新課標人教B版數(shù)學必修(二)教案

新課標人教版數(shù)學B-必修(2)

1.1.1構成空曲兒佝體的基本?素

教學目標：理解多面體、棱柱的基本概念

教學重點：理解多面體、棱柱的基本概念.

教學過程：

1、基本概念：

a)幾何體

b)長方體、

長方體的面、

長方體的棱、

長方體的頂點、

長方體的記法.

2、平面的初步概念

3、點動成線、線動成面

4、柱面

5、錐面

6、幾何體的概念

課堂練習：教材第5頁練習A、B

小結：了解構成空間幾何體的基本元素，培養(yǎng)空間想象能力

課后作業(yè)：略

1.1.2棱住、棱維加棱幺的襦構絹猊(—)

教學目標：理解多面體、棱柱的基本概念

教學重點：理解多面體、棱柱的基本概念.

教學過程：

7、多面體：

a)多面體是由若干個平面多邊形所圍成的幾何體.

b)多面體的面

c)多面體的棱

d)多面體的頂點

e)多面體的對角線

f)凸多面體

g)多面體可按面數(shù)命名

h)正多面體

i)多面體的截面

2、棱柱:

出示棱柱體模型，引導學生觀察到這些模型都是由面（平面的一部分）圍成的；面與面

有交線。因此從“面”和“線”兩個角度去考慮：首先看面：有兩個面互相平行，其余各面

都是四邊形.再看線：每相鄰除兩個平行面外，其余的每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平

行.

（1）定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱住.

（2）有關于元素①底面②側面③側棱④頂點⑤對角線⑥高⑦對角面

學生回答后，總結：⑴中可以找出兩個面平行，但其余各四邊形公共邊中有不平行的。

“有兩個面平行”的條件不足以確定幾何體是棱柱。⑵找出兩個平行的面以后，如果其它條

件不能成立，不要急于下結論，再選另外一對平行面，按定義再次判斷它是否是棱柱。

（3）分類：

1、按側棱與底面垂直關系分類：斜棱柱、直棱柱（其中底面是正多邊形的叫正棱柱）

2、按底面多邊形的邊數(shù)分類：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

（4）棱柱的表示法：用各頂點字母，如五棱柱ABCDE—A，B，C'D，E，

或用對角線的端點字母，如五棱柱A'D

（5）、棱柱的一般性質

⑴側棱都相等，側面都是平行四邊形；

⑵兩個底面與平行底面的截面是全等的多邊形；

⑶對角面是平行四邊形。

3、四棱柱:

一------’>平行方面體

底面是平行四邊形

側核

則梭與

孑底If

垂克戰(zhàn)而垂直

直平行六面體

底面是平行四邊形

面

底底面是矩形

正

為

形

方長方體

底面是正方形

正四梭柱

解面也是正方選

正方體

課堂練習：教材第8頁練習A、B

小結：本節(jié)課學習了多面體和棱柱的概念以及棱柱的性質和分類

課后作業(yè)：第34頁習題3

1.1.2棱佳、棱維心棱幺的德構勺寺猊(二)

教學目標：理解棱錐、棱臺的基本概念

教學重點：理解棱錐、棱臺的基本概念

教學過程：

1.“一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形”是棱錐的本質特征.

正棱錐是一種特殊棱錐.正棱錐除具有棱錐的所有特征外，還具有：①底面為正多邊

形；②頂點在過底面正多邊形的中心的鉛垂線上.

“截頭棱錐”是棱臺的主要特征，因此，關于棱臺的問題，常常將其恢復成相應的棱

錐來研究.

2.正棱錐的性質很多，但要特別注意：

(1)平行于底面截面的性質

如果一個棱錐被平行于底面的一個平面所截，那么：

①棱錐的側棱和高被這個平面分成比例線段.

②所得的截面和度面是對應邊互相平行的相似三角形.

③截面面積和底面面積的比，等于從頂點到截面和從頂點到底面的距離平方的比.

(2)有關正棱錐的計算問題，要抓住四個直角三角形和兩個角:

正棱錐的高、側棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面邊長的一半可組

成四個直角三角形.

四個直角三角形是解決棱錐計算問題的基本依據(jù)，必須牢固掌握.

3.棱臺的性質都由截頭棱錐這個特征推出的，掌握它的性質，就得從這個特征入手

同棱錐一樣，棱臺也有很多重要性質，但要強調兩點：

(1)平行于底面的截面的性質：

設棱臺上底面面積為，，下底面面積為平行于底面的截面將棱臺的高分成距上、

下兩底的比為m:n,則截面面積S滿足下列關系：

m盾+n回

歷

m+n

當m=n時，則、:=回;宿(中截面面積公式),

(2)有關正棱臺的計算問題，應抓住三個直角梯形、兩個直角三角形：

正棱臺的兩底面中心的連線、相應的邊心距、相應的外接圓半徑，側棱，斜高，兩底

面邊長的一半，組成三個直角梯形和兩個直角三角形(上、下底面內(nèi)各一個直角三角形).

