中考數(shù)學(xué)必會(huì)幾何模型將軍飲馬模型

將軍飲馬?！皩④婏嬹R問(wèn)主要利用構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形解決求兩條線段和差角周長(zhǎng)四邊形周長(zhǎng)等一類(lèi)最值問(wèn)題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．模型：直線與兩定點(diǎn)模型

作法

結(jié)論A

Al

l＋的最小值為B當(dāng)兩定點(diǎn)A在直線l異時(shí)直l上一點(diǎn)P使＋PB最小．

B連接交線l于，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．l

l＋的最小值為'當(dāng)兩定點(diǎn)A在直線l同時(shí)直l上一點(diǎn)P使得PAPB最．

B'作點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接'交直線l于P，P即為所求作的點(diǎn)．Al當(dāng)兩定點(diǎn)A在直線l同時(shí)直

B

l

PAPB的大值為ABl上一點(diǎn)P使得PAPB最．AlB當(dāng)兩定點(diǎn)A在直線l異時(shí)直

連接并長(zhǎng)交直線l于P，點(diǎn)即所求作的點(diǎn)．AB'PB

l

PAPB的大值為AB'l上一點(diǎn)P使得PAPB最．

作點(diǎn)B關(guān)直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)'，連接'并延長(zhǎng)交直線l于P，點(diǎn)即所求作的點(diǎn)．1

ABl當(dāng)兩定點(diǎn)A在直線l同時(shí)直l上一點(diǎn)P使得PAPB最．

連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于，點(diǎn)P即所求作的點(diǎn)．

l

PAPB的小值為0模實(shí)例1：如圖，正方形ABCD的積是eq\o\ac(△,)ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD，在對(duì)角線上一點(diǎn)P，則PD最值是．A

EB解答：如圖所示，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)對(duì)，∴當(dāng)點(diǎn)P為BE與交點(diǎn)時(shí)＋最小，且線段BE的．∵正方形ABCD的積為，∴其邊長(zhǎng)3∵△ABE為等邊三角形，BE＝＝3．∴PDPE的小值為．例：如圖，已eq\o\ac(△,)ABC為腰直角三角形，＝BC，∠＝，P為CD上動(dòng)點(diǎn)，則PA的大值是多少？AAPC

BP解答：

B

A'2

如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)的稱(chēng)點(diǎn)A，接A，接并長(zhǎng)交于，則點(diǎn)P就是PB的值最大時(shí)的點(diǎn)，PA＝．∵△等腰直角三角形AC等4∴∠＝90°．∵∠＝，∴∠＝75°．∵點(diǎn)A、A關(guān)CD對(duì)，AA⊥CD＝CA，∵∠＝＝，∴∠BCA＝．∵CA＝AC＝4∴eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC是邊角形∴＝BC4∴PB的最大值為．練．如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，AC＝BC2∠ACB＝，D是BC邊中點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則EC＋最小值是．CD解：解：過(guò)點(diǎn)C作CO于O，長(zhǎng)到，連接于E，連接C此時(shí)DE+CE=DE+E

C

=D

C

的值最?。B接

C

，由對(duì)稱(chēng)性可知∠

C

∠，∠CB

C

=90°，∴

C

⊥BC∠

C

=B

C

，∴BC=B

C

=2，∵是BC邊中點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理可得：

C

=

5

，故EC+ED的最小值是

5

．．如圖，點(diǎn)的標(biāo)為（3，eq\o\ac(△,)周長(zhǎng)最短時(shí)，求的．y(0,3)

B解：解）A關(guān)x=3對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，接′B交線x=3與C．∵點(diǎn)A點(diǎn)關(guān)對(duì)，AC=A′C．AC+BC=A．當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，有小值，eq\o\ac(△,)ABC的周長(zhǎng)有最小值．∵點(diǎn)A點(diǎn)關(guān)對(duì)，∴點(diǎn)A的標(biāo)為（，33

