云南省大理市民族中學高三數學理下學期期末試題含解析

云南省大理市民族中學高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設實數x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（）A．10 B．8 C． D．參考答案：A【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義，求解z的最大值即可．【解答】解：約束條件，畫出可行域，結合圖象可得當目標函數z=2x+y過點A時，目標函數取得最大值．由，解得A（4，2），則z=2x+y的最大值為10．故選：A．【點評】本題考查線性規(guī)劃的應用，考查數形結合思想以及計算能力．2.已知函數，則方程（為正實數）的實數根最多有

K]

A．6個

B．4個

C．7個

D．8個參考答案：B3.定義在R上的函數滿足則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)的值為

A．-2

B．-1

C．1

D．2

參考答案：A略4.若函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則=（

）A.

3

B.

2

C.

D.參考答案：D略5.已知正項等差數列{an}滿足a1+a2015=2，則的最小值為(

)A．1 B．2 C．2014 D．2015參考答案：B【考點】等差數列的性質．【專題】等差數列與等比數列．【分析】正項等差數列{an}滿足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵正項等差數列{an}滿足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，則=（a2+a2014）=≥=2，當且僅當a2=a2014=1時取等號．故選：B．【點評】本題考查了等差數列的性質、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6.若直線上存在點滿足約束條件則實數的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：由題意得：，解得：，所以，因為，所以，即，所以實數的取值范圍是，故選A．考點：線性規(guī)劃．7.設點是橢圓（）上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，I為△PF1F2的內心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，則該橢圓的離心率是A．

B.

C.

D.參考答案：A8.已知點P（x，y）是拋物線y2=4x上任意一點，Q是圓C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上任意一點，則|PQ|+x的最小值為（）A．5 B．4 C．3 D．2參考答案：C【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓．【分析】當C、P、F三點共線時，|PQ|+d取最小值，即（|PQ|+d）min=|FC|﹣r，由此能求出結果．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點F（1，0），準線l：x=﹣1圓C：（x+2）2+（y﹣4）2=1的圓心C（﹣2，4），半徑r=1，由拋物線定義知：點P到直線l：x=﹣1距離d=|PF|，點P到y(tǒng)軸的距離為x=d﹣1，∴當C、P、F三點共線時，|PQ|+d取最小值，∴（|PQ|+x）min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3故選：C．【點評】本題考查兩條線段和的最上值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．9.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點．若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．

B．2

C．

D．參考答案：C略10.已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3=2a3﹣a1，則該數列的公比為(

)A．2 B． C．4 D．參考答案：A【考點】等比數列的通項公式．【專題】方程思想；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列．【分析】設正項等比數列{an}的公比為q＞0，由S3=2a3﹣a1，可得2a1+a2=a3，即a1（2+q）=a1q2，化簡解出即可得出．【解答】解：設正項等比數列{an}的公比為q＞0，∵S3=2a3﹣a1，∴2a1+a2=a3，∴a1（2+q）=a1q2，化為q2﹣q﹣2=0，q＞0，解得q=2．故選：A．【點評】本題考查了等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.高二年級的5個文科班級每班派2名同學參加年級學生會選舉，從中選出4名學生進入學生會，則這4名學生中有且只有兩名學生自同一個班級的概率為_______．參考答案：12.已知正方體的棱長為，動點在正方體表面上運動，且（），記點的軌跡的長度為，則______________;關于的方程的解的個數可以為________.（填上所有可能的值）.參考答案：由定義可知當，點P的軌跡是半徑為的圓周長，此時點P分別在三個側面上運動，所以。由正方體可知，當，點在三個面上運動，此時遞增，當時，遞減，當時，遞增，當時，遞減，如草圖，所以方程的解的個數可能為0,2,3,4個。13.如圖是一個算法的流程圖，則輸出的a的值是

．參考答案：9【考點】程序框圖．【分析】根據已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量a的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：當a=1，b=9時，不滿足a＞b，故a=5，b=7，當a=5，b=7時，不滿足a＞b，故a=9，b=5當a=9，b=5時，滿足a＞b，故輸出的a值為9，故答案為：9【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)次數不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進行解答．14.已知實數x，y滿足則的最小值為

．參考答案：4由約束條件畫出可行域如下圖，目標函數可化簡為=，設,所以即可行域上的點P與定點D(0,-2)斜率的范圍為,過點A(1,0)時取最小值，所以目標函數的最小值為4，填4.

15.為了近似估計的值，用計算機分別產生個在的均勻隨機數和，在組數對中，經統(tǒng)計有組數對滿足，則以此估計的值為________．參考答案：設，則直線AB過原點，且陰影面積等于直線AB與圓弧所圍成的弓形面積，由圖知，，又，所以16.已知向量，若向量的夾角為，則直線與圓的位置關系是

