàn)實世界的實際

構成無關，它們對現(xiàn)實世界中的事物無所肯

定也無所否定，就像“今天下雨或者今天不

下雨”那樣。前一類是自然科學中的真理，

后一類則包括邏輯和數(shù)學中的真理。邏輯和

數(shù)學就是同樣的東西。

如果成功的話，弗雷格應該能比康德更好地

提供關于現(xiàn)代數(shù)學真理性問題的答案。前面

提到，對于現(xiàn)代數(shù)學來說，這個問題的難點

是，直觀上，一方面我們似乎確實有著關于

獨立于物質(zhì)世界的無窮的抽象數(shù)學對象和

結構的知識；另一方面，考慮到我們自身是

生存于這個有限的物質(zhì)世界中的生物，我們

如何能夠具有那些知識成為一個謎。比如，

我們究竟是依據(jù)什么知道存在著無窮多個

自然數(shù)？我們不能通過去數(shù)星星或原子的

數(shù)目來證明有無窮多個自然數(shù)。事實上，這

個數(shù)目甚至可能是有限的。依弗雷格的思

想，回答應該是，斷言存在著無窮多個自然

數(shù)，與斷言存在著無窮多個星星或原子不

同。前者，是純粹由“自然數(shù)”這個概念本

身決定的。要認識它，并不需要我們有限的

大腦通過感官與某些非物質(zhì)的無窮的數(shù)學

對象相接觸，只需要我們能夠掌握“自然

數(shù)”這個很具體的概念。通過分析這個概

念，我們就可以純粹從邏輯上，從“而且”、

“對任何”、“如果…，則…”、“當且

僅當”等等這樣的邏輯連接詞的涵義，推導

出這個論斷。所以，如果成功的話，一方面

弗雷格的解答可以包括現(xiàn)代數(shù)學，另一方

面，它又消解了那個認識論上的謎，而不必

去假設我們認知官能的先天結構等等，因此

就超越了康德。

但從另一方面看，弗雷格的思想確實也有神

秘之處。邏輯真理應該是對任何事物都是真

的真理，不管是有窮多個事物還是無窮多個

事物。但是回憶一下前面關于自然數(shù)0,I,

等等的定義。既使物質(zhì)世界是空無一物，0

作為“是一個空概念”這樣一個概念的概

念還是存在的。然后1,2,3,等等作為概

念的概念都存在。由“空”就神秘地生出無

窮多個東西來了。這一點，其實與所謂的羅

素悖論，及其導致的弗雷格的計劃的失敗，

是密切相關的。

要理解羅素悖論，可以首先注意一下，直觀

上，有些概念的概念可以應用于自身，有些

則不可。比如，“是一個概念”本身也是一

個概念，所以，“是一個概念”是一個概念,

即這個概念可以應用于自身；反之，“不是

一個概念”本身還是一個概念，所以，這個

概念不可以應用于自身?，F(xiàn)在考慮這樣一個

概念的概念：“是一個不可應用于自身的概

念”。記這個概念為R,那么對任何一個概

念X,X是R,當且僅當X是一個不可應用于

自身的概念。特別地，概念R是R,當且僅

當R是一個不可應用于自身的概念，也就是

說，當且僅當R不可應用于R自身，即當且

僅當R不是R。所以我們有：概念R是R,

當且僅當R不是R。這是一個矛盾。這說明,

“概念”這個概念本身并不清晰，無限制的

運用會導致矛盾。

在弗雷格的嚴格的邏輯系統(tǒng)中，這個矛盾可

以被嚴格地推導出來，也就是說，弗雷格的

系統(tǒng)是自相矛盾的。所以弗雷格的計劃未能

成功，而對于數(shù)學真理究竟是什么真理，它

們之為真的基礎究竟是什么這個問題，弗雷

格未能給出答案。

五、小結：描述數(shù)學真理的幾個坐標

如果我們將普通的經(jīng)驗真理，比如像“今天

下雨”那樣的經(jīng)驗真理，還有自然科學中的

描述現(xiàn)實世界的真理放在左邊，將像“A或

者并非A”那樣的空洞、與現(xiàn)實世界的實際

構成無關的邏輯真理放在右邊，那么，將數(shù)