設(shè)直線BA的解析式y(tǒng)=kx+b將點(diǎn)B和的標(biāo)代入得＝

3，b?．4∴

33x-．42將代函數(shù)的解析式，y的為

34．如圖，正方形ABCD中＝，M是DC上的一點(diǎn)，且DMNAC上一動(dòng)點(diǎn)，求DN－的小值與最大值．D

MC解：解：當(dāng)ND=NM時(shí)即N點(diǎn)的直平分線與AC的點(diǎn)，，因?yàn)镈N-，點(diǎn)N運(yùn)到點(diǎn)取等號(hào)，此|DN-MN|=DM=3所以DN-MN|最小值為，最大值為模型

作法A

結(jié)論P(yáng)'CPP

O

B

長(zhǎng)的最小值為″

P''點(diǎn)P在∠內(nèi)部OB上找點(diǎn)D分別作點(diǎn)P關(guān)、OBOA邊找使eq\o\ac(△,)周最小．的對(duì)點(diǎn)PPP，交OAOB于點(diǎn)、D，點(diǎn)C、即所求．AA

C

PD＋CD的小值為PC

B

D

B點(diǎn)P在∠內(nèi)部OB上找點(diǎn)DOA邊找，使得PD?。?/p>

P'作點(diǎn)P關(guān)于OB的稱(chēng)點(diǎn)P，P作PCOAOB4

點(diǎn)P、Q在AOB內(nèi)，在邊找點(diǎn)D邊上找點(diǎn)四形周長(zhǎng)最?。?/p>

于D即所求．分別作點(diǎn)、Q關(guān)于、OB的稱(chēng)點(diǎn)P、Q，接P，別交OA于C、，、即所求．

＋CD＋DQ的最小值為P，所以四邊形PQDC周長(zhǎng)的最小值為PQ＋Q模實(shí)如圖，，∠AOB有一定點(diǎn)，且=在上有一點(diǎn)，上一點(diǎn)R．eq\o\ac(△,)PQR長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是多少？PO解如圖，作點(diǎn)別關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、F，接EF，分別交OA、于點(diǎn)、，接OE、OF、PE、PFOP，F(xiàn)R．的長(zhǎng)的最小值為EF長(zhǎng).由對(duì)稱(chēng)性可得∠EOQ=∠POQ，∠∠，∠EOF=2∠．EOF是正三角形．EFOP．eq\o\ac(△,)周最小值為模型角定點(diǎn)

．已知，?MON40

，MON內(nèi)一定點(diǎn)，為上點(diǎn)，B上點(diǎn)，eq\o\ac(△,)PAB的周長(zhǎng)取最小時(shí)：5

找到、點(diǎn)，保留作圖痕跡；求此時(shí)于多少度.如果∠=，∠APB又于多少度？M

解答（）點(diǎn)P分關(guān)于、ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F，接EF分交OM、于點(diǎn)A、B．點(diǎn)AB即所求，此eq\o\ac(△,)PAB的長(zhǎng)最?。ǎ玻唿c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線OM對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F與P關(guān)于ON稱(chēng)，∴∠＝APE，∠F∠，CPD=180°-∠MON=140°．∴在EFP中∠E∠=180°-140°=40°，∴∠CPA+∠．∴∠APB=100°如果∠MON=θ，∴∠=180°-，E∠．又∵∠PAB=2∠∠PBA=2F∴∠PAB+=2∠+）=2∴∠APB=180°-θ．EMA

CP．如圖，四邊形中ABCD，BAD110

OD90°

DBF，在、上別找

N一點(diǎn)M、，周最小，并求此時(shí)+ANM的數(shù)．6

M．解答如圖，作點(diǎn)關(guān)的稱(chēng)點(diǎn)

，關(guān)于CD的稱(chēng)點(diǎn)A

，連接A

與BC、CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)N．eq\o\ac(△,時(shí))eq\o\ac(△,)AMN長(zhǎng)最?。摺希唷?/p>

+∠

=180°-110°=70°．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：∠A

=∠，∠

=∠A

AN，∴∠AMN+=2(∠A)=2×70°=140°．．如圖，在軸上找一點(diǎn)，y軸上找一點(diǎn)D使AD+BC最，并求直線CD的析式及點(diǎn)C、D的標(biāo)．ABx．解答作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B關(guān)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)BA軸、y于點(diǎn)、D，時(shí)ADCD最．由對(duì)稱(chēng)性可知A易求得直線A

