中考數(shù)學(xué)專題《三角形壓軸題之平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題》原卷

專題20三角形壓軸題之平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題知識(shí)對(duì)接考點(diǎn)一、平移變換1.平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。c(diǎn)補(bǔ)充：（1）平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過(guò)平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過(guò)平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．要點(diǎn)補(bǔ)充：（1）要注意正確找出“對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)角”，從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征；（2）“對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等”，這個(gè)基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點(diǎn)二、軸對(duì)稱變換1．軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也叫做這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

軸對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

2．軸對(duì)稱變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

3．軸對(duì)稱作圖步驟

①找出已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，并延長(zhǎng)至2倍，得到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)即得所作圖形.

４．翻折變換：圖形翻折問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱問(wèn)題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱軸，互相重合的兩點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)）連線必被折痕垂直平分.要點(diǎn)補(bǔ)充：翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，兩圖形全等，折疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.考點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)變換

1．旋轉(zhuǎn)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

２．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變化.

３．旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn).

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)補(bǔ)充：圖形變換與圖案設(shè)計(jì)的基本步驟①確定圖案的設(shè)計(jì)主題及要求；

②分析設(shè)計(jì)圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱對(duì)基本圖案進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機(jī)組合；

④對(duì)圖案進(jìn)行修飾，完成圖案.2．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱之間的聯(lián)系

一個(gè)圖形沿兩條平行直線翻折（軸對(duì)稱）兩次相當(dāng)于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍.專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2021·陜西九年級(jí)二模）如圖，將△ABC先向上平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△A′B′C′，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′的距離是（）A． B． C．27 D．252．（2021·江蘇南京市·九年級(jí)三模）如圖，平面內(nèi)某正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為10寬為5的矩形，它可以在該正方形的內(nèi)部及邊界通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，則該正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)為（）A．10 B．11 C．12 D．133．（2021·黑龍江九年級(jí)二模）如圖，ABCD是一張矩形紙片，點(diǎn)E是AD邊上的一點(diǎn)，將紙片沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)F處，若AB＝10，AD＝8，則DE的長(zhǎng)為（）

A．6 B．5 C．4 D．34．（2021·江蘇九年級(jí)）如圖，在中，，沿圖中虛線翻折，使得點(diǎn)B落在上的點(diǎn)D處，則等于（）A．160° B．150° C．140° D．110°5．（2021·山東九年級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別在軸、軸上，．先將線段沿軸翻折得到線段，再將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．（2021·河南焦作·）如圖，等邊的頂點(diǎn)，；規(guī)定把“先沿軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2021次變換后，等邊的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A． B． C． D．7．（2021·重慶市合川區(qū)土場(chǎng)中學(xué)九年級(jí)）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且，連接，把沿翻折，得到，與交于點(diǎn)，連接，則的面積為（）A． B． C． D．8．（2021·內(nèi)蒙古包頭·）如圖，在中，，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．9．（2021·南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)九年級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BC，交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段BE上一點(diǎn)，且tan∠ADF＝．①AE＝BE；②△BED∽△ABC；③；④AF＝．則下列結(jié)論正確的有（）A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④10．（2021·天津?yàn)I海新·）如圖，為的中線，將沿著翻折得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，與相交于點(diǎn)F，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．二、填空題11．（2021·浙江杭州·翠苑中學(xué)九年級(jí)）正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交正方形一邊于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________．12．（2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中點(diǎn)，P是直線BC上一點(diǎn)，把△BDP沿PD所在的直線翻折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)Q處，若直線QD與BC垂直，則PB的長(zhǎng)為_(kāi)__．13．（2021·重慶字水中學(xué)九年級(jí)）如圖，矩形ABCD的邊，，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE，將沿AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF，則線段FC的長(zhǎng)為_(kāi)___________．14．（2021·安慶市第四中學(xué)九年級(jí)二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使得點(diǎn)C落在斜邊上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上）．（1）若四邊形CEDF為正方形，則EF＝________．（2）若△CEF與△ABC相似，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．15．（2021·九龍坡·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)）在△ABC中，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，連接CD，把△BCD沿著CD翻折，得到△B'CD，AC與B'D交于點(diǎn)E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，則點(diǎn)A到BC的距離為_(kāi)____．三、解答題16．（2021·安徽九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和，請(qǐng)按下列要求畫圖并填空．（1）沿水平方向移動(dòng)線段，使點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，畫出平移后所得的線段，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將線段繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段重合（點(diǎn)與點(diǎn)C重合，點(diǎn)與點(diǎn)D重合），請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，找出旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P．（保留作圖痕跡，不寫作法）17．（2021·廣西九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng)．活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結(jié)AE，BD（如圖2），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．（思考）圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（發(fā)現(xiàn)）當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長(zhǎng)．活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度（0≤α≤90），連結(jié)OB，OE（如圖4）．（探究）當(dāng)EF平分∠AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．（2021·哈爾濱市蕭紅中學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．

（1）求直線的解析式；（2）點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，連接，將射線沿翻折，與過(guò)點(diǎn)B垂直于的直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，射線交射線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)坐標(biāo)．19．（2021·山東省諸城市樹(shù)一中學(xué)）如圖1，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，．

（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，將沿翻折得到．①求證：；②若，，求的長(zhǎng)度．20．（2021·江蘇九年級(jí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿B﹣A﹣D方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，將矩形沿PQ所在直線翻折，B′是翻折后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)t＝1時(shí)，PQ＝；（2）連接AC，若點(diǎn)B正好落在線段AC上，求t的值；（3）點(diǎn)B′能否落在AD所在直線上，若能，求出AB′的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（2021·長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校）如圖，在ABC中，AB=AC，BC=8，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，如果把BCD沿直線CD翻折，使得點(diǎn)B落在同一平面內(nèi)的處，連接，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______．22．（2021·全國(guó)）拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，交拋物線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接．若的面積是面積的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅲ）拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，連接，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）將沿所在直線翻折，得到，當(dāng)與重疊部分的面積是面積的時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．23．（2021·陜西西安市·）（1）如圖1，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D是直線上兩點(diǎn)，且，BC⊥AB，若AB＝2，B