學視為一種自然科學的觀點是“左派”，弗

雷格的邏輯主義是“右派”，而康德的先

驗綜合真理想法則是“中間派”。這是描述

數(shù)學真理的一個尺度。我們將要看到，一些

哲學家們對數(shù)學真理本性的思考，是在這

左、中、右之間搖擺。（當然，這與政治上

的左、中、右毫不相干。）

另一方面，有一些對數(shù)學的解釋在不同程度

上否認數(shù)學定理是真理。這是描述數(shù)學真理

的另外一個尺度，即從完全否認數(shù)學定理表

達真理，到接受某些數(shù)學定理為真理而否認

另外一些，到相信所有的數(shù)學定理都表達真

理。比如，二十世紀初數(shù)學家希爾伯特提出

的形式主義。它承認初等數(shù)學或有窮數(shù)學

包含真理，但是認為無窮數(shù)學本身只是一些

無意義的符號演算。希爾伯特提出一個希爾

伯特方案，試圖用來說明為什么那些無意義

的符號演算能夠有用，也能夠幫助推導出一

些初等數(shù)學的真理。由于著名的哥德爾不完

全性定理，這個方案不能按原來所設想的那

樣得到成功。又如，與希爾伯特同時代的數(shù)

學家布勞維爾提出的直覺主義數(shù)學，認為像

自然數(shù)那樣的數(shù)學對象是我們在直覺中的

構造，而且，只有我們能在直覺中構造出的

數(shù)學對象才是存在的，關于這些對象的數(shù)學

命題才是有意義的，因此才可能有真假。換

句話說，超出這些數(shù)學對象的命題，比如關

于無窮基數(shù)的一些命題，是沒有意義的。直

覺主義對數(shù)學作了一些限制，使得數(shù)學證明

變得更復雜，而且似乎是沒有必要地復雜，

所以它沒有被數(shù)學家們采納。還有一些工具

論者，他們認為數(shù)學僅僅是工具，數(shù)學命題

沒有真假可言，因為它們不是邏輯意義上有

真假的判斷。他們認為對于數(shù)學命題，我們

只能問它們是否有用。限于篇幅，我們不能

詳細介紹這些對數(shù)學真理的解釋。

這兩個尺度就像兩個坐標，可以標示不同的

對數(shù)學真理的解釋。由于種種難點，使得哲

學家們在解釋什么是數(shù)學真理時，不得不在

這兩個坐標所標示各個位置之間擺動。

當然，這樣兩個尺度還不足以描述數(shù)學真理

性問題的復雜性。比如，就數(shù)學真理的對象

來說，有些哲學家，即所謂的柏拉圖主義者,

認為數(shù)學對象是真實存在的獨立于物質(zhì)世

界與我們的心靈的抽象實體。有些哲學家，

即所謂的結構主義者，強調(diào)數(shù)學真理表達的

是關于結構的真理，而不是關于對象的真

理，因此真正存在著的是結構，而不是抽象

實體。還有一些哲學家，即唯名論者，認為

抽象實體（包括抽象結構）都不存在，因而

數(shù)學對象也不存在。所以他們實際上認為，

數(shù)學判斷至少在字面意義上是假的，因為它

們在字面意義上所說的數(shù)與集合等抽象數(shù)

學對象都不存在。這是描述數(shù)學真理的另外

一個尺度。當然，這些哲學家強調(diào)要區(qū)分數(shù)

學命題字面上的意義和它們的真正的意義，

或經(jīng)過某種解釋后的意義。在字面意義上，

一個數(shù)學命題似乎是在描述一些獨立于物

質(zhì)世界與我們的心靈的抽象實體。但是，有

些哲學家認為，數(shù)學命題的真正意義是與數(shù)

