第三簡單隨機(jī)抽樣演示文稿

第三簡單隨機(jī)抽樣演示文稿目前一頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（優(yōu)選）第三簡單隨機(jī)抽樣目前二頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)第一節(jié)

抽樣方式目前三頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)簡單隨機(jī)抽樣也稱純隨機(jī)抽樣。對于大小為的總體，抽取樣本量為的樣本，若全部可能的樣本被抽中的概率都相等，則稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。根據(jù)抽樣單位是否放回可分為放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣。（一）放回簡單隨機(jī)抽樣（二）不放回簡單隨機(jī)抽樣

（三）不放回與放回簡單隨機(jī)抽樣的比較

一、什么是簡單隨機(jī)抽樣目前四頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（一）放回簡單隨機(jī)抽樣如果抽樣是有放回的，那么每次抽取都都是從個(gè)總體單位中抽取，這時(shí)可能的樣本為個(gè)（考慮樣本單位的順序）或個(gè)（不考慮樣本單位的順序），每個(gè)樣本被抽中的概率為或，這種抽樣方式就是放回簡單隨機(jī)抽樣，所得的樣本稱為放回的簡單隨機(jī)樣本?？紤]與不考慮樣本單位順序的放回簡單隨機(jī)抽樣，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即同一個(gè)單位有可能在同一個(gè)樣本中重復(fù)出現(xiàn)。但是他們也有明顯的區(qū)別：一是可能的樣本數(shù)不同；二是樣本的概率分布不同，由此會導(dǎo)致估計(jì)量的概率分布不同。

目前五頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)可以證明，不考慮順序的放回簡單隨機(jī)抽樣的估計(jì)量的方差大于等于考慮順序的放回簡單隨機(jī)抽樣的估計(jì)量的方差，因此在抽樣實(shí)踐中，若用到放回簡單隨機(jī)抽樣這種方式，也只討論和使用考慮順序的情形。

目前六頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（二）不放回簡單隨機(jī)抽樣

如果抽樣是無放回的，即同一個(gè)單位不能在樣本中重復(fù)出現(xiàn)，那么，若考慮樣本單位的順序，則可能的樣本為個(gè)，每個(gè)樣本被抽中的概率為；若不考慮樣本單位的順序，則可能的樣本為個(gè)，每個(gè)樣本被抽中的概率為。這樣的抽樣方式就是不放回簡單隨機(jī)抽樣，所得的樣本稱為不放回簡單隨機(jī)樣本。

目前七頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)考慮樣本單位順序與不考慮樣本單位順序的不放回簡單隨機(jī)抽樣，除了單位不可能在同一個(gè)樣本中重復(fù)出現(xiàn)這一共同特點(diǎn)外，還有一個(gè)共同點(diǎn)，即雖然他們的可能樣本數(shù)不同，考慮順序是不考慮順序的倍，但是它們的樣本卻有相同的概率分布。由此會導(dǎo)致依據(jù)樣本構(gòu)造的估計(jì)量的概率分布也是相同的。

由于這一共同點(diǎn)的存在，加之不考慮順序的放回簡單隨機(jī)抽樣的工作量更小，所以抽樣實(shí)踐中對于不放回簡單隨機(jī)抽樣，只討論和使用不考慮順序不放回簡單隨機(jī)抽樣這種方式。

目前八頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)(三)不放回與放回簡單隨機(jī)抽樣的比較

1、每次抽取樣本單位面對的總體結(jié)構(gòu)不同。這是二者的主要不同之處。這一點(diǎn)使得前者的數(shù)學(xué)處理相對簡單。

2、樣本提供的信息量不同。顯然，在樣本量一定的條件下，由于后者提供的信息量大于前者，其抽樣效率更高。

在實(shí)踐中，一般多采用不考慮順序的不放回簡單隨機(jī)抽樣，所以以下討論如無特別說明，都指這一類簡單隨機(jī)抽樣。

目前九頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)二、簡單隨機(jī)樣本的抽選方法簡單隨機(jī)樣本的抽選，首先要將總體個(gè)單位從1到編號，每個(gè)單位對應(yīng)一個(gè)號；然后從所編的號中抽號，如果抽到某個(gè)號，則對應(yīng)的那個(gè)單位入樣，直到抽夠個(gè)單位為止。