正棱臺中的所有計算問題的基本依據(jù)就是這三個直角梯形、兩個直角三角形和兩個重

要的角，必須牢固掌握.

4.棱錐、棱臺的側面展開圖的面積，即側面積，是確定其側面積公式的依據(jù).

(1)正棱錐的側面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其側面積公式：

=1c-h'

w2

(2)正棱臺的側面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其側面積公式：

SB=1(C，+C)h，

棱錐的全面積等于：S全=5W+S底

棱臺的全面積等于：S至=5WJ+S上底+S下底

（3）棱柱、棱錐和棱臺的側面公式的內(nèi)在聯(lián)系必須明確，它有利認識這三個幾何體的本

質，也有利于區(qū)分這三個幾何體，在正棱臺側面積公式中：

當c'=c時，sRttM=Ch

當C'=0時，=1Ch

可以聯(lián)想：棱柱、棱錐都是棱臺的特例.

6.關于截面問題

關于棱錐、棱臺的截面，與棱柱截面問題要求一樣，只要求會解對角面、平行于底面

的截面（含中截面）、以及已給出圖形的截面，或已給出全部頂點的截面，但對于基礎較好，

能力較強的同學，也可以解一些其他截面，比如：平行于一條棱的截面，與一條棱垂直的截

面，與一個面成定角的截面，與一個面平行的截面等.

作截面就是作兩平面的交線，兩平面的交線就是這兩個平面的兩個公共點的連線，或

由線面平行、垂直有關性質確定其交線，這是畫交線，即作截面的基本思路.

課堂練習：教材第11頁練習A、B

小結：本節(jié)課學習了棱錐、棱臺的基本概念

課后作業(yè)：第34頁習題1-1A:2、5

1.1.3?-、?維、?>■，（一）

教學目標：1、圓柱、圓錐、圓臺概念，

2、掌握圓柱、圓錐、圓臺的性質

教學重點：掌握圓柱、圓錐、圓臺的性質

教學過程：

一、基本概念

（播放陶藝的主要制作過程.）

（抓取實物照片），

思考：這個幾何體的外部曲面是如何形成的？幾何體是如何形成的？

旋轉面可看作一條曲線繞一條定直線旋轉一周所形成的軌跡，這條定直線叫做旋轉軸,

簡稱軸.這條曲線叫做旋轉面的母線.封閉的旋轉面所圍成的幾何體叫做旋轉體.旋轉體也可

以看作是由一封閉的平面圖形包括其內(nèi)部繞一條定直線旋轉一周所形成的軌跡.

請學生思考：圓柱、圓錐、圓臺可由什么平面圖形如何運動而成？

定義1:（線動成面，面圍成體）

圓柱、圓錐、圓臺可以分別看作以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中

垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉一周形成的

曲面所圍成的幾何體.

旋轉軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊的長度叫做這個幾何體的高；垂直

于軸的邊旋轉而成的圓面叫做這個幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做這個

幾何體的側面；無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做側面的母線.

定義2：（面動成體）

以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸將矩形及其內(nèi)部旋轉一周所形成的軌跡叫做圓柱；以

直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸將直角三角形及其內(nèi)部旋轉一周所形成的軌跡

叫做圓錐；以直角梯形的一直角邊所在的直線為旋轉軸將直角梯形及其內(nèi)部旋轉一周所形成

的軌跡叫做圓臺.

圓柱、圓錐、圓臺之間有何關系？（教師演示，學生觀察總結）

①平行于底面截圓錐可以得到圓臺；

用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺.

②圓臺的上底變大可以得到圓柱；

③圓臺的上底變小可以得到圓錐.

讓學生舉出一些圓柱、圓錐、圓臺的實例，以及其他旋轉體的實例.

讓學生思考：如圖，一個半圓面繞其直徑所在直線旋轉一周所形成的幾何體是什么？

一個圓面繞一條直線旋轉一周形成的幾何體是什么？

S

定義0\___4aa

K

1

0A0-----"

0A.

有關軸直線0'0直線s。直線

線母線SAA'A

有關底面圓圓圓

三、鞏固練習

1.下列命題中的真命題是（）

（A）以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐；

（B）以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺；

（C）圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；

（D）圓錐側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑.

2.判斷下列命題是否正確？

①平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形；

②平行于圓臺某一母線的截面是等腰梯形；

③過圓錐頂點的截面是等腰三角形：

④過圓臺上底面中心的截面是等腰梯形.

3.長為4,寬為3的矩形繞其一邊所在直線旋轉一周所得圓柱的側面積為.

4.若圓錐的側面展開圖是一個半圓面，則圓錐的母線與軸的夾角的大小為.