學對象無關的，而且是純邏輯的判斷；而有

另外一些哲學家則認為，經(jīng)過某種解釋后，

一個數(shù)學命題就是在描述物質(zhì)世界，因此也

就與自然科學中的命題一樣。（見下面的第

八小節(jié)。）

限于篇幅，我們將側(cè)重于前面所提到的第一

個尺度，也就是問，數(shù)學真理是處于從自然

科學中的事實真理，到邏輯真理之間的什么

位置上。這也許是比較重要的一個尺度，因

為即使是完全否認數(shù)學命題本身就是真理

的哲學家，也無法否認，在經(jīng)過恰當?shù)慕忉?/p>

后，一個數(shù)學定理蘊含著某種意義上的真

理。這些哲學家的觀點之間的區(qū)別，實質(zhì)上

是在于什么才是恰當?shù)慕忉?，如何去作恰?/p>

的解釋等等。

六、邏輯實證主義者與卡爾納普：數(shù)學真

理是語言上的約定

弗雷格將數(shù)學歸結為邏輯的企圖未能成功。

現(xiàn)代數(shù)學最終是建立在集合論之上。在集合

論中，我們不再是像弗雷格那樣，從“概

念，，多少有些神秘地產(chǎn)生出數(shù)學對象，而是

將集合的存在，比如空集、無窮集的存在，

明確地列為公理。所以，集合論至少在表面

上似乎是在描述一些特定的對象，而不是像

邏輯那樣，被認為是僅僅包括對任何對象都

真的真理。集合論中的無窮公理、選擇公理

等等，很難說是純粹邏輯上的真理。它們都

肯定某些特定的事物存在。無窮公理更斷言

無窮多個事物存在，而邏輯公理應該是對任

何可能的事物都是有效的，包括總共只有有

限個事物的情形。更何況，一些數(shù)學家們還

嘗試著給集合論增加新公理，以解決一些獨

立于現(xiàn)有集合論的問題。也就是說，集合論

的內(nèi)容要超出純邏輯的真理。另一方面，這

些數(shù)學公理又確實顯得不同于普通的自然

科學中的有直截了當?shù)氖聦崈?nèi)容的真理。

面對這樣一種狀況，一種很自然的反應，是

將對數(shù)學真理的解釋擺回到邏輯真理與科

學真理的中間，也就是，從“右派”向“中

間派”靠攏。邏輯實證主義者，尤其是哲學

家卡爾納普，表現(xiàn)了這樣一種傾向。卡爾納

普將數(shù)學視為一種語言，將數(shù)學真理視為由

語言中的約定而來的真理。為了描述這個世

界，我們不得不使用一種語言。采納一種語

言，也就是采納了一個描述世界的概念框

架。在卡爾納普看來，這包括選擇一些語言

表達方式，選擇談論某些事物，也包括接受

一些關于這些事物的基本假設作為約定的

真理。

比如，我們原始的談論物體顏色的方式，可

能只是將表達顏色的詞作為形容詞，說“這

是紅的”等等。但是，為了更方便地描述物

體的各種不同的顏色屬性，我們會選擇將

“紅色”等表達顏色的詞作為名詞來用，

而說“紅色是暖的，而藍色是冷的”等等。

這樣，“紅色”就似乎指稱某個個體事物，

似乎有“紅色”這樣一個東西作為一個個

體事物存在，就像桌子、椅子那樣的物體一

樣，而且它還有某些屬性，比如它是“暖

的”。同樣地，我們原始的使用數(shù)詞的方式

也許只是像在“太陽系有9個行星”中那

樣，并不用數(shù)詞來指稱任何對象，但為了在

某些場合下的方便，我們也選擇了說“太陽

系中行星的個數(shù)二9"。這樣也就將“9”用

作一個專有名詞，似乎“9”也指稱某個個

體事物，某個自然數(shù)。同時，我們也談論自

然數(shù)的屬性、關系，就像談論物體的屬性和

關系。這就是選擇了談論自然數(shù)的語言框

架。這包括將數(shù)詞用作專有名詞，談論自然

數(shù)這一類對象極其屬性、關系，談論所有的

自然數(shù)具有某種屬性，或有些自然數(shù)具有某

種屬性等等，還包括接受一些關于自然數(shù)的

最基本的假設，即關于自然數(shù)的公理。

有些哲學家質(zhì)疑自然數(shù)是否“真的存在”，

因為如果它們存在的話，它們將不是存在于

時空之中，它們將是獨立于物質(zhì)世界的一些

對象，仿佛是存在于另外一個宇宙中的事

物?？柤{普認為，說自然數(shù)存在只是意味

著我們選擇了談論自然數(shù)的語言框架，即將

數(shù)詞用作專有名詞等等。一旦選擇了將數(shù)詞

用作專有名詞，自然數(shù)的存在就是語言約定

的結果。選擇了談論自然數(shù)的語言框架后，

我們可以問：“存在著9與13之間的素數(shù)

嗎？”等這樣一類問題?？柤{普稱這一類

問題為“語言框架的內(nèi)在問題”。它們是在

選擇了自然數(shù)的語言框架后，因此也就是約

定了自然數(shù)的存在和基本屬性后，在語言框

架的內(nèi)部提出的。對它們的回答，要看它們

能否從關于自然數(shù)的那些最基本的假設，即

關于自然數(shù)的公理，邏輯地推導出來。至于

“自然數(shù)真的存在嗎？”這樣的問題，卡爾

納普稱之為“語言框架的外在問題”?？?/p>

納普認為這樣的外在問題是無意義的，因

為，一旦接受了自然數(shù)的語言框架，自然數(shù)

