第七章第三節(jié)二次型

第二節(jié)正定二次型

慣性定理

正(負)定二次型的概念

正(負)定二次型的判別前面配方法的過程告訴我們，二次型可以通過坐標變換化成標準形。上式稱作二次型的標準形，D是對角矩陣，主對角線上各元為d1,d2,…,dn,二次型的秩等于D的主對角線上非零元的個數(shù)，是唯一的。

若一個二次型秩為r，它的標準形為：該式稱為二次型的規(guī)范形。r是矩陣A的秩，即二次型的秩。注意：規(guī)范型中“+”號的個數(shù)與標準型中di>0的個數(shù)相同。同樣，規(guī)范型中“-”號的個數(shù)與標準型中di<0的個數(shù)相同。定義：二次型的規(guī)范形中正項的個數(shù)稱為二次型的正慣性系數(shù)，負項的個數(shù)稱為二次型的負慣性系數(shù)，二者之差叫做二次型的符號差。一、慣性定理進一步進行合同變換，可以將二次型化成如下形式：證明：因為r就是二次型矩陣A的秩，所以r是確定的。現(xiàn)在我們來證明正慣性系數(shù)p也是唯一的。假設二次型可以化成兩個規(guī)范形(1)(2)由(1)(2)我們有：如果我們證明p=q，那么二次型的正慣性系數(shù)是唯一的。(4)反證法，假設q不等于p，不妨假設p>q如果找到不全為零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假設不成立問題：y1,y2,…,yn取怎樣的實數(shù)時，(4)式左端大于0，同時相應的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0？(4)方程組的未知量個數(shù)為n，方程的個數(shù)為n-p+q<n個。因此有非零解。即存在不全為零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于p>q造成的。同樣，p<q亦會產(chǎn)生類似的矛盾。由此得到p=q.慣性定理成立。一個實二次型，既可以通過拉格朗日配方法化為標準形，也可以通過初等變換法化為標準形。顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩．進而將標準形化為規(guī)范形，其規(guī)范形是唯一的。

項數(shù)為二次型的秩；其中系數(shù)為+1的項的項數(shù)為正慣性系數(shù)；其中系數(shù)為-1的項的項數(shù)為負慣性系數(shù)。為三元二次型，則它為正定二次型為二元二次型，則它為負定二次型二、正(負)定二次型的概念例如證明充分性故三、正(負)定二次型的判別必要性（反證法）故推論1.實二次型正定的充要條件是其正慣性系數(shù)為n推論2.實二次型正定的充要條件是其矩陣與n階單位矩陣合同推論4.正定矩陣的行列式大于零證明：設A為正定矩陣，則CTAC=E,兩端求行列式得：推論3.對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是：A的特征值

全為正這個定理稱為霍爾維茨定理．定理2對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即對稱矩陣為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負，而偶數(shù)階順序主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡單性質例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，例3

判別二次型的正定性.解二次型正定性的判斷方法一般的二次型的判斷都可以利用它的標準型或者規(guī)范形完成。設二次型的標準型為：如果di>(<)0(i=1,2,…,n),那么二次型是正定(負定)的。如果di≥(≤)0(i=1,2,…,n),那么二次型是半正定(半負定)的。如果di中既有正數(shù)，又有負數(shù)，那么二次型是不定的。容易理解：1.能夠判定半正定二次型；2.半負定二次型只要給二次型乘以“-1”，就是半正定二次型。當yi(i=1,2,…,r)不全為0時，二次型f≥0,所以上述二次型半正定。特別地，當二次型的秩小于n2.

正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子式判別法；(3)特征