5.（Pi3例1）用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上下底面半徑的比是1：4,

截去的圓錐的母線長是3cm,球圓臺的母線長.

解：設圓臺的母線為/,截得的圓錐底面與原圓錐底面半徑分別是r,4r,根據(jù)相似三

角形的性質得

3r

—,解得/=9.

3+/4r

所以，圓臺的母線長為9cm.

小結：

a）圓柱、圓錐、圓臺可以分別看作以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形

中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉

一周形成的曲面所圍成的幾何體

b）以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸將矩形及其內(nèi)部旋轉一周所形成的軌跡叫做圓

柱；以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸將直角三角形及其內(nèi)部旋轉一周

所形成的軌跡叫做圓錐；以直角梯形的一直角邊所在的直線為旋轉軸將直角梯形及

其內(nèi)部旋轉一周所形成的軌跡叫做圓臺.

c）圓柱、圓錐、圓臺的性質

課后作業(yè)：略

1.1.3閱住、⑤維、⑤幺彩辣（二）

教學目標：1、理解球面、球體和組合體的基本概念,

2、掌握球的截面的性質,

3、掌握球面距離的概念.

教學重點：球的截面的性質及應用，會求球面上兩點之間的距離

教學過程：

復習引入

1、圓柱、

2、通過籃球、排球、足球等等球體的形象引出課題.

新授

1、球的概念：球也可以由一個平面圖形旋轉得到。半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的

曲面叫球面。球面所圍成的幾何體叫球體，簡稱球。指出球心、半徑、直徑。值得注意的是:

1）球面與球體是兩個不同的概念，我們要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系。

2）球面的概念可以用集合的觀點來描述。球面是

由點組成的，球面上的點有什么共同的特點呢？與定點

的距離等于定長的所有點的集合（軌跡）叫球面。如果

點到球心的距離小于球的半徑，這樣的點在球的內(nèi)部.

否則在外部.

3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，

球0.

2、球的截面的性質：用一個平面去截球，得到一個截面，截面是圓面，把過球心的截面圓

叫大圓，不過球心的截面圓叫小圓.

球的截面有什么性質呢？連接球心與截面圓

心，連線與截面圓U會有什么關系呢？

1)球心與截面圓心的連線垂直于截面。

2)設球心到截面的距離為d,截面圓的半徑為r,

球的半徑為R,貝U：r=J/?2

3、練習一:

判斷正誤：（對的打J,錯的打X）

(1)半圓以其直徑為軸旋轉所成的曲面叫球。（)

(2)到定點的距離等于定長的所有點的集合叫球。（)

(3)球的小圓的圓心與球心的連線垂直于這個小圓所在平面。（）

(4)經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個大圓。（）

(5)球的半徑是5,截面圓的半徑為3,則球心到截面圓所在平面的距離為4。（）

4、關于地球的幾個概念：地球可以近似的看作一個球體，為了描述地球上某地的地理位置,

我們在地球上規(guī)定了經(jīng)線、緯線、南極、北極等概念。

5、球面距離：假如我們要坐飛機從北京到巴西去，選擇怎樣的航線航程最短呢？我們把球

面上過兩點的大圓，在這兩點之間的劣弧的長叫球面上兩點間的球面距離。因此，飛機、輪

船都盡可能以大圓弧為航線航行。

6、例1我國首都北京靠近北緯40度。（1）求北緯40°緯線圈的半徑約為多少千米。（2）

求北緯40度緯線的長度約為多少千米（地球半徑約為6370千米）。

8、練習二：一I—

1）填空

（1）設球的半徑為R,則過球面上任意兩點的截面圓中，最「、、、

大面積是________。B（_____

（2）過球的半徑的中點，作一個垂直于這條半徑的截面，則V

這截面圓的半徑是球半徑的o\

（3）在半徑為R的球面上有A、B兩點，半徑0A、0B的夾角

是n°（n<180=,求A、B兩點的球面距離。

2）地面上，地球球心角1'所對的大圓弧長約為1海里，一海里約是多少千米？

3）思考題：地球半徑為R,A、B是北緯45°緯線圈上兩點，它們的經(jīng)度差是90°,求A、

B兩地的球面距離。

9、組合體

請舉出一些由柱、錐、臺組合而成的幾何體的實例

課堂練習：教材第16頁練習A、B

小結：

a）半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球

體.

b）以過球心的平面截球面，截面圓叫大圓。以不經(jīng)過球心的平面截球面，截面圓叫小

圓.

c）球心和截面圓心的連線垂直于截面，由勾股定理，有：r=^R2-d2.

d）把地球看作一個球時，經(jīng)線就是球面上從北極到南極的半個大圓。赤道是一個大圓，

其余的緯線都是小圓.

球面距離是球面上過兩點的大圓在這兩點之間的劣弧的長度.