的存在就是約定了的；而在接受這個語言框

架之前，根本就沒有“自然數(shù)”這個概念，

因此這個問題也提不出來。卡爾納普認為，

對于語言框架的選擇，我們只能問它的實際

效果如何，它的簡單性，便利性如何等等，

而不能去問這樣一個語言框架是否真正地

對應于語言框架之外的某種意義上的“實

在”，比如，不能去問我們關于自然數(shù)的判

斷是否符合某些存在于獨立于物質(zhì)世界與

我們心靈的數(shù)學世界中的對象。

現(xiàn)代科學選擇了現(xiàn)代數(shù)學的語言，這包括集

合的概念和關于集合的公理等等，也包括在

這些基礎上定義的各種數(shù)學結構。所以依卡

爾納普的解釋，數(shù)學定理，作為由這些公理

邏輯地推導出的結論，也是依這個語言框架

的選擇為真的。前面提到，弗雷格的失敗，

在于數(shù)學的內(nèi)容似乎是超出純邏輯真理的。

所以弗雷格遺留下的問題依舊是，這些數(shù)學

真理的基礎是什么？卡爾納普的回答是，這

些數(shù)學真理是語言約定的結果。選擇一種語

言框架，包括了假設某些對象，而且包括接

受關于那些對象的一些基本假設。這些都是

有特定內(nèi)容的，都超出了純邏輯真理的判

斷，但是，我們不能問它們是否是對某種超

出語言約定的客觀實在的準確描述，而只能

問整個語言約定本身是否有效、便利、簡單

寸寸O

上面第一小節(jié)中曾提到一種觀點，認為數(shù)學

公理只是假設，數(shù)學家只是從這些假設的前

提推導出定理?？柤{普所說的聽來與此相

似，但有一個實質(zhì)性的差別?？紤]一個像

“假如A,那么B”那樣的斷定由假設A可

以得出結論B的陳述。當我們將它用于實際

中時，我們必須驗證一下A是真的，然后才

能得出Bo對于卡爾納普來說，一種數(shù)學語

言，包括其中的數(shù)學概念與公理，是我們認

識世界所必不可少的整體上的概念框架。我

們將其應用于實際中時，不再驗證其中的公

理是否為真，因為它們是我們在采納這種語

言框架時就已經(jīng)接受了的。同樣，在科學中,

提出一個特別的假說是為了解釋某種現(xiàn)象，

因此我們要去檢驗一個假說。但是，要表達

任何科學理論，包括表達對任何科學假說的

檢驗，都必須先有一種語言，包括先有語言

所蘊含的概念框架。這樣一種語言和概念框

架不同于一個個單獨的科學假說。它是先于

任何科學假說的，不能像科學假說那樣被檢

驗，因為任何檢驗都預設了這個語言和概念

框架本身。當然，卡爾納普承認，我們可以

問這樣一種語言和概念框架在總體上是否

有效、便利、簡單等等。

還可以將卡爾納普的回答與康德的思想相

比較。康德也是將數(shù)學真理置于邏輯真理與

事實真理之間，也是將數(shù)學真理視為我們認

識世界的前提，而不能被經(jīng)驗檢驗的。但是,

康德是想通過假設我們認識世界的官能有

某種先天結構，或先天認知形式，來直接地

回答數(shù)學真理是如何為真的，以及我們實際

上是如何認識這些真理的。我們前面已經(jīng)提

到，康德的這種思想的困難是，它無法解釋

現(xiàn)代數(shù)學中那些關于超窮的抽象數(shù)學對象

的真理。尤其是，我們對這些現(xiàn)代數(shù)學公理

的認識，是在實踐中經(jīng)過嘗試得到的，似乎

不是由我們的先天認知形式?jīng)Q定的。卡爾納

普是用語言框架的選擇來代替對我們的先

天認知形式的假設。語言框架的選擇是后天

的事情，是我們科學實踐中的事情，具有一

定的靈活性，而且是經(jīng)過一些嘗試、錯誤、

再嘗試的結果。比如，從十九世紀開始，數(shù)