.參考答案：相離17.已知四點，其中．若四邊形是平行四邊形，且點在其內部及其邊界上，則的最小值是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知焦點在x軸的橢圓（b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線AB過右焦點F2，和橢圓交于A，B兩點，且滿足，直線AB的斜率為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設F為橢圓C的右焦點，T為直線x=t（t∈R，t≠2）上縱坐標不為0的任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．（?。┤鬙T平分線段PQ（其中O為坐標原點），求t的值；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，當最小時，求點T的坐標．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）由已知焦點在x軸的橢圓（b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，可得a，c，b．然后求解橢圓的標準方程．（2）（ⅰ）由（1）可得，F(xiàn)點的坐標是（2，0）．設直線PQ的方程為x=my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用△＞0．利用韋達定理設P（x1，y1），Q（x2，y2），設M為PQ的中點，求出M點的坐標，通過TF⊥PQ，直線FT的斜率為﹣m，寫出方程為y=﹣m（x﹣2）．通過直線OT的斜率為，其方程為．將M點的坐標代入，求出t．（ⅱ）由（?。┲猅為直線x=3上任意一點可得，點T點的坐標為（3，﹣m）．求出，|PQ|，化簡利用基本不等式求出最值，然后求解T點的坐標．【解答】解：（1）由已知焦點在x軸的橢圓（b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，可得a=，F(xiàn)2（c，0），直線AB過右焦點F2，和橢圓交于A，B兩點，且滿足，直線AB的斜率為．設A（），B（）．可得，解得，b2=2，c=2∴橢圓C的標準方程是．…（2）（?。┯桑?）可得，F(xiàn)點的坐標是（2，0）．設直線PQ的方程為x=my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判別式△=16m2+8（m2+3）＞0．設P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=，y1y2=．于是x1+x2=m（y1+y2）+4=．設M為PQ的中點，則M點的坐標為．因為TF⊥PQ，所以直線FT的斜率為﹣m，其方程為y=﹣m（x﹣2）．當x=t時，y=﹣m（t﹣2），所以點T的坐標為（t，﹣m（t﹣2）），此時直線OT的斜率為，其方程為．將M點的坐標為代入，得．解得t=3．…（ⅱ）由（?。┲猅為直線x=3上任意一點可得，點T點的坐標為（3，﹣m）．于是，|PQ|=．所以==．當且僅當m2+1=，即m=±1時，等號成立，此時取得最小值．故當最小時，T點的坐標是（3，1）或（3，﹣1）．…【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓標準方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．19.（本小題滿分12分）

已知橢圓C的兩個焦點分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，且橢圓C過點P(3，2)．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）與直線OP平行的直線交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）6.試題分析：（Ⅰ）由焦點坐標可知橢圓焦點在軸,故可設出其方程.將點代入橢圓方程,同時再結合,解方程組可得的值.（Ⅱ）由直線平行斜率相等可設出直線的方程,代入橢圓方程消去可得關于的一元二次方程.根據題意可知其判別式大于0.同時由韋達定理可得兩根之和,兩根之積.由弦長公式可求得,因為,所以點到直線的距離和點到直線的距離相等.由點到線的距離公式可求得到直線的距離,從而可表示出三角形面積,根據基本不等式可求得其最值.試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為， 由題意可得解得，故橢圓的方程為． …5分（Ⅱ）直線方程為，設直線方程為．將直線的方程代入橢圓的方程并整理得．設．當，即時，有． 所以,到直線的距離. 面積的最大值為6. …12分考點：1橢圓的簡單性質;2直線與橢圓相交問題.20.如圖所示，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為四邊形，，，，平面PAC⊥平面PBD，，，（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若四邊形ABCD中，，，M為PC上一點，且，求三棱錐體積.參考答案：（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據題意，設，連接，易證；再在三角形PAC中應用余弦定理證明，進而可證平面。（Ⅱ）根據，可知點到平面的距離是點到平面的距離的，因而可先求得；的體積可利用等體積法求得?！驹斀狻浚á瘢┰O，連接，,，為中點又，，平面平面，平面平面平面，平面

在中，由余弦定理得，而平面（Ⅱ）因為，可知點到平面的距離是點到平面的距離的，，四邊形中，則,,則，【點睛】本題考查了立體幾何線面垂直的證明，等體積法在立體幾何中的簡單應用，屬于基礎題。21.已知||=4，||=3，（2﹣3）（2+）=61．（I）求|+|；（II）若=，=，求△ABC的面積．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【專題】計算題；綜合法；平面向量及應用．【分析】（1）進行數量積的運算，可以求出，從而可以求出，進而可以得出的值；（2）由上面求出的便可求出∠ABC的值，根據三角形的面積公式即可得出△ABC的面積．【解答】解：（1）由已知條件，；∴；∴；∴；（2）如圖，由題意可得，；；∴；∴；∴；即△ABC的面積為3．【點評】考查向量數量積的運算及其計算公式，要求的值，先求的方法，向量夾角的概念，需清楚向量夾角的范圍，以及三角形的面積公式：S=．22.IC芯片堪稱“國之重器”，其制作流程異常繁瑣，制作IC芯片核心部分首先需要制造單晶的晶圓，此過程主要是加入碳，以氧化還原的方式，將氧化硅轉換為高純度的硅.為達到這一高標準要求，研究工作人員曾就是否需采用西門子制程（Siemensprocess）這一工藝標準進行了反復比較，在一次實驗中，工作人員對生產出的50片單晶的晶圓進行研究，結果發(fā)現(xiàn)使用了該工藝的30片單晶的晶圓中有28片達標，沒有使用該工藝的20片單晶的晶圓中有12片達標．（1）用列聯(lián)表判斷：這次實驗是否有99.5%的把握認為單晶的晶圓的制作效果與使用西門子制程（Siemensprocess）這一工藝標準有關？（2）在得到單晶的晶圓后，接下來的生產制作還需對單晶的晶圓依次進行金屬濺鍍，涂布光阻，蝕刻技術，光阻去除這四個環(huán)節(jié)的精密操作，進而得到多晶的晶圓，生產出來的多晶的晶圓