課后作業(yè)：略

1.1.4挺豹右右組困

教學目標：1、了解表示空間圖形的投影方法原理

2、掌握斜二測畫法

3、了解中心投影方法

教學重點：掌握斜二測畫法

教學過程：

一、投影法

物體在光線的照射下，就會在地面或墻壁上產(chǎn)生影子。人們將這種自然現(xiàn)象加以科學的

抽象，總結其中的規(guī)律，提出了投影的方法。如圖1—1所示，以不在投影面上的定點S為

投影中心，由S射出投影線，該投影線通過空間點A與投影面P相交于點a,點a就是空間

點A在投影面P上的投影。同理，點b則是空間點B在投影面P上的投影。這種使物體在投

影面上產(chǎn)生圖像的方法叫投影法。工程上常用各種投影法來繪制用途不同的工程圖樣。

二、投影法分類

1.中心投影法

投影線均通過投影中心的投影法稱為中心投影法（圖1—2）。其投影的大小隨物體與投

影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實形。

2.平行投影法

投影線相互平行的投影法稱為平行投影法（圖1一3）。其中，投影線傾斜于投影面叫平

行斜投影法（圖1—3（a））；投影線垂直于投影面叫平行正投影法簡稱正投影法（圖1—3（b））。

（。）平行斜投影（b）平行正投影

圖1一3平行投影法

應用正投影法，能在投影面上反映物體某些面的真實形狀及大小，且與物體到投影面的距離

無關，因而作圖方便，故在工程中得到廣泛的應用。工程圖樣就是用正投影法繪制的。

三、平行投影的基本特性

平行投影的基本特性，是指空間幾何要素一一點、線、面經(jīng)過平行投影后的特性。

1.點的投影仍為點

如圖1—4所示，空間A點的投影為點a。

2.直線的投影一般仍為直線

如圖1—5所示，AB直線的投影為直線ab。

3.一點在某直線上，則點的投影一定在該直線的投影上

如圖1—6所示，點M在直線AB上，那么點M的投影m也一定在直線AB的投影ab上。

4.直線上兩線段之比，等于其投影之比

從圖1—6中可以看出，點M分直線AB為AM和MB,而其投影為am和mb,則AM:MB=am：

mb。因位于同一平面的兩直線(AB及ab)被若干平行直線所截，則被截各段成比例。

5.兩直線平行，其投影亦平行

如圖1—7所示，設AB〃CD,則ab〃cd。因AB與CD平行，AB、CD與投影線所構成的

圖1-6點在直線上的投影圖1一7平行兩直線的投影

6.兩平行線段之比，等于其投影之比

如圖1一7所示，當線段AB/7CD,則AABM相似于ACDN,又AM=ab,CN=cd,所以

AB:CD=AM:CN=ab:cd?

7.直線、平面圖形投影的三種特性

(1)積聚性一一當直線或平面圖形與投影線平行時，則它們的投影有積聚性。如圖1一8

所示，直線AB和ACDE皆平行于S,所以AB的投影積聚為一點；而ACDE積聚成一條直線

cde。

(2)實形性一一當直線或平面圖形平行于投影面時，則其投影反映實形。如圖1—9中，

直線AB與平面ACDE均平行于投影面II,則它們的投影ab=AB反映線段實長；Acde=ACDE

反映平面的實形。

(3)類似性一一直線或平面圖形傾斜于投影面時，直線的投影變短了；而平面圖形變成

小于原圖形的類似形，如圖1-10所示。

S

圖1-8平行投影的積聚性圖1一9平行投影的實形性

四、常用的投影圖概述

1、軸測投影圖

圖1-11軸測投影圖

用平行正投影法或斜投影法將空間幾何形體及確定其空間位置和形狀的直角坐標系，共

同投影在單一投影面上所得的圖形稱為軸測投影圖，簡稱軸測圖。如圖1—11所示，空間一

立方體連同其直角坐標ox、OY、0Z一同向平面P投影，得到軸測投影軸OX、0M、0%及

立方體的軸測圖

軸測投影的種類很多，常用的是斜二軸測投影和正等軸測投影

2、透視投影圖

透視投影圖采用中心投影法，它與照相成影的原理相似，投影圖接近于視覺映象。所以

透視投影圖富有逼真感，直觀性強。按照特定規(guī)則畫出的透視投影圖，完全可以確定空間幾

何元素的幾何關系。圖1—13是某一幾何體的透視投影圖，但它不能直接反映物體真實的幾

何形狀和大小。由于采用中心投影法，所以空間平行的直線，投影后就不平行了。

透視投影圖雖然直觀性強，但由于作圖復雜且度量性較差，故在工程上只用于土建工程

及大型設備的輔助圖樣。隨著計算機繪圖技術的發(fā)展，用計算機繪制透視圖，可避免人工作

圖的繁雜性。由此，在某些場合如工藝美術及宣傳廣告圖樣中廣泛地采用透視圖，以取其直

觀性強的優(yōu)點。

圖1-13幾何體的透視圖

五、斜二測畫法見教材第18頁到19頁

課堂練習：教材第21頁練習A、B

小結：

平行投影的概念及基本性質，斜二測畫法.