學家們嘗試將數(shù)學分析嚴格化，由此最終導

致二十世紀被普遍接受的集合論語言。這

樣，一方面，卡爾納普接受了數(shù)學真理有著

超出純邏輯真理的內(nèi)容但又有別于普通的

經(jīng)驗真理這樣一個事實，另一方面他又試圖

回避康德所作的工作，或者說試圖嘗試與康

德不同的解釋。他不回答這些數(shù)學真理的基

礎究竟是什么，我們是如何認識這些真理

的，而是反過來說這些真理只是我們作的語

言上的約定。這些約定是我們嘗試的結果，

而且，從實用的角度我們可以評價這些約定

是否有效、便利、簡單等等，但是，卡爾納

普認為，詢問這些約定是否對應于超出這個

語言框架之外的實在是無意義的，因為這個

語言框架已經(jīng)是最基本的東西了。任何有意

義的問題都要在一個語言框架中來問。

從我們前面的分析看，卡爾納普的這種策

略，似乎是我們所面臨的困境的一個自然的

結果。但是，我們應該清楚，這種策略是僅

僅是對困難的回避，還是對數(shù)學真理的最好

的解說。這里，實質(zhì)性的問題是，卡爾納普

沒有對一個語言框架為什么會比另一個語

言框架更有效、便利、簡單作進一步的解釋。

有效、便利、簡單等等，只是對工具的使用

效果的描述，而不是對工具的內(nèi)在機制的描

述。在日常生活中，當我們說一個工具是有

效、便利、簡單時，我們都相信這有它內(nèi)在

的原因，由這個工具的內(nèi)在結構與規(guī)律性，

由它的內(nèi)在工作原理，由它與它所使用的對

象在某種意義上的符合決定。即使數(shù)學語

言、數(shù)學定理僅僅是工具，即使數(shù)學定理本

身沒有真理性可言，數(shù)學在自然科學中的廣

泛適用性也應該有個原因?？柤{普的本意

是想回避哲學家們無謂的形而上學的玄想。

這與邏輯實證主義尊重科學反對形而上學

的一貫思想是一致的。但是，按我們的理解,

這里對數(shù)學語言的廣泛適用性的內(nèi)在原因

的探求不是形而上學的玄想。相反，它是像

現(xiàn)代認知科學中探索我們?nèi)祟惥烤谷绾握J

識世界一樣，探索我們?nèi)祟惖臄?shù)學概念和知

識的來源是什么，我們?nèi)祟惖臄?shù)學概念和知

識是如何對應于世界的，如何能在科學中有

廣泛的應用。問題的起點是一個科學問題，

尤其是一個認知科學的問題，而不是一個卡

爾納普所理解的形而上學問題。用卡爾納普

的“內(nèi)在問題”與“外在問題”的區(qū)分，它

是一個“內(nèi)在問題”。

比如，我們可以對一個科學命題問同樣的問

題，比如牛頓引力定律。我們也可以問，這

個命題的真理性基礎是什么，我們是如何認

識它的，對它的認識如何帶來效果、便利、

簡單性等等。這里我們也接受了一個概念框

架，包括談論物體、力等等。然后，我們可

以考察我們的大腦是如何通過感覺器官與

物體、力等等相聯(lián)系，從而認識物體、力等

等。我們可以考察我們關于物體、力等等的

判斷是如何符合物質(zhì)世界中的實情。然后，

我們可以用這種符合，即真理性，來解釋我

們?nèi)绾纬晒Φ乩眠@些知識。這些都是在接

受了這個概念框架之后的考察。在這種探索

中，我們有了我們的大腦如何認識關于物質(zhì)