（一）抽簽法

（二）隨機(jī)數(shù)法

目前十頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（一）抽簽法

當(dāng)總體不大時(shí)，可分別采用兩種方法抽取。一種是全樣本抽選法，另一種是逐個(gè)抽選法，按這兩種方法抽到的個(gè)單位的樣本是等價(jià)的，每個(gè)被抽到的樣本的概率都等于

。目前十一頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（二）隨機(jī)數(shù)法

當(dāng)總體較大時(shí)，抽簽法實(shí)施起來比較困難，這時(shí)可以利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子、搖獎機(jī)、計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣。1、利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽選。 隨機(jī)數(shù)表是一張由0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字組成的，一般常用的是五位數(shù)的隨機(jī)數(shù)字表，10個(gè)數(shù)字在表中出現(xiàn)的順序是隨機(jī)的，每個(gè)數(shù)字都有同樣的機(jī)會被抽中。目前十二頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)用隨機(jī)數(shù)表抽選簡單隨機(jī)樣本時(shí)，一般可根據(jù)總體大小的位數(shù)決定在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取幾列，比如=768,要從中抽取=10的簡單隨機(jī)樣本，則在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取相鄰的3列，順序往下（或往上），選出前10個(gè)001到768之間的互不相同的數(shù)，如果這3列隨機(jī)數(shù)字不夠，可另選其他3列繼續(xù)，直到抽夠個(gè)單位為止。目前十三頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)用此種方法，當(dāng)?shù)淖罡呶粩?shù)較小，比如小于5，且不小時(shí)，由于讀到的隨機(jī)數(shù)被舍棄不用的比例較大，抽選效率較差。此時(shí)采用下面的方法。在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取3列，順序往下，如果得到的隨機(jī)數(shù)大于247，小于989（因?yàn)?47的4倍為988，因此000及989到999的數(shù)字應(yīng)舍棄），則用這個(gè)數(shù)除以247，得到的余數(shù)入樣，顯然這種方法效率要高得多。隨機(jī)數(shù)表的起始頁和起始點(diǎn)都應(yīng)用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生。目前十四頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)3、利用搖獎機(jī)進(jìn)行抽選。

4、利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽選。通常產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)有循環(huán)周期。因此在有條件的情況下，一般不建議使用此種方法。

2、利用隨機(jī)數(shù)骰子進(jìn)行抽選。目前十五頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（一）簡單隨機(jī)抽樣在抽樣理論中的地位 它是抽樣中最容易掌握的技術(shù)、也是發(fā)展最成熟的技術(shù)，建立了最完備的理論。簡單隨機(jī)抽樣也是比較其他抽樣設(shè)計(jì)方法優(yōu)劣的基礎(chǔ)。其他抽樣方法技術(shù)都是在它的理論技術(shù)基礎(chǔ)上，針對它的局限發(fā)展起來的。

三、簡單隨機(jī)抽樣在抽樣理論中的地位與局限性目前十六頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)若總體單位數(shù)很大時(shí)，編制抽樣框困難；抽樣框中即使有輔助信息也不加利用，使得估計(jì)的統(tǒng)計(jì)效率較其他利用輔助信息的抽樣設(shè)計(jì)方法低；由于樣本在總體中的地理分布范圍較廣，如果采取面訪，則費(fèi)時(shí)、費(fèi)錢、費(fèi)力，困難較大；可能得到一個(gè)“差”的簡單隨機(jī)樣本；若不用計(jì)算機(jī)，而用隨機(jī)數(shù)表或隨機(jī)數(shù)骰子抽取一個(gè)大樣本，比較勞神單調(diào)。

（二）簡單隨機(jī)抽樣的局限性目前十七頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)四、有關(guān)指標(biāo)與符號指

標(biāo)

總

體

樣

本

總值均值比例比率有限總體方差無限總體方差目前十八頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)第二節(jié)

總體均值與總體總值的簡單估計(jì)目前十九頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（一）簡單估計(jì)量的定義

（三）簡單估計(jì)量的方差（四）簡單估計(jì)量的方差的無偏估計(jì)（二）簡單估計(jì)量的無偏性（五）放回簡單隨機(jī)抽樣的簡單估計(jì)（六）設(shè)計(jì)效應(yīng)（七）影響估計(jì)量精度的因素一、總體均值的簡單估計(jì)

目前二十頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（一）簡單估計(jì)量的定義對于簡單隨機(jī)抽樣，最簡單的估計(jì)是利用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，即總體均值的簡單估計(jì)量為：