課后作業(yè)：教材第34頁習題1-1A：5、6.

1.1.5三超⑥

教學目標：1、能畫出簡單幾何體的三視圖

2、能識別三視圖所表示的幾何體

教學重點：1、能畫出簡單幾何體的三視圖，能識別三視圖所表示的幾何體

教學過程：

1、多面正投影圖

用正投影法繪制的圖形稱為正投影圖。為了使物體的投影能反映其某一方向的真實形

狀，通?？偸鞘刮矬w的主要平面平行于投影面。但物體上垂直于投影面的平面，經(jīng)投影后將

積聚為直線段，所以僅憑物體的一個投影尚不能表達整個物體的完整形狀。為此，可設立多

個投影面，并將物體分別向各個投影面進行投影，從而得到一組正投影圖，以反映物體的完

整形狀。例如，在圖1—14(a)中，取三個互相垂直的投影面V、H、W,使它們形成一個互為

直角的三投影面體系。投影時先使物體的主要平面盡量平行于某個投影面，再將物體分別向

三個投影面進行投影，然后固定V面令H面和W面分別繞它們與V面的交線沿圖1—14(。)

中箭頭所示方向旋轉，直至與V面重合如圖l—14(b)所示。這樣，按照一定投影關系組合

在一起的三個投影就能表達整個物體的形狀。通常，為使圖樣清晰，投影面的邊界線并不畫

出，如圖l—14(c)所示。這樣的投影圖叫做視圖。其中將V面上的投影稱為主視圖；H面上

的投影稱為俯視圖；W面上的投影稱為左視圖。

2、三視圖的位置關系和投影規(guī)律

雖然在畫三視圖時取消了投影軸和投影間的連線，但三視圖間的投影規(guī)律和相對

位置關系仍應保持.三視圖的位置關系為：俯視圖在主視圖的下方、左視圖在主視圖的右方。

按照這種位置配置視圖時，國家標準規(guī)定一律不標注視圖的名稱。對應上圖還可以看出：

主視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；

左視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

由此可得出三視圖之間的投影規(guī)律為：

主、俯視圖---長對正；主、左視圖----高平齊；俯、左視圖----寬相等

3、球的三視圖

4、圓柱的三視圖

課堂練習：教材第25頁練習A、B

小結：

主、俯視圖一一長對正；主、左視圖一一高平齊；俯、左視圖一一寬相等

課后作業(yè)：教材第34頁習題1-1B：2.

1.1.6棱粒、楂儺、棱義彳。辣的表面公（一）

教學目標：了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算方法

教學重點：了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算方法

教學過程：

（-）

1、直棱柱的側面展開圖是一個矩形，一般的斜棱柱的側面展開圖并不是一個平行四邊

形。

2、S直棱柱例湎積=M，其中：c為底面周長，h為局

3、例子與練習：

（1）如圖，有一個長方體，它的三個面的對角線長分別是a,b,c,

求長方體的全面積.

（2）一個正四棱柱的對角線的長是9cm,全面積等于144cm2,求

這個棱柱底面一邊的長和側棱長.

(-)

1、正棱錐的側面展開圖是由若干個全等的等腰三角形組成的

2、S正棱錐1M面積=萬c”

3、例子與練習：

（1）側面都是直角三角形的正三棱錐，若底面邊長為“，則三棱錐的全面積是多

少？

（三）

1、正棱臺的側面展開圖是由若干個全等的等腰梯形組成的

2、S正棱臺1M面積=—（^|+。2）〃’

4、例子與練習：

（1）一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為。、b,高為小且側面面積等于兩底面面積

之和.則下列關系式中正確的是[].

“11^111^111^111

A.—=------B.—=—F—C.—=—D.—=—+—

ha+bhababhbah

（2）正四棱臺上下底邊長分別為a,b,側棱長為,（4+%）則此棱臺的側面積為.

2

（3）正四棱臺的斜高為12cm,側棱長為13cm,側面積為720cm求棱臺上、下底的

邊長

（4）、已知一正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm,且其側面積等于底面面積

的和，試求截得該棱臺的原棱錐的高.

課堂練習：教材第29頁練習A1。2。3、Bl?2,3

小結：

SJI棱柱側面積=ch

S正棱錐側面積=2

c

S正棱臺到面積=~（i+c2）h'

課后作業(yè)：略.

1.1.6棱核、棱雉、棱幺心辣的表面?。ǘ?/p>

教學目標：了解球表面積的計算方法

教學重點：了解球表面積的計算方法

教學過程：

（一）

1、球面不能展成一個平面圖形

2、S球=4/求2

3、例子與練習：

例1在球內(nèi)有相距1cm的兩個平行截面，截面面積分別是5"cm?和8mcm：球心不

在截面間，求球面積.