世界中的事物的真理和如何有效地利用這

些真理的一個圖景。在這種探索中，我們也

認識到，我們可以約定我們的詞的用法，比

如可以將表達顏色或表達力的詞用作名詞，

但是我們也意識到，有實質(zhì)性內(nèi)容的判斷是

不能約定的。比如，雖然我們將表達顏色的

詞用作名詞，因此在這種意義上我們約定了

一個顏色也是某種個體事物，但是我們很清

楚我們不能約定有無窮多種不同的顏色。同

樣，我們接受了談論物體、力等等的語言，

但是究竟有多少種力、有多少個物體不能是

依約定而真的。這些當然都是在接受了一個

概念框架之后的探索和認識。所以，在這種

探索中，我們也得到了某些事物、某些真理

是獨立于我們的思想的這樣一個認識。所謂

的“獨立于我們的思想”，也是在經(jīng)驗范圍

之內(nèi)，或在我們所接受的概念框架之內(nèi)的概

念，是將人看作自然界的一部分，而說自然

界的另一部分相對獨立于人的思想。這并不

是形而上學的玄想。同樣，我們也得到了語

詞上的約定不能包含對世界中的對象有實

質(zhì)性內(nèi)容的判斷這樣一個認識。概括地說，

我們可以在我們的概念框架之內(nèi)考察我們

自身如何認識關于物質(zhì)世界的真理以及如

何利用這些真理，由此我們有了關于我們自

身的認知活動的一個圖景，其中既顯示了我

們的大腦是如何與物質(zhì)世界相聯(lián)系，以認識

關于物質(zhì)世界的真理，又顯示了物質(zhì)世界是

獨立于我們的大腦這樣一個事實，還顯示了

我們認識的真理是如何有用的。

然后，假如我們依卡爾納普的建議，將數(shù)學

對象與真理視為一種語言上的約定，那么我

們可以進一步反思我們自身作為自然界中

的生物的語言與認知活動，也就是在我們已

經(jīng)接受了的概念框架之內(nèi)，考察我們的數(shù)學

語言本身。畢竟人類接受某種概念框架本身

也是一種自然界中的現(xiàn)象。當然，我們不否

認對這樣的現(xiàn)象的考察本身也是在一個概

念框架中進行的。首先，我們自然地將數(shù)學

對象與物質(zhì)世界中的對象相比擬，由此得到

的困惑是，我們?nèi)绾文軘喽ɑ蚣s定有無窮多

個數(shù)，無窮多個集合，而不能約定有無窮多

種力、無窮多個物體？同樣地，我們無法像

解釋如何認識引力定律那樣，描述我們的大

腦如何通過某種器官與無窮多個自然數(shù)或

超窮集合相聯(lián)系，從而獲得關于它們的知

識。然后我們想到，卡爾納普的本意也許是

說，我們關于數(shù)學對象的約定，是與其它場

合我們所理解的關于語詞使用的約定完全

不同的一種類型的約定。在這種約定中，我

們可以約定一些有實質(zhì)性內(nèi)容的真理，然后

我們?nèi)L試看這些約定是否帶來成功、效

率、簡單性等等，而不再去問大腦與那些約

定的對象是如何相聯(lián)系的。但我們依舊有一

個問題：為什么這些約定會帶來成功、效率、

簡單性等等？它的內(nèi)在原因是什么？是什

么內(nèi)在機制決定了這些約定會帶來成功、效

率、簡單性？對于我們所認識的牛頓引力定

律為什么帶來成功、效率、簡單性我們有一

個自然的解釋，即它符合物質(zhì)世界的實情。

而如果那些數(shù)學公理是約定的，而有些約定

并不帶來成功，這個問題就變得更迫切。

所有這些問題，都是卡爾納普意義上的“內(nèi)

在問題”，不是形而上學的玄想。是在這個

概念框架之內(nèi)產(chǎn)生的對我們自身的語言使

用與我們的認知能力的困惑?？柤{普沒有

回答這些真正的問題。他只是描述了我們的

數(shù)學語言的使用結果，而沒有對數(shù)學語言為

什么有效、便利、簡單作進一步的解釋。完

全拒絕進一步解釋的可能性是不合理的。在

從事任何研究中我們當然都不得不使用我

們的大腦，但這并不等于說我們不能用我們

的大腦來研究大腦自身，研究我們自身是如

何獲得知識的。同樣，我們應該也可以在一

個概念框架之內(nèi)問這個概念框架是為什么

有效。至少，對于我們關于物質(zhì)世界的知識,

我們有一個概念框架之內(nèi)的答案。更重要的

是，如果再考慮到數(shù)學家們和科學家們對數(shù)

學概念和公理的選擇顯然不是任意的。他們

顯然不是隨機地選擇一些概念和公理作為

我們的語言框架然后試圖用于科學。再考慮

到數(shù)學概念和公理在直觀上有它們的自明

性。因此，很自然的想法是，如果我們要深

入地探索數(shù)學在自然科學中的廣泛適用性

的內(nèi)在原因，結論有可能是：數(shù)學公理是對

某種獨立于我們的實在（即數(shù)學世界）的真

實描述。當然，這不是必然的結論，但這恰

恰是卡爾納普需要證明的。

這是我們認為的卡爾納普的約定主義的主

要問題。如果弗雷格的計劃可以實現(xiàn)，那么

它沒有這個問題，因為數(shù)學定理的真理性就

在于它們是純邏輯真理，因而是對任何事物

的真實的描述。它們帶來效果是因為它們與

外部事物符合，而它們帶來便利、簡單性，

是因為它們是一些非常復雜的邏輯真理的

簡單表述。如果康德的思想可以推廣到現(xiàn)代

數(shù)學，它也沒有這個問題。這與卡爾納普的

回答有細微的區(qū)別，因為它斷言了數(shù)學是對

任何我們可能認識的世界來說都是必然的

真理，而不是多少有些隨意的約定，因此數(shù)