也就是說，樣本均值是總體均值的簡單估計(jì)量。目前二十一頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（二）簡單估計(jì)量的無偏性對于簡單隨機(jī)抽樣，是的無偏估計(jì)，即有

證明：

這就是對稱性論證法。由于總體中每一個(gè)單位的入樣概率都相等，所以不放回簡單隨機(jī)抽樣是一種等概率抽樣。

目前二十二頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)(三)簡單估計(jì)量的方差

式中，抽樣比；為有限總體校正系數(shù)。

證明：

根據(jù)對稱性論證法，有

目前二十三頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)因此有目前二十四頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)

(四)簡單估計(jì)量的方差的無偏估計(jì)

的無偏估計(jì)是：

式中為樣本方差。

證明：

目前二十五頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)根據(jù)對稱性論證法及的表達(dá)式，有

由此可得：

目前二十六頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（五）放回簡單隨機(jī)抽樣的簡單估計(jì)

現(xiàn)實(shí)中有許多情況下，抽樣必須是放回的，即從總體中抽中的單位每次都要放回總體中去。例如在城市中對行人、車輛的調(diào)查，對超市顧客、影劇院觀眾的調(diào)查等抽樣都是有放回的，從而，有可能重復(fù)抽中某些單位。

對于每次抽到的結(jié)果(視為隨機(jī)變量)都有

目前二十七頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)由此可以證明：

注意到

目前二十八頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)因此樣本方差

是無限總體方差的無偏估計(jì)量。

方差的一個(gè)無偏估計(jì)是：

考慮樣本單位順序的放回簡單隨機(jī)抽樣也是等概率抽樣。

目前二十九頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)這說明除非=1，否則在相同的樣本量下，放回簡單隨機(jī)抽樣的方差總是大于不放回的方差，即它的抽樣效率一般比不放回簡單隨機(jī)抽樣的低。根據(jù)抽樣設(shè)計(jì)效應(yīng)定義：

放回簡單隨機(jī)抽樣的為：目前三十頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)【例3-3】為調(diào)查某大學(xué)學(xué)生的電信消費(fèi)水平，在全校=15230名學(xué)生中，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽得一個(gè)=36的樣本。對每個(gè)抽中的學(xué)生調(diào)查其上個(gè)月的電信支出金額（如表3-6所示）。試以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的平均支出額。

樣本序號消費(fèi)額（元）樣本序號消費(fèi)額（元）樣本序號消費(fèi)額（元）1234567891011124536713170893375225679513141516171819202122232448532439419319591116435762526272829303132333435368351332528901757431461947目前三十一頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)，，，，，。因此，對該校大學(xué)生某月的電信消費(fèi)的人均支出額的估計(jì)為53.64（元），由于置信度95%對應(yīng)的=1.96，所以，可以以95%的把握說該校大學(xué)生該月的電信消費(fèi)的人均支出額大約在53.64±1.96×6.1355，即41.61~65.67元之間。若采取放回簡單隨機(jī)抽樣，則：，，，以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月的電信消費(fèi)的人均支出額大約在53.64±1.96×6.1428，即41.60~65.68元之間。計(jì)算結(jié)果說明，不放回比放回簡單隨機(jī)抽樣估計(jì)的置信區(qū)間略小一些。由于總體較大而抽樣比較小，所以兩者之間相差很小。解：依據(jù)題意和表中數(shù)據(jù)，可計(jì)算得：目前三十二頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)總體總值為總體均值的倍，即

（一）簡單估計(jì)量的定義

N倍的樣本均值是總體總值的簡單估計(jì)量，即

二、總體總值的簡單估計(jì)只要我們有了總體均值的估計(jì)結(jié)果，就可以很容易地推出總體總值的估計(jì)結(jié)果。目前三十三頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn) 由于總體總值是總體均值的N倍，其簡單估計(jì)量也是總體均值估計(jì)量的N倍，而N是固定常數(shù)，所以總體總值的簡單估計(jì)量的性質(zhì)由總體均值的簡單估計(jì)量的性質(zhì)來決定。

容易證明的無偏估計(jì)為

（二）簡單估計(jì)量的性質(zhì)目前三十四頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)【例3.4】試以95%的置信度估計(jì)例3.3中該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額。解：依題意，N=15230，根據(jù)例3.3計(jì)算的結(jié)果，可估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為（元）。在不放回簡單隨機(jī)抽樣下，=15230×37.6444