分析作出軸截面一列方程求球半徑一求球面積.

解軸截面如圖所示.

圓0是球的大圓，AiB2,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑，過0作OGLAB于G,交

A2B2于Cz,由于AB〃AB,所以由圓的性質可得,3和G分別是AB和AzB2的中

點.

設兩平行截面的半徑分別為口和口且以〉口，依題意兀X=5冗,

兀r；=8兀，

...r：=5,r；=8.

：OAi和OAz都是球的半徑R,

/.OCi=JR2一r；=VR2-8；

OC2=JR2_r：=J”-5.

JR2-5-JR2-8=1.

解這個方程得R'=9.

22

.*.S以=4JtRJ4n?3=36n(cm).

思考如果球心在截面之間，球面積是多少呢

例2口答下面問題，并說明理由.

(1)球的半徑擴大n倍，它的面積擴大多少倍？

(2)球的面積擴大n倍，它的半徑擴大多少倍？

(3)球大圓的面積擴大n倍，球面積擴大多少倍？

(4)球的面積擴大n倍，球的大圓面積擴大多少倍?

例3、已知：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.

求證：(1)球的表面積等于圓柱的側面積.

（2）球的表面積等于圓柱全面積g.

課堂練習：略

小結：

S球=4成2

課后作業(yè)：略.

1.1.7粒、雉、幺辣的體獨（一）

教學目標：了解柱、錐、臺的體積的計算方法

教學重點：了解柱、錐、臺的體積的計算方法

教學過程：

（-）祖唯原理：

祖眶（音g&ng）,一名祖地之，是祖沖之的兒子，他的活動時期大約在公元504—526

年.祖氏父子在數(shù)學和天文學上都有杰出的貢獻.

祖瞄的主要工作是修補編輯祖沖之的《綴術》.他推導球體積公式的方法非常巧妙.

根據(jù)中國算書《九章算術》中李淳風的注釋，下面我們使用現(xiàn)代的術語，并將原來的

圖形略加修改，把祖瞄當時推導球體積公式的方法介紹如下：

作一個幾何體片.底面0ABC是一個正方形，邊長為r（圖2T8）.高

OD=r,且OD1底面AC,DRC,我都是以。為圓心，以r為半徑的圓

的：，且平行于底面的任意平面與幾何體的截面都是正方形.在OD上

4

取一點S,過點S與底面平行的截面為SPQR,設它的邊長為a,OS為h,則截面面積

a2=r2-h2.

D

圖2-18

圖2-19

另取一個邊長為r的正方體V2（圖2-19）,髓0,I”，（TU,0,A，,錐體O'-A，

B'C'D'記作V3,L-V：,是正方體O'D'挖去錐體O'-A'B'CD'剩下的幾何體.下面

來證明

Vi=V2-V3.

設平行于底面與底面距離為h的平面，截V2的截面是正方形P'TS'M,面積等于d,

截V3的截面是正方形Q'TR'N,面積等于h"因為Q，T=0,T=h）,所以這兩個正方形的差

形成曲尺形P'Q'NR'S'M,它的面積等于產(chǎn)-廣

比較％與V2-V3在等高（h）處的截面，它們的面積都是d-h）因此體積相等，即3V2-%.

祖曬原理的原文是“幕勢既同，則積不容異“幕”是截面積，“勢”是幾何體的

高.意思是:兩個同高的幾何體,如果與底等距離的截面積總相等,那么幾何體的體積相等.這

就是現(xiàn)在說的：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，

如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

由此可知%=%“3

31323

=r—r=-r.

33

再來看以r為半徑的球，取它的!（第一卦限）（圖2-20）,設它的體

O

積為V,（是未知數(shù)）.和%比較，在高h處的截面積C"EF是以a為半

徑的圓的;，它的面積是手=;（”-h2）,而明在與底面距離為h的截

面面積是P-h?.根據(jù)《：%應該等于截面積的比，SPV4：-

h2）：（r2-h2）=^,于是&=￡%=；?|r3=V.整個球的體積=8

441436

林34

X==2^3.這是一個十分巧妙且簡明的證法.

63

圖2-20

祖隨提出的“事勢既同，則積不容異”，及“體積之比等于對應截面積之比”，在這里是當作

公理使用.提法“事勢既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”（Cavalierisches,

Prinzip）.卡瓦列利［米蘭Milan（現(xiàn)意大利城市）人］在他的名著《連續(xù)不可分幾何》中提出這

一原理，這本書出版于1635年.