學的應用效果是由它的真理性決定的，不再

需要別的解釋?？柤{普將數(shù)學解說為后天

的約定。這回避了現(xiàn)代數(shù)學對康德的思想的

挑戰(zhàn)，但是，既然是后天的約定，既然約定

有有效的、有不有效的，我們自然需要一個

解釋，為什么有效、為什么不有效。

當代哲學家中對卡爾納普的批評主要來源

于兩個方向：著名的邏輯學家哥德爾的批評

側(cè)重于強調(diào)數(shù)學的真理內(nèi)容其實要超出任

何可能的語言約定；哲學家蒯因則強調(diào)在所

謂約定的真理和事實的真理之間沒有明確

的界限。我們這里給出的對卡爾納普的約定

主義的問題的分析稍有不同，但我們認為這

才是約定主義的真正問題。

事實上，這里對卡爾納普的分析也適用于哲

學家蒯因的觀點。蒯因的哲學觀點常常被

拿來與卡爾納普的觀點相對照，因為他是從

批評卡爾納普開始他的主要哲學思考的。但

從我們看來，實際上他與卡爾納普，尤其是

與后期的卡爾納普，相似之處遠遠大于差

別。蒯因?qū)柤{普的批評主要強調(diào)，在所

謂約定的真理和事實的真理之間沒有明確

的界限；同樣，在所謂先驗的與后驗的、分

析的與綜合的真理之間也沒有明確的界限。

由此，蒯因所給的關于我們的知識的圖畫

是：我們用包括邏輯、數(shù)學和自然科學的整

個信念的網(wǎng)絡來應對自然；邏輯真理、數(shù)學

真理與自然科學真理一樣都是由經(jīng)驗決定

的；邏輯、數(shù)學和自然科學的區(qū)別是，邏輯

和數(shù)學是處于我們關于自然的信念的核心，

是我們最強的信念，而當我們在應對自然中

遇到問題，因此需要修改我們的信念時，我

們總是從修改外圍的信念開始，而保持核心

中的邏輯和數(shù)學。在蒯因看來，邏輯和數(shù)學

也不是絕對不可修改的。我們的整個的信念

網(wǎng)絡在整體上受到經(jīng)驗的制約。這個圖景看

起來與卡爾納普所描畫的不同，但要點是，

蒯因同樣不回答我們的數(shù)學信念是否是對

某個獨立于我們的數(shù)學實在的真實描述。相

反，在他看來，我們不能脫離理論去問哪些

對象真的存在，而只能問一個理論承諾了哪

些對象存在。既然數(shù)學在科學中有著必不可

少的應用，科學就承諾了數(shù)學對象。所以蒯

因同樣是從數(shù)學和自然科學整體上的成功

來說明數(shù)學的真理性。蒯因所提出的對數(shù)學

對象存在的論證是所謂“整體論”，即數(shù)學

與科學整體上成功，科學承諾數(shù)學對象，因

此恰恰在這種意義上數(shù)學對象存在。

對我們來說，重要的是蒯因也沒有回答為什

么數(shù)學會有用，而只是說“既然數(shù)學有用，

它就是真的了"。當我們將我們自身的科學

活動（或蒯因所說的應對自然的活動）當成

自然現(xiàn)象來考察時，對于我們的關于物質(zhì)世

界的信念為什么有用，我們可以有一個自然

的解釋，即我們的大腦中的信念是正確地反

映外部物質(zhì)世界的實情的。這也包括解釋我

們的關于一些不可觀察的物體的信念，比如

關于原子、電子的信念，是如何有用的。這

當然是在自然科學框架內(nèi)的解釋，是假設了

外部物質(zhì)世界存在，包括不可觀察的物體存

在，假設了科學的真理性后的解釋。是物理

學加上認知科學的解釋。這與蒯因所提倡的

所謂“認識論自然化”是一致的。而對于數(shù)

學，我們的問題是，假如將數(shù)學對象看作是

像原子、電子那樣的獨立于我們的大腦的對

象，那么我們不能描述我們大腦，是如何與

那些又是獨立于物質(zhì)世界的無窮數(shù)學對象

相聯(lián)系，而獲得那些數(shù)學信念；而如果我們

不用這種方式描述我們的數(shù)學信念與外部

世界的聯(lián)系，那么我們就需要回答數(shù)學真理

究竟是什么，需要以另外的方式解釋數(shù)學為

什么有用。蒯因沒有提示任何解釋，而只是

描述了數(shù)學有用這個結果，然后說，既然有

用，它就是真的了，而且數(shù)學對象也就存在。

這只是給一個謎貼了一個標簽，起了一個名

字，并不是解開了那個謎。

在自然科學中，我們并不用這種“整體論”

的方式來證明某些事物存在。比如基本粒

子，它們存在是因為它構成了原子，原子發(fā)