的解析式為y，直線CD的解析式．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C坐為（2,0當(dāng)時(shí)y∴點(diǎn)D坐為（0,27

yA'

A

，3)D

B

OC

xB'．如圖，?MON20A、B占別為射線OM、上定點(diǎn)，且OA2，OB4，點(diǎn)、分為射線OM、上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)、Q運(yùn)時(shí)，線段+PQ+PB的最小值是多少？MAO

B

N．解答作點(diǎn)于ON的稱(chēng)點(diǎn)A關(guān)OM的稱(chēng)點(diǎn)BA、．于點(diǎn)P、Q，連接、OB則A

，此時(shí)AQ最．由對(duì)稱(chēng)可知，PB，

QOA，，MOB作A

于點(diǎn)D，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ODA∴ODA

∴B3∴AQPQPB的小值是3．8

121212211模兩定點(diǎn)定模型

作法

結(jié)論dl如圖，在直線l上、兩點(diǎn)

A

M

l

AMMN＋NB的小值為A"B＋d(M在)，使得AM＋NB最小，且MNd.

"將A向平移d個(gè)位到A，′關(guān)于l的稱(chēng)點(diǎn)"接"B與線l交點(diǎn)，將點(diǎn)向左平移個(gè)單位即為M，點(diǎn)MN即所求.

AM＋＋l

′

M

l

NB的小值為B＋l

l

.

如圖，l∥l，l、l間距離為d，將A向平移個(gè)位到連接B交在l、l分找、兩，使線l于N點(diǎn)N作MNl接AM.得MNl＋MN最．點(diǎn)M即所求．例：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如所示，點(diǎn)A在x軸半軸上，點(diǎn)C在y軸半軸上，且＝，OC＝4DOC中，點(diǎn)、在段上，點(diǎn)在點(diǎn)F左＝2.四邊形BDEF的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的標(biāo)．解：如圖，將點(diǎn)D向右平移2個(gè)位得到D，2)，作D關(guān)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，2)，連接BD"x軸點(diǎn)F，將點(diǎn)向平移單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E和F所求作的點(diǎn)，且四邊形周最小理由：∵四邊形的長(zhǎng)為BD＋EF，BD與EF是定.∴BF＋DE最時(shí)，四邊形BDEF周長(zhǎng)最小，∵BF＋EDBF＋FD＝BFFD"＝BD9

設(shè)直線BD"的解析式為y＝kx，把B，，D"(2，2)代入，3得k＋b＝，k＋＝－2解得＝，b＝，∴直線BD"解析式為＝－．2104令y＝0，得x＝，點(diǎn)坐為(，．∴點(diǎn)坐為(，．3練．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB頂點(diǎn)O坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、分別在軸、y軸的正半軸上，，，(0，D為中點(diǎn)．(1)若為的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，eq\o\ac(△,)的周長(zhǎng)最小值；(2)若E、F為上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且＝1當(dāng)四邊形的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)、F的坐標(biāo)．解答：(1)如圖，作點(diǎn)D于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，接CD'與x軸于E，連接DE，由模型可知的長(zhǎng)最?。咴诰匦蜲ACB中，＝，＝，為OB中點(diǎn)，∴(0，2)，，4)，，－設(shè)直線為y＝kx＋，，，'(0，－代入，得k＋b＝，b－，解得k＝，b－2，∴直線為y＝x－令y＝0，得x＝1∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(10).∴OE＝1，AE＝2.利用勾股定理得＝13DE，＝，∴△周長(zhǎng)的最小值為＋5(2)如圖，將點(diǎn)向右平移個(gè)位得到D'(1，作D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，－，連接″軸于點(diǎn)F將點(diǎn)F向平移個(gè)位點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)E和F為求作的點(diǎn)，且四邊形周最?。碛桑骸咚倪呅沃荛L(zhǎng)為＋＋EF，是值，∴＋最時(shí)，四邊形BDEF周長(zhǎng)最小，＋DF＋＝″＋CF＝，設(shè)直線CD的析式為＝kxb，，，，－2)代入，得k＋b