（-）長方體的體積V=S/7

（三）利用祖晅原理可以說明：等底面積等高的長方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為:

V=Sh

（四）利用祖眶原理可以說明：等底面積等高的錐體的體積均相等

（五）三棱住可以分割成三個體積相等的錐

故錐體的體積為丫=J5力

3

（六）利用兩個錐體做差可得臺體的體積公式V=g（S'+后+S）6

（七）例子：

（1）長方體的三個面的面積分別為2、6和9,則長方體的體積為［］

A.7B.8C.3我D.6后

(2)平行六面體ABCD-ABCD中，在從B點出發(fā)的三條棱上分別取其中點E、

F、G,則棱錐B-EFG的體積是平行六面體體積的[]

A.-B.――C.――D.--

8122448

(3)如果一個正四面體的體積為9dm，，則其表面積S的值為[]

A.18^3dtn2B.18dm2C.1273dm2D.12dm2

(4)如果一個正三棱錐的底面邊長為6,側棱長為那么這個三

棱錐的體積是[]

,9ccc27n9小

A.—?B.9C.--D.---

222

(5)設正三棱柱的外接圓柱體體積為V,,內(nèi)切切圓柱體積為V”則[]

A.V,：V2=：1B.V,：V2=2：1

C.V1:V2=4：1D.V|：V2=8：1

課堂練習：教材第33頁練習A1.2、B1.2.3

小結：

本節(jié)課應了解：祖暄原理以及柱錐臺的體積計算公式

課后作業(yè)：教材第34頁習題1TA：7、8.

1.1.7粒、維、會,。球的體力(二)

教學目標:了解球的體積的計算方法

教學重點:了解球的體積的計算方法

教學過程:

4°

(-)由上節(jié)祖胞原理所述知球的體積公式V=—就3

3

(二)例子

1、有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角，在容器內(nèi)放入一個半徑為R的球,

并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，這時容器中水的深度是[]

3

A.V15rB.2rC.-rD.、反

2、如果球的體積是V理，它的外切圓柱的體積是Vmt,外切等邊圓錐的體積是VM,那

么這三個幾何體體積之比是一

3、圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對稱軸旋轉一周生成的幾何體稱

22

為圓柱容球。在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的一，球的表面積也是圓柱全面積的一.

33

解：設圓的半徑為R,球的體積與圓柱的體積分別為V球及V柱，球的表面積與圓柱的

全面積分別為S以及SK,則有

匕=24成,3=2士%

=2成?2K+2.TTR2

S柱二側面積+上下底面積

=6汽爐

o

=4成'=2S后

w3在

注：這個發(fā)現(xiàn)是阿基米德在他的許許多多的科學發(fā)現(xiàn)當中最為得意的一個

課堂練習：教材第33頁練習A3

小結：

本節(jié)課應了解：球的體積計算公式

課后作業(yè)：教材第34頁習題1TA：11.

1.2.1淬面的基本修質笈施施(一)

教學目標：理解公理1、2、3的內(nèi)容及應用

教學重點：理解公理1、2、3的內(nèi)容及應用

教學過程：

(-)公理一:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在

這個平面內(nèi)

1、直線與平面的位置關系

2、符號:點A在直線上，記作A&a,

點A在平面a內(nèi)，記作Aea,

直線a在平面a內(nèi)，記作aua

(-)公理二：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些

公共點的集合是一條過這個公共點的直線.

今后所說的兩個平面(或兩條直線)，如無特殊說明，均指不同的平面(直線).

兩個平面有且只有一條公共直線,稱這兩個平面相交,公共直線稱為兩個平面的交線，

記作ac0=1.

(三)公理三:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.

(四)問題：

(1)如果一條線段在平面內(nèi)，那么這條線段所在直線是否在這個平面內(nèi)？

(2)一條直線經(jīng)過平面內(nèi)一點和平面外一點，它和這個平面有幾個公共點?為什么？

(3)有沒有過空間一點的平面?這樣的平面有多少個？

(4)有沒有過空間兩點的平面?這樣的平面有多少個？

(5)有沒有過一條直線上三點的平面?這樣的平面有多少個？

(6)有沒有過不在同一條直線上三點的平面?這樣的平面有多少個？

(五)給出幾個正方體作出截面圖形

課堂練習：教材第40頁練習A、B

小結：

本節(jié)課應了解：1.理解公理一、三,并能運用它解決點、線共面問題.

2.理解公理二，并能運用它找出兩個平面的交線及“三線共點”和“三點共

線”問題.

3.初步掌握“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”三種語言之間的轉

化.

課后作業(yè)：略

1.2.1淬面的基本修質笈循卷（二）

教學目標：理解推論1、2、3的內(nèi)容及應用

教學重點：理解推論1、2、3的內(nèi)容及應用

教學過程：

（-）推論1：直線及其外一點確定一個平面

（-）推論2：兩相交直線確定一個平面

（三）推論3：兩平行直線確定一個平面

（四）例1已知：空間四點4、3、C、。不在同一平面內(nèi).

求證：A6和CO既不平行也不相交.