射光子到我們的視網(wǎng)膜，最終使我們認識到

它們。當然，這個圖景中有許多是科學假說,

但它們是被科學充分驗證的假說，所以按蒯

因所提倡的所謂“認識論自然化”的理念，

這是哲學家們所應當接受的。這里的要點

是，即使像基本粒子那樣離我們最遙遠的事

物，我們也有一個直接的圖畫，描述我們的

大腦如何獲得關于它們的知識，以及關于它

們的知識將如何有用。在自然科學中，當我

們不能明確地描繪出某些事物的存在時，我

們只能將它們看作有待進一步探索的假說。

比如，DNA及其作用被發(fā)現(xiàn)前，遺傳基因的

存在是不確定的假說。我們當然不能說數(shù)學

對象的存在也是這樣的不確定的假說，因為

數(shù)學真理似乎是確定和明顯的。對于數(shù)學對

象，我們真正的困難是，一方面，數(shù)學公理

似乎明顯地是關于那些抽象的無窮數(shù)學對

象的真理；而另一方面，我們又不能描述我

們的物質(zhì)性的大腦是如何獲得那些真理的；

而如果我們拒絕將數(shù)學公理看作是關于那

些獨立于我們的抽象的無窮數(shù)學對象的真

理，我們又沒有其它明顯的對數(shù)學的真理性

和可應用性的解釋。對這個疑問，“整體

論”，以及由數(shù)學有用得出數(shù)學對象存在的

論斷，沒有提示任何解答。

七、回到數(shù)學是一種科學：哥德爾的概念

實在論

哥德爾是繼弗雷格之后的最偉大的邏輯學

家。他證明的不完全性定理深刻地影響了我

們對數(shù)學的本性的認識。前面提到，由于數(shù)

學定理有著超出純邏輯真理之外的內(nèi)容，弗

雷格的計劃不能實現(xiàn)，因而卡爾納普將數(shù)學

公理視為我們的語言上的約定?；诓煌耆?/p>

性定理，哥德爾指出，數(shù)學真理的內(nèi)容甚至

要超出我們?nèi)魏慰赡艿恼Z言約定，因此卡爾

納普的約定論，不能真實地描述數(shù)學真理。

由此，哥德爾進一步認為，數(shù)學定理確實是

關于一個獨立于物質(zhì)世界、也獨立于我們的

心靈的數(shù)學世界的真理。就像物理學研究這

個宇宙中的物質(zhì)，探索關于這個宇宙的客觀

真理一樣，數(shù)學研究另外一個世界中的對

象，探索關于那個世界的客觀真理。在這個

意義上，數(shù)學與自然科學是相同的，雖然它

們的對象不同，而且方法也有差異。要點是,

它們都在追求客觀真理。所以哥德爾是正

面肯定了導致關于數(shù)學真理性的困惑的一

個前提，因此他必須回答我們究竟是如何認

識數(shù)學真理的。

哥德爾的不完全性定理及其導致的對約定

主義的反駁可以這樣通俗地解釋：我們回

憶一下，接受一種數(shù)學語言框架意味著接受

一些作為最基本的約定的數(shù)學公理，比如集

合論的公理。然后，約定主義聲稱，數(shù)學真

理就是由這些公理可以推導出的定理。由于

數(shù)學公理可以歸為有限的那么幾類，可以證

明，由數(shù)學公理可以推導出的所有數(shù)學定理

的集合就有一種相對簡單的結構，邏輯學中

稱為“遞歸可枚舉的”。直觀地說，這意味

著原則上可以設計一個計算機程序，將所有

的從公理可推導出的定理一個一個地輸出

來，沒有遺漏。（但是，如果一個數(shù)學命題

是不能從公理推導出的，我們無法預先知道

它將永遠不會被這個程序輸出。因此這個程

序不能在有限步內(nèi)斷定一個命題是或者不

是定理。）另一方面，如果我們假設任何一

個數(shù)學命題非真即假，那么所有數(shù)學命題的

集合將一分為二成真命題的集合與假命題

的集合，而且，一個命題在其中一個集合中,

當且僅當它的否定在另一個集合中。哥德爾

的不完全性定理實際上證明了，由于這樣的

特點，所有真命題的集合有著相對復雜的結

構，要比由所有從公理可推導出的定理組成

的集合，在本質(zhì)上更復雜。特別地，它不是

“遞歸可枚舉的”，也就是說，原則上不存

在一個計算機程序，它能夠?qū)⑺械恼婷}

一個一個地輸出，沒有遺漏。直觀上這也不

難理解：從公理可推導出的定理的集合，是

從有窮多類的公理在有限步內(nèi)用推理的方

式產(chǎn)生出來的。它有數(shù)學中常見的所謂“有

限生成”的特征。另一方面，真命題的集合

是用“真”這個抽象概念定義出來的，它沒

有那種“有限生成”的特征。當然，這只是

直觀的解釋。在數(shù)理邏輯和哥德爾的不完全

性定理中，對這些有