=15230×37.6444=8731727749（元），（元），以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為：816937.2±1.96×93443.71元即在633787.53~1000086.87元之間。若為放回簡單隨機(jī)抽樣，則可得：15230×37.7336=8752417947（元），（元），以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為816937.2±1.96×93554.36元，即在633570.65~1000303.75元之間。目前三十五頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)第三節(jié)

總體比例的簡單估計(jì)目前三十六頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)規(guī)定

設(shè)總體中有個(gè)單位，具有某種屬性的單位數(shù)為；不具有該種屬性的單位數(shù)為。具有某種屬性的單位比例為：

不具有該種屬性的單位的比例為：

因此對總體比例的估計(jì)就是對總體均值的估計(jì)，對總體中具有某種屬性單位的總個(gè)數(shù)的估計(jì)是對總體總值估計(jì)的一個(gè)特例。

一、問題的提法

目前三十七頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（一）簡單估計(jì)量的定義

二、總體比例的簡單估計(jì)量及其性質(zhì)根據(jù)調(diào)查要求，利用簡單隨機(jī)抽樣的方式隨機(jī)抽取個(gè)單位組成樣本，其中個(gè)具有某種屬性，則樣本比例（樣本均值）

就是總體比例的簡單估計(jì)量；

就是總體中具有某種屬性單位的總個(gè)數(shù)的簡單估計(jì)量。

目前三十八頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)（二）估計(jì)量的性質(zhì)1、是的無偏估計(jì)。即有：2、的方差為：3、的無偏估計(jì)量是，即目前三十九頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)當(dāng)都比較大時(shí)，我們以正態(tài)分布給出及的近似置信區(qū)間（置信度為）為：修正后的與的置信區(qū)間分別為：目前四十頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)

【例3.5】試以95%的置信度估計(jì)例3.3中該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)支出超出80元的人數(shù)及其比例。解：根據(jù)例3.3所給的資料可知，=15230，=36，7，

=1.96。由此可計(jì)算得：

于是的95%的置信區(qū)間為

的95%的置信區(qū)間為（0.0496，0.3392）=(755，5166)。

=（0.0496，0.3392）目前四十一頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)第四節(jié)

樣本量的確定目前四十二頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)在抽樣調(diào)查的理論方法研究中，樣本量的確定既有重要的理論意義，又有現(xiàn)實(shí)的實(shí)用價(jià)值。樣本量過大，不符合抽樣調(diào)查的宗旨；過小，則抽樣誤差偏大，無法保證估計(jì)精度的要求。樣本量的確定主要受兩個(gè)方面因素的影響和制約：一是對抽樣估計(jì)量精度的要求。對于一個(gè)確定的抽樣設(shè)計(jì)，估計(jì)量的精度要求高意味著要求的抽樣誤差小，而要想抽樣誤差小，就必須樣本量大。而總體單位調(diào)查標(biāo)志的變異程度、總體的大小、樣本設(shè)計(jì)和所使用的估計(jì)量、回答率等都是影響估計(jì)精度的因素，從而也是影響樣本量的因素。一、確定樣本量主要考慮的因素目前四十三頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)二是實(shí)際調(diào)查運(yùn)作的限制。調(diào)查的經(jīng)費(fèi)能支持多大的樣本？允許調(diào)查持續(xù)的時(shí)間有多長？需要多少調(diào)查人員？雖然有些限制因素在樣本量的計(jì)算公式中還無法體現(xiàn)，但是在確定最終所需的樣本量時(shí)必須加以考慮。實(shí)踐中樣本量的確定是在多種約束條件下進(jìn)行的折衷過程。

由于大部分限制約束條件不便于量化，確定樣本量的計(jì)算公式時(shí)往往只在抽樣精度與調(diào)查費(fèi)用兩者之間權(quán)衡。采用兩種不同的方式來確定：一種是在總費(fèi)用一定的條件下使精度最高；另一種是在滿足一定精度要求的條件下使費(fèi)用最小。

目前四十四頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn) 給定絕對誤差限、相對誤差限和變異系數(shù)的允許上限的樣本量確定公式，即分別有：