證明：假設A8和CD平行或相交，則A8和CD可確定一個平面a,則ABua,

CDa,故Aea,Bea,Cea,。ea.這與已知條件矛盾.所以假設不成立，即AB

和CO既不平行也不相交.

卡片:1、反證法的基本步驟：假設、歸謬、結論；

2、歸謬的方式：與已知條件矛盾、與定理或公理矛盾、自相矛盾.

例2已知：平面ac平面/3=a,邛面ac平面y=6,yc平面，=c且a、b、c

不重合.

求證：a、b、c交于一點或兩兩平行.

證明：（1）若三直線中有兩條相交，不妨設。、匕交于A.

因為，au0,故A€尸，

同理，Ae/,

故Awc.

所以a、b、c交于一點.

（2）若三條直線沒有兩條相交的情況，則這三條直線兩兩平行.

綜上所述，命題得證.

例3已知A4BC在平面a外，它的三邊所在的直線分別交平面

。于P、。、R.

求證：P、。、R三點共線.

證明：設AA6C所在的平面為夕，則尸、Q、R為平面a與平

面夕的公共點，

所以「、。、H三點共線.

卡片：在立體幾何中證明點共線，線共點等問題時經(jīng)常要用到公理2.

例4正方體ABCD-A}B,C,D,中,EF、G、H、K、L分別是

DC、DDpA|￡）|、A|B］、BB1、8C的中點.

求證：這六點共面.

證明：連結8。和KF,

因為E、L是C。、的中點，

所以EL//BD.

又矩形80。冏中Kb〃BD,

所以KF//EL,

所以KF、EL可確定平面a,

所以E、F、K、L共

面a,

同理EH//KL,

故E、H、K、乙共面夕.

又平面a與平面￡都經(jīng)過不共線的三點E、K、L,

故平面a與平面，重合，所以E、尸、G、H、K、乙共面于平面a.

同理可證Gea,

所以，E、F、G、H、K、L六點共面.

卡片：證明共面問題常有如下兩個方法：

(1)接法：先確定一個平面，再證明其余元素均在這個平面上；

(2)間接法：先證明這些元素分別在幾個平面上，再證明這些平面重合.

課堂練習：

1.判斷下列命題是否正確

(1)如果一條直線與兩條直線都相交，那么這三條直線確定一個平面.()

(2)經(jīng)過一點的兩條直線確定一個平面.()

(3)經(jīng)過一點的三條直線確定一個平面.()

(4)平面a和平面僅交于不共線的三點A、B、C.()

(5)矩形是平面圖形.()

2.空間中的四點，無三點共線是四點共面的一條件.

3.空間四個平面兩兩相交，其交線條數(shù)為.

4.空間四個平面把空間最多分為部分.

5.空間五個點最多可確定一個平面.

6.命題“平面a、尸相交于經(jīng)過點"的直線a"可用符號語言表述為.

7.梯形ABC。中工B〃C￡)，直線AB、BC、CD、DA分別與平面夕交于點E、G、尸、H.

那么一定有G_直線直線EF.

8.求證：三條兩兩相交且不共點的直線必共面.

小結：

本節(jié)課學習了平面的基本性質的推論及其應用

課后作業(yè)：略

1.2.2空向中的平竹關*(1)

教學目標：1、理解公理4

2、掌握等角定理及其應用

教學重點：1、理解公理4

2、掌握等角定理

教學過程：

(-)復習平面幾何中有關平行線的傳遞性的結論

(-)公理4：平行于同一直線的兩條直線平行(應指出：此“公理”并不是真正

的公理，可以證明，但不一定給學生證明)

(三)異面直線的概念：不同在任一平面內(nèi)的兩條直線

(四)異面直線的判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直

線是異面直線(注：第(三)、(四)兩條課標均未設計，但應重視)

(五)等角定理：見教材

(六)空間兩直線成的角：過空間一點作兩直線的平行線。得到兩條相交直線，這

兩條相交直線成的直角或銳角叫做兩直線成的角.

(七)例子與練習

(1)在立方體ABC。-中過點4能作_條直線，與直線AC、BG都

成50。角.

(2)空間三條直線a、b、c,下面給出三個命題：?aVb,/>_1_。則。〃(;；②

若八b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c是異面直線；③若a、b共面，

b、c共面，則a、c共面；上述命題正確的個數(shù)是—.

(3)過空間一點能否作直線與兩給定異面直線都相交？過一點能否作一平面

與兩給定的異面直線都相交？

(4)空間四邊形ABCO中，M、N分別是A3、CO的中點;求證：①MN與BC

異面；@AC+BD>2MN.

(5)下列命題：

①垂直于同一直線的兩條直線平行；

②平行于同一直線的兩條直線平行.

其中正確的是.

(6)已知匕是異面直線，直線c平行于直線。，那么c與。().

A.一定是異面直線

B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線

D.不可能是相交直線

課堂練習：(略)

小結：本節(jié)課學習了公理4