二、估計(jì)總體均值（總值）的樣本確定目前四十五頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)由于總體方差和總體均值未知，因此在利用上述公式時(shí)，必須事先對它們做出估計(jì)。實(shí)際工作中，可以通過以往對同類問題調(diào)查積累的經(jīng)驗(yàn)來估計(jì)，也可以通過預(yù)調(diào)查來估計(jì)，或通過其他調(diào)查方法和定性分析方法獲得。對于復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)方法，由于確定樣本量的公式比較復(fù)雜，常常難于計(jì)算。在同樣精度要求的條件下，簡單隨機(jī)抽樣的樣本量相對容易獲得，這時(shí)可以利用（3.21）式先計(jì)算復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)效應(yīng)，然后再間接推算復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)方法所需要的樣本量，即有：

目前四十六頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)【例3.6】在例3.3中，如果要求以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月人均電信消費(fèi)支出的絕對允許誤差不超過5元，樣本量應(yīng)確定為多少？

解：依據(jù)所給條件：=15230，

=5，置信度95%對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的上側(cè)分位數(shù)為1.96，且=1358.41，據(jù)此可計(jì)算得：

=也就是說，至少應(yīng)抽取一個(gè)樣本量為206的簡單隨機(jī)樣本，才能滿足95%置信度條件下絕對誤差不超過5元的精度要求。目前四十七頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)根據(jù)樣本比例的方差公式可以推得：

其中同樣可求得給定絕對誤差限、相對誤差限和變異系數(shù)的允許上限的樣本量確定公式，即分別有：在無限總體或放回抽樣情形下，即為所確定的樣本量。

三、估計(jì)總體比例的樣本量確定目前四十八頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)【例3.7】

在例3.5中，如果要求以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)支出超出80元的人數(shù)比例的相對允許誤差不超過10%，樣本量至少應(yīng)為多少？解：根據(jù)例3.5所給的資料和計(jì)算的結(jié)果可知：=15230，=36，7，=1.96。，由此可計(jì)算得：計(jì)算結(jié)果說明，至少應(yīng)抽取一個(gè)樣本量為1442的簡單隨機(jī)樣本，才能滿足95%置信度條件下相對允許誤差不超過10%的精度要求。目前四十九頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)四、逆抽樣法現(xiàn)實(shí)中有這樣一種情況，即總體中具有所考慮屬性的單位數(shù)很少，也就是說值很小。對于此類稀有事件的比例估計(jì)問題，利用前面給出的公式確定樣本量有困難。霍丹（Haldane）1945年提出一種稱為逆抽樣的方法，專門用于此類小比例的抽樣。目前五十頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)第五節(jié)

子總體估計(jì)目前五十一頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)一、問題的提出

我們把總體中具有某種共同屬性特征的單位的集合稱為子總體。

對子總體的處理有多種方法：若每個(gè)子總體在編制抽樣框時(shí)就可以區(qū)分開，可以采用分層抽樣方法進(jìn)行估計(jì)；若事先不能將各個(gè)子總體區(qū)分開來，但是事先可以知道各個(gè)子總體的單位數(shù)，則可采用事后分層的方法進(jìn)行估計(jì)；還有一種情況是，既不能事先將各個(gè)子總體區(qū)分開來，又無法事先知道各個(gè)子總體的單位數(shù)。本節(jié)的討論僅限于后一類子總體的估計(jì)。目前五十二頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)

二、子總體均值的估計(jì)樣本均值是子總體均值的無偏估計(jì)量目前五十三頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)式中為第個(gè)子總體的抽樣比，子總體的方差未知，可用其樣本方差

其方差為

來估計(jì)。至此我們的問題并沒有解決，因?yàn)槲粗砸彩俏粗摹?/p>

目前五十四頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)我們可以將單位是否屬于第個(gè)子總體看作是總體單位的一個(gè)屬性特征，那么就是總體的比例，而就是其樣本的比例，是的無偏估計(jì)，因此有因?yàn)楹投际枪潭ǖ模?/p>

因此可用來估計(jì)

據(jù)此我們可得到的無偏估計(jì)量為目前五十五頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)上一小節(jié)解決了子總體均值的估計(jì)問題，但是由于未知，子總體總值的估計(jì)問題依然沒有得到解決。

定義記它們可以分別用，進(jìn)行估計(jì)。三、子總體總值的估計(jì)目前五十六頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)于是有

目前五十七頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)總體總值（也就是子總體總值）的一個(gè)簡單無偏估計(jì)為

它的方差為

目前五十八頁\總數(shù)六十五頁\編于十七點(diǎn)而樣本方差

因此的一個(gè)無偏估